2.5一元二次方程根与系数的关系

1、1.4一元二次方程的 根与系数的关系,韦达,（1）x2-7x+12=0,(2)x2+3x-4=0,(4) 2x2+3x-2=0,解下列方程并完成填空：,3,4,12,7,1,-3,- 4,- 4,-1,-,-2,算一算：,（3）3x2-4x+1=0,1,-,若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的两根为x1、x2, 则,.,.,X1+x2=,+,=,=,-,X1x2=,=,=,=,证明：设ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1、x2,则,一元二次方程的根与系数的关系：,如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1 , x2 ,那么x1+x2= , x1x2 =,-,注：能用公式

2、的前提条件为=b2-4ac0,在使用根与系数的关系时，应注意： 不是一般式的要先化成一般式； 在使用X1+X2= 时， 注意“ ”不要漏写。,如果方程x2+px+q=0的两根是 X1 ，X2，那么 X1+X2= , X1X2= .,P,q,一元二次方程根与系数的关系是 法国数学家“韦达”发现的,所以我们又 称之为韦达定理.,说出下列各方程的两根之和与两根之积：,(1) x2 - 2x - 1=0,(3) 2x2 - 6x =0,(4) 3x2 = 4,(2) 2x2 - 3x + =0,x1+x2=2,x1x2=-1,x1+x2=,x1+x2=3,x1+x2=0,x1x2=,x1x2=0,x1

3、x2= -,说一说：,例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值.,解法一：,设方程的另一个根为x2.,由根与系数的关系，得,2 x2 = k+1,2 x2 = 3k,解这方程组，得,x2 =3,k =2,答：方程的另一个根是3 , k的值是2.,例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。,解法二：,设方程的另一个根为x2.,把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0,解这方程，得 k= - 2,由根与系数的关系，得2 x23k,即2 x26, x2 3,答：方程的另一个根是3 , k的值是2.,例2、方程

4、2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2， 不解方程，求： （1） ; （2) ; ; (4) .,另外几种常见的求值:,1、已知方程3x219x+m=0的一个根是1， 求它的另一个根及m的值。,2、设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值.,解：设方程的另一个根为x2,则x2+1= , x2= ,又x21= , m= 3x2 = 16,解：,由根与系数的关系,得,x1+x2= - 2 , x1 x2=, (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=,试一试：,4,1,14,12,则：,求与方程的根有关的代数式的值时,

5、 一般先将所求的代数式化成含两根之和, 两根之积的形式,再整体代入.,4.已知方程的两个实数根 是且 ， 求k的值.,解：由根与系数的关系得 x1+x2=-k， x1x2=k+2 又 x12+ x2 2 = 4 即(x1+ x2)2 -2x1x2=4 K2- 2(k+2）=4 K2-2k-8=0, = K2-4k-8 当k=4时， =-80 k=4(舍去） 当k=-2时，=40 k=-2,解得：k=4 或k=2,探究：,6.已知关于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0有两个实数根x1、x2. （1）求实数m的取值范围； （2）当x12-x22=0时，求m的值.,6.（2013荆州）已知：关于

6、x的方程 kx2(3k1)x+2(k1)=0 （1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根x1，x2, 且x1x2=2,求k的值.,2、熟练掌握根与系数的关系； 3、灵活运用根与系数关系解决问题.,1.一元二次方程根与系数的关系？,小结：,17.4一元二次方程的根与系数的关系,（第二课时）,下列方程的两根的和与两根的积各是多少？ .X23X+1=0 .3X22X=2 .2X2+3X=0 .3X2=1,基本知识,在使用根与系数的关系时，应注意： 不是一般式的要先化成一般式； 在使用X1+X2= 时， 注意“ ”不要漏写.,练习1,已知关于x的方程,当m= 时,此方程的

7、两根互为相反数.,当m= 时,此方程的两根互为倒数.,1,1,分析:1.,2.,练习2,设 的两个实数根 为 则: 的值为( ) A. 1 B. 1 C. D.,A,以 为两根的一元二次方程 (二次项系数为1)为:,二、已知两根求作新的方程,题5 以方程X2+3X-5=0的两个根的相反数为根的方程是（ ） A、y23y-5=0 B、 y23y-5=0 C、y23y5=0 D、 y23y5=0,B,分析:设原方程两根为 则:,新方程的两根之和为,新方程的两根之积为,求作新的一元二次方程时: 1.先求原方程的两根和与两根积. 2.利用新方程的两根与原方程的两根之 间的关系,求新方程的两根和与两根积

8、. (或由已知求新方程的两根和与两根积) 3.利用新方程的两根和与两根积, 求作新的一元二次方程.,练习: 1.以2和 为根的一元二次方程 （二次项系数为）为：,题6 已知两个数的和是1，积是-2，则两 个数是 。,2和-1,解法(一):设两数分别为x,y则:,解得:,x=2 y=1,或,1 y=2,解法(二):设两数分别为一个一元二次方程 的两根则:,求得,两数为2,三已知两个数的和与积，求两数,题7 如果1是方程 的一个根，则另一个根是_=_。,（还有其他解法吗？),-3,四求方程中的待定系数,小结： 1、熟练掌握根与系数的关系； 2、灵活运用根与系数关系解决问题； 3、探索解题思路，归纳

9、解题思想方法。,8、已知关于X的方程mx2-(2m-1)x+m-2=0(m0) (1)此方程有实数根吗？ （2）如果这个方程的两个实数根分别为x1，x2，且 （x1-3)(x2-3)=m，求m的值。,拓广探究,题9 方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围。,解:由已知,=,即,m0 m-10,0m1,一正根，一负根,0 X1X20,两个正根,0 X1X20 X1+X20,两个负根,0 X1X20 X1+X20,请阅读下列材料： 问题：已知方程x 2x10，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍 解：设所求方程的根为y，则y2x，所以x 把x 代入已知方程，得( )2 10 化简，得y 22y40 故所求方程为y 22y40 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法” 请用阅读材料提供的“换