06第六章 静定结构的位移计算5

1、第六章 静定结构的位移计算,61 概述,62 变形体系的虚功原理,63,64 静定结构在荷载作用下的位移计算,65 图乘法,66 静定结构温度变化时的位移计算,67 静定结构支座移动时的位移计算,68 线弹性结构的互等定理,69 空间刚架的位移计算公式,6-1 概述,一、结构的位移,结构的位移 指结构上的某一截面在荷载或其它因素作用下由某一位置移动到另一位置，这个移动的量就称为该截面的位移（线位移和角位移）。,思考：变形与位移的差别？,变形：结构在外部因素作用下发生的形状的变化。,两者之间的关系：有变形必有位移；有位移不一定有变形。,6-1 概述,2. 位移的分类,A,F,A,A,Ay,Ax,

2、A,6-1 概述,绝对位移,相对位移,P,A,B,C,D,C,D,C,D,C、D 两点的水平相对线位移,A、B两个截面的相对转角,6-1 概述,截面C、D 的相对竖向线位移为 :,截面C、D 的相对角位移为:,6-1 概述,3.位移产生的原因,A,F,A,A,Ay,Ax,A,引起结构位移的原因,还有什么原 因会使结构产 生位移?,6-1 概述,铁路工程技术规范规定:,二、计算位移的目的,1、 校核结构刚度,在工程上，吊车梁允许的挠度1/600 跨度；,桥梁在竖向静活载下，简支钢桁梁最大挠度1/900跨度,高层建筑的最大位移1/1000 高度。 最大层间位移1/800 层高。,6-1 概述,2、

3、超静定结构、动力和稳定计算的基础,3、施工要求,超静定结构的内力不能仅由平衡条件确定，分析时必须考虑变形条件，因而需要计算结构的位移。,在结构的施工过程中，常需预先知道结构变形后的位置，以便采取一定的施工措施，使结构物符合设计图纸的要求。,6-1 概述,(3)理想联结,三、 本章位移计算的假定,叠加原理适用,(1) 线弹性,(2) 小变形,本章只讨论应用虚功原理求解结构位移。,2. 功能法,虚功原理、应变能(卡氏定理),研究变形和位移的几何关系，用求解微分方程式的办法求出某截面的位移（材料力学用过，但对复杂的杆系不适用）。,1.几何法,四、 计算方法,6-2 变形体系的虚功原理,一、基本概念,

4、实功：,力在其本身引起的位移上所作的功。,位移是由外力F引起的，F 做的功可表示为:,1.外力的实功,实功的数值就等于图上三角形OAB的面积。,所以,6-2 变形体系的虚功原理,2.外力的虚功,虚功：力在其它原因引起的位移上所作的功，即做功的力系和相应的位移是彼此独立无关的。,虚功的数值是位移曲线所围的矩形面积。虚功中的力与位移两者相互独立。,6-2 变形体系的虚功原理,力F1在力F2引起的位移12上作的功为虚功为,例 F1力在其引起的位移11 上作的功为实功为,6-2 变形体系的虚功原理,结构产生的各种位移，包括截面的线位移、角位移、相对线位移、相对角位移或者是一组位移等等都可泛称为广义位移

5、。,3.广义位移和广义力,广义位移,与广义位移对应的就是广义力，可以是一个集中力，集中力偶或一对大小相等方向相反的力或力偶，也可以是一组力系。,注意：广义位移与广义力的对应关系，能够在某一组广义位移上做功的力系，才称为与这组广义位移对应的广义力。,广义力,6-2 变形体系的虚功原理,4.内力功,定义：从杆上截取一微段,作用在该微段上的内力在该微段的变形上做的功定义为该内力做的功。,该微段上相应的变形为,轴向变形,剪力变形,弯曲变形,6-2 变形体系的虚功原理,如果变形就是由此内力引起的，则此微段上内力功应为实功，其为轴力、剪力和弯矩分别做的功之和：,因为,由胡克定律有：,故,实功数值上就等于微

6、段的应变能。,所以,内力实功,6-2 变形体系的虚功原理,若变形与内力彼此无关，则此微段上的内力功是虚功，其为,对于整根杆的内力虚功，则可对整根杆积分求得：,内力虚功,6-2 变形体系的虚功原理,回顾,（1）质点系的虚功原理,具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：,对于任何可能的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。也即,6-2 变形体系的虚功原理,（2）刚体系的虚功原理,去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：,对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。,-FP P +FB B=0,6-2 变形体

7、系的虚功原理,二、虚功原理,1. 变形体系的虚功原理,设一变形体在外力系作用下处于平衡状态。当变形体由于其他原因产生一符合约束条件的微小连续位移时，则外力系在位移上做的虚功的总和W，等于变形体的内力在变形上做的虚功的总和Wv，即:,这就是虚功方程。 （证明略）,需注意：, 外力系必须是平衡力系，物体处于平衡状态；,6-2 变形体系的虚功原理, 位移必须满足虚位移的条件满足约束条件的非常微小的连续位移；, 外力与位移两者之间是相互独立没有关联的。平衡的外力系与相应的内力是力状态；符合约束条件的微小位移与相应的变形是位移状态。力状态的外力在位移状态的位移上做功之和(外力虚功)等于力状态的内力在位移

8、状态的变形上做功之和(内力虚功)。, 对于两个相互无关的力状态和位移状态的，可以虚设其中一个状态，让另一实际状态在此虚设状态下做功，列出虚功方程，可以求解不同的问题。,6-2 变形体系的虚功原理,解释： 两种状态,力状态,位移状态,（虚力状态）,（虚位移状态）,注 意 ：,（3）位移状态与力状态完全无关。,（2）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件,力状态应满足平衡条件；,（1）属同一体系；,6-2 变形体系的虚功原理,2.杆系结构虚功方程,以上结论与材料物理性质及具体结构无关，因此，虚功原理虚功方程既适用于一切线性结构，也适用于一切非线性结构。,6-2 变形体系的虚功原理,虚位移原理,令实

9、际的力状态在虚设的位移状态下做功所建立的虚功方程表达的是力的平衡条件，从中可以求出实际力系中的未知力。这就是虚位移原理。,虚力原理,令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功所建立虚功方程表达的是位移协调条件，从中可求出位移状态中的一些未知位移。这就是虚力原理。,3. 虚功原理的两种应用,6-2 变形体系的虚功原理,注意: 虚位移原理写出的虚功方程是一个平衡方程式，可用于求解平衡力系中的未知力。,例：应用虚位移原理求支座C的反力FC。,即,故,撤除与FC相应的约束,将FC变成主动力，取与FC正向一致的刚体位移作为虚位移。,列出虚功方程：,6-2 变形体系的虚功原理,注意：虚力原理写出的虚功方程是一

10、个几何方程，可用于求解几何问题。,例：当A支座向上移动一个已知位移c1，求点B产生的竖向位移。,在拟求线位移的方向加单位力,由平衡条件,令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功，得虚功方程,6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法,一、位移计算的一般公式,设平面杆系结构由于荷载、温度变化及支座移动等因素引起位移如图示。,F2,F1,K,k,k,K,K,利用虚功原理计算,c1,c2,c3,k,k,FK=1,实际状态位移状态,c1、c2、c3、K du、d、ds,ds,虚拟状态力状态,ds,K,外力虚功,W=,=,内力虚功,Wv=,得,求任一指定截面K沿任一指定方向 k-k上的位移K 。,(65),t

11、1,t2,(65),利用虚功原理，另虚设一个力状态，要使虚拟力的虚功正好等于所求位移（FK=1） ,这便是平面杆系结构位移计算的一般公式.若计算结果为正，所求位移K与假设的 FK=1同向，反之反向。这种方法又称为单位荷载法。,6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法,几点说明：,(1) 所建立的虚功方程 ，实质上是几何方程；,(2) 虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位广义力 F=1；,(3) 求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。,特点: 是用静力平衡法来解几何问题。,总的来讲：,6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法,2. 结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构； 静定和超静定结

12、构；,1. 位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；,3. 材料性质：线性、非线性；,4. 变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切变形；,5. 位移种类：线位移、角位移；相对线位移 和相对角位移。,位移计算一般公式的普遍性表现在：,在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设置相应的虚拟力状态。,例如:,A,求AH,实际状态,虚拟状态,A,1,A,求A,1,虚拟状态,A,A,虚拟状态,虚拟状态,B,求AB,1,1,B,求AB,1,1,广义力与 广义位移,6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法,6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法,6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法,6-4 静定结构在荷载作

13、用下的位移计算,当结构只受到荷载作用时，求图a所示结构K点竖向位移KP，此时没有支座位移，虚拟状态如图b所示。故式（6-5）为,（a）,为虚拟状态中微段上的内力； duP、dP、Pds为实际状态中微段上的变形。由材料力学知识得：,式中：,将以上诸式代入式（a）得,（6-6）,这就是平面杆件结构在荷载作用下的 位移计算公式。,（6-6）, 单位力状态下结构的轴力、剪力和矩方程式。, 实际荷载引起结构的轴力、剪力和弯矩方程式。,对于直杆，则可用dx代替ds。计算位移的公式为,6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算,（1）梁、刚架：只考虑弯矩Mp引起的位移。,（2）桁架：只有轴力。,桁架各杆均为等截

14、面直杆则,公式（6-6）简化：,6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算,拱坝一类的厚度较大的拱形结构，其剪力也是不能忽略的。所以计算拱坝时，轴力、剪力和弯矩三项因素都须要考虑进去。,(4) 跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，剪力的影响不计，位移计算公式为,（3）组合结构,6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算,例 6-1 求图示刚架A点的竖向位移Ay。E、A、I为常数。,A,B,C,q,L,L,A,实际状态,虚拟状态,A,B,C,1,解：,设置虚拟状态如图,x,x,选取坐标如图。,x,x,（1）虚拟状态中，各杆内力为,AB段：,BC段：,（2）实际状态中，各杆内力为,AB段：,BC段：,

15、（3）代入位移计算公式,6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算,（4）讨论,上式中：第一项为弯矩的影响，第二、三项分别为轴力、剪力的影响。,设：杆件截面为矩形，宽度为b、高度为h，A=bh，I=bh3/12，k=6/5,截面高度与杆长之比h/l愈大，轴力和剪力影响所占比重愈大。,当h/l=1/10，G=0.4E时，计算得,此时轴力和剪力的影响不大，可以略去。,6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算,例6-2 试求图a所示等截面圆弧曲梁B点的水平位移Bx。设 梁的截面厚度远小于其半径R。,解：近似采用直杆的位移计算公式，只考虑弯 矩影响。实际状态中的截面弯矩为,虚拟状态,虚拟状态如图b，截面弯矩

16、为,代入位移计算公式，可得,6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算,6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算,例6-3 试求图a所示对称桁架结点D的竖向位移D。图中右半 部各括号内数值为杆件的截面面积A（10-4m2）， E=210GPa。,解：实际状态各杆内力 如图a（左半部）。,虚拟状态各杆内力如图b（左半部）。,注意桁架杆件轴力是正对称的,6-5 图乘法,在杆件数量多的情况下,不方便。下面介绍计算位移的图乘法。,1. 静定结构的内力计算；,2. 利用位移计算公式求静定结构的位移；,3. 刚架与梁在荷载作用下的位移计算公式（受弯构件）, 即:,已有基础：,6-5 图乘法,若EI是常数就可提到

17、积分号的外面,上式积分式就变为:,则上式积分式为:,是常数,可提到积分号的外面,一、图乘法,1、图乘法位移计算公式推导,6-5 图乘法,有:,其中:,则得图乘法求位移公式：,图乘法的 适用条件是 什么?,例.试求图示梁B端转角。,解:,MP,弯矩图在 杆件同侧图乘结 果为正,6-5 图乘法,6-5 图乘法,2、图乘法应用小结,（1） 图乘法的应用条件:,a.杆件的EI是常数；,b.杆件是直杆；,（2）形心的纵距yc需取自直线图形；,（3）正、负号规定：两个内力图在基线同侧时，乘积为正；异 侧为负;,（4）如图形较复杂，可分解为简单图形。,6-5 图乘法,二、几种常见图形的面积和形心位置,n次抛

18、物线A=hl/(n+1),顶点,顶点：指切线与底边平行的点。,6-5 图乘法,三、应用图乘法时的图形分解,1、直线图形乘直线图形,对于两个图形都是梯形的情况（同侧）,6-5 图乘法,对于两个图形都是梯形的情况（异侧）,A,B,C,D,6-5 图乘法,2、复杂抛物线乘直线图形,6-5 图乘法,3、当yC所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的截面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。,A1,A2,A3,y1,y2,y3,A1,A2,A3,y1,y2,y3,=,(A1y1+ A 2y2+ A 3y3),I1,I2,I3,=,6-5 图乘法,例6-4 求下图所示刚架C、D两点间距离的改变。设EI=常数。

19、,A,B,C,D,l,h,q,解：,1. 作实际状态的MP图。,MP图,2. 设置虚拟状态并作,。,1,1,h,h,yC=h,3. 按式（6-10）计算,（）,CD=,EI,AyC,=,EI,1,(,3,2,8,ql,2,l),h,=,12EI,qhl,3,形心,6-5 图乘法,例6-5 求图示刚架A点的竖向位移Ay 。,A,B,C,D,EI,EI,2EI,P,L,L,L/2,解： 1. 作MP图、,P,PL,MP图,1,L,；,2. 图乘计算。,Ay=,（）,EI,AyC,=,EI,1,(,2,LL,2,PL,(L,4,=,16EI,PL,3,),-,2EI,1,2,3L,),PL,6-5

20、图乘法,例 已知 EI为常数，求铰C 两侧截面相对转角 。,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,6-5 图乘法,例6-6 试求图a所示外伸梁C点的竖向位移Cy，梁的EI=常数。,解：实际状态弯矩图如图b所示。 虚拟状态弯矩图如图c所示。,将AB段的弯矩图分解为一个 三角形和一个标准二次抛物 线图形。由图乘法得,6-5 图乘法,例6-7 图a为一组合结构，试求D点的竖向位移Dy。,1,6-5 图乘法,例 计算图示结构A点竖向位移。,6-5 图乘法,例 计算图示结构 C 点竖向位移。,例 图示梁EI 为常数，求C点竖向位移。,6-5 图乘法,6-5 图乘法,6-5 图乘法,6-6 静定结构温度变化时

21、的位移计算,静定结构受到温度改变的影响时，发生满足约束允许的变形和位移，为零内力状态。,1、每根杆受的温度是均匀作用的，即每杆上各截面的温度是相同的。,2、杆件的两侧的温度可以是不同的，但从高温一侧到低温一侧温度是按直线变化的。,3、由于假定温度沿杆长均匀分布,不可能出现剪切变形, 只有轴向变形dut 和截面转角dt 。,一、计算假定,因此，截面上材料的应变沿高度也呈线性变化，杆件由于温度变化变形后截面假定仍然为平面。,6-6 静定结构温度变化时的位移计算,当静定结构温度发生变化时，由于材料热胀冷缩，结构将产生变形和位移。设图示结构外侧温度升高 t1，内侧温度升高 t2 ,求K点的竖向位移Kt

22、。,现研究实际状态中任一微段ds, 由于温度变化产生的变形。,t1,t2,K,Kt,ds,ds,h,t1,t2,t2ds,t1ds,dt,K,ds,FK=1,ds,实,虚,(c),杆件的截面对称于形心轴，即: h1=h2=h/2,则:t=(t1+t2)/2,温度变化不会引起剪切变形，即t=0,将式（b) 、(c)代入式（a），得,Kt=,（6-11）,二、计算公式,h2,h1,t,6-6 静定结构温度变化时的位移计算,若各杆均为等截面时，则有,（6-12）,正负号规定：,正负符号取决于虚功是正功还是负功。,当实际温度变形与虚拟内力方向一致时其乘积为正，相反时为负。,对于桁架,Kt=,桁架因制造

23、误差引起的位移计算与上式类似，为：,K=,Kt=,（6-11）,温度变化以升温为正，轴力以拉力为正；弯矩M以使t2边受拉为正。,6-6 静定结构温度变化时的位移计算,例6-8 图示刚架施工时温度为20，求冬季外侧温度为10，内侧温度为0时A点的竖向位移 Ay。已知L=4m，=105，各杆均为矩形截面，高度h=0.4m。,解：虚拟状态如图b，轴力图、弯矩图如图c、d。外侧温度变化为t1， t1=-30 ，内侧温度变化为t2=-20 。,6-7 静定结构支座移动时的位移计算,图a所示静定结构，其支座发生了水平位移c1、竖向沉陷c2和转角c3，现要求K点的竖向移Kc。,由平面杆件结构位移计算的一般公

24、式：,对于静定结构，支座移动不引起内力，材料不变形，此时结构的位移属刚体位移。因此du、d和ds为零，上式简化为:,为虚拟状态的支座反力,与c方向一致时其乘积取正。,负号系原来移项所得，不可漏掉！,6-7 静定结构支座移动时的位移计算,例6-9 图示刚架右边支座的竖向位移By=0.06m(向下)，水平位移Bx=0.04m(向右)，已知l=12m，h=8m。试求由此引起的A端转角A,解：虚拟状态及支座反力计算结果如上图：,6-8 线弹性结构的互等定理,1. 功的互等定理,同理,可得,可得,或,功的互等定理：第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于 第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚

25、功。,6-8 线弹性结构的互等定理,2. 位移互等定理,设：F1=1，F2=1，由功的互等定理,可得,单位力引起的位移用小写字母12和21表示,上式改写为,位移互等定理：第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移 。,6-8 线弹性结构的互等定理,单位力可以是广义单位力，位移即是相应的广义位移。如图a、b。,根据位移互等定理，应有,由材料力学,注意：F=1、M=1的量纲为1， 含义不同，但此时二者在数值上是相等的，量纲也相同。,6-8 线弹性结构的互等定理,3、反力互等定理,图a表示支座1发生单位位移的状态，此时支座2产生的反

26、力为r21。,图b表示支座2发生单位位移的状态，此时支座1产生的反力为r12。,由功的互等定理,可得,反力互等定理：支座1发生单位位移所引起的支座2的反力，等于支座2发生单位位移所引起的支座1的反力。,6-8 线弹性结构的互等定理,注意：反力互等定理也适用于其他广义力的互等。,例： r12 是反力矩， r21是反力，两者互等只是数值上互等。,6-8 线弹性结构的互等定理,4、反力位移互等定理,图a表示F2=1作用时，支座1的反力偶为r12，方向如图。,图b表示支座1顺r12方向发生单位转角时，F2作用点沿其方向的位移为21。,由功的互等定理,可得,反力位移互等定理：单位力所引起的结构某支座反力

27、，等于该支座发生单位位移时所引起的单位力作用点沿其方向的位移，符号相反。,（a）,（b）,已知图结构的弯矩图 求同一结构由于支座A的转动引起C点的挠度。 解：W12=W21 W21=0 W12=PC3Pl/16 0 C=3l /16,图示同一结构的两种状态，求=？,=A+ B,已知图a梁支座C上升0.02m引起的D=0.03m/16，试绘图b的M图。,(b),W12=0=,W21=PD+RC C,RC=3P/32,3Pa/32,小 结 本章讨论了虚功原理以及应用虚功原理来求解结构的位移。虚功原理又分为虚位移原理和虚力原理，它们都是虚功原理的具体应用。前者用于求内力和反力，后者用于求位移。在应用

28、虚功原理时要涉及两个量：力系和位移。这两者是彼此无关的，但却需满足一定的条件。力系必须是平衡的；位移必须是符合约束条件的、无限小的连续位移。由于力与位移两者彼此无关，因此可以虚设一组力系(虚力原理)，让它在实际的结构位移上做功, 列出虚功方程，从中求出未知位移。,这就是虚力原理表达的虚功方程。也就是位移计算的一般公式最基本的形式。,位移和变形( )是结构在给定条件下所具有的. 是实际的位移状态。力系( )则是虚设的。 虚拟力系的设置应当根据所求位移来相应的设置，并根据需要求出其相应的反力和内力。,变形( )是泛指的，若是荷载引起的则导出公式(6-6）。若是温度引起的，则代入公式即导出温度变化引起的位移计算公式(6-12)。 若计算支座移动引起的位移，则因静