第五章系统的稳定性机械工程控制基础教案

1、Chp.5 系统稳定性基本要求1了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件；2掌握Routh判据的必要条件和充要条件，学会应用Routh判据判定系统是否稳定，对于不稳定系统，能够指出系统包含不稳定的特征根的个数；3掌握Nyquist 判据；4理解Nyquist 图和Bode 图之间的关系；5掌握Bode 判据；6理解系统相对稳定性的概念， 会求相位裕度和幅值裕度， 并能够在Nyquist 图和Bode 图上加以表示。重点与难点本章重点1Routh 判据、Nyquist 判据和Bode 判据的应用；2系统相对稳定性； 相位裕度和幅值裕度求法及其在Nyquist图和Bode 图的表示法。 本章难点 Ny

2、quist 判据及其应用。1 概念示例：振摆1、稳定性定义：若系统在初始条件影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于0，则系统稳定；反之，系统过渡过程随时间的推移而发散，则系统不稳定。（图5.1.2）讨论：线性系统稳定性只取决于系统内部结构和参数，是一种自身恢复能力。与输入量种类、性质无关。 系统不稳定必伴有反馈作用。（图5.1.3） 若x0(t)收敛，系统稳定；若x0(t)发散，则系统不稳定。 将X0(s)反馈到输入端，若反馈削弱E(s) 稳定 若反馈加强E(s) 不稳定 稳定性是自由振荡下的定义。即xi(t)=0时，仅存在xi(0-)或xi(0+)在xi(t)作用下的强迫运动而系统是否

3、稳定不属于讨论范围。2、系统稳定的条件： 对anpn+an-1pn-1+a1p+a0x0(t)=bmpm+bm-1pm-1+b1p+b0xi(t)令B(s)= anpn+an-1pn-1+a1p+a0 A(s)= bmpm+bm-1pm-1+b1p+b0初始条件：B0(s) A0(s) 则B(s)X0(s)- B0(s)= A(s)Xi(s)- B0(s) Xi(s)=0,由初始条件引起的输出： L-1变换 根据稳定性定义，若系统稳定须满足，即zi为负值。系统稳定的充要条件：系统特征方程全部根的实部必须为负。或：系统传递函数的极点全部位于s复平面的左半部。讨论：特征根中有一个或以上的根的实部为

4、正 系统不稳定； 临界稳定：特征根中有部分为零或纯虚数，而其它根为负数。临界稳定系统属于不稳定。 若，则系统不稳定。 零点对稳定性无影响。零点仅反映外界输入对系统的作用，而稳定性是系统本身的固有特性。 稳定性判定方法：a) 直接求解出特征方程的根（高阶困难）b) 确定特征根在s平面上的分布： 时域：Routh判据，胡尔维茨判据 频域：Nyquist判据，Bode判据2 劳斯（Routh）判据Routh判据在特征方程系数和根之间建立一定关系，以判别特征根分布是否具有负实部。一、必要条件：特征方程：B(s)= anpn+an-1pn-1+a1p+a0=0必要条件：B(s)=0的各项系数ai符号均相

5、同，且不等于0; 或 an0 an-10 a10 a00 （证明）二、充要条件：（Rough稳定性判据）： 1、Rough表：将特征方程系数排成两列：偶：an an-2 an-4 an-6 奇：an-1 an-3 an-5 an-7 Rough数列表：（p.124） sn an an-2 an-4 an-6 a0 sn-1 an-1 an-3 an-5 an-7 a1 0 sn-2 A1 A2 A3 0 sn-3 B1 B2 B3 0 s0 0 0 02、判据： Rough列表中第一列各项符号均为正且不等于0 若有负号存在，则发生负号变化的次数，就是不稳定根的个数。例1，已知系统特征方程 B(

6、s)=s4+8s3+17s2+16s+5=0 试判定其稳定性。 解： a4=1 a3=8 a2=17 a1=16 a0=5 (过程) ai0 （i=1，2，3，4，5）Rough列表中第一列(1，8，15，13.3,5)均大于0，故系统稳定。例2，已知系统特征方程 B(s)=s3-4s2+s+6=0 试判定其稳定性。 解：有一个负系数，不满足稳定的必要条件，有几个不稳定的根？(过程)有二个负实根，实际上s3-4s2+s+6=（s-2）(s+1)(s-3)例3，已知系统 试判定其稳定性。 解：B(s)=s5+2s4+14s3+88s2+200s+800=0 (过程)符号改变二次，存在两个不稳定的

7、根。例4，设有系统方框图如下，已知=0.2，n=86.6，试确定k取何值时，系统方能稳定。(p.126图) (过程)三、特殊情况： 1、Rough列表中任一行第一项为0，其余各项不为0或部分不为0。造成该行的下一行各项变为无穷大，无法进行Rough计算。措施：以任一小正数代替0的那一项，继续计算。 例：B(s)=s3-3s+2=0（求解）若用代替后，系统Rough列表第一列均为正，临界稳定（共轭虚根） 用因式（s+a）乘特征方程两边，得新的特征方程，进行Rough计算后判断（A为任意正数）。例：B(s)=s3-3s+2=0（求解，取a=3）2、Rough列表任一行全为0。 原因：系统特征方程的

8、根出现下列一种或多种情况时会发生。 具有相异符号的实数根（如s=2）； 虚根时（如s=j5）； 共轭复数根时（如） 解决：利用全为0这一行的上一行的各项系数组成一个多项式方程（辅助方程）；对辅助方程取导数得一新方程； 以新方程的系数取代全为0的哪一行，继续进行Rough计算。例：B(s)=s4+s3-3s2-s+2=0（求解）例：B(s)=s6+s5-2s4-3s3-7s2-4s-4=0（求解）3 Nyquist判据 时域判据的弱点：工程设计中，组成系统的各种参数尚未最后确定，时域判据不能应用；时域判据仅能判断系统是否稳定，不能说明系统稳定或不稳定的程度，因而不能提出改善系统性能的具体途径。

9、Nyquist判据特点： 图解法：由几何作图判定系统稳定性； 由开环特性判断闭环系统稳定性（开环特性由分析法或实验法获得）； 可判断系统相对稳定性； 可指出各环节对系统稳定性的影响。一、预备知识：1、三种函数的零、极点关系：（Gk(s)、GB(s)、F(s) ）(图5.3.1)Gk(s)=G(s)H(s)F(s)=1+ G(s)H(s)zi：Gk(s)的零点； pi：Gk(s)的极点。上述各函数零点和极点的关系：（p.131）结论：闭环系统稳定充要条件为GB(s)全部极点具有负实部F(s)函数的全部极点均具有负实部，即通过Gk(s)= G(s)H(s)判断GB(s)的稳定性。2、映射概念： 设

10、函数F(s)=Re(s)+jIm(s) 而s=+j 两个函数：F(s)，s 两个复平面：F(s)，ss上的每一个点对应F(s)上有一个映射的点，称为像点或映射轨迹。例：已知F(s)= s2，求s=1+j2的像点。 F(s)= s2=（1+j2）2 =-3+ j4 即s平面上点（1，j2）在F(s)复平面上的像点为-3，j4(tu 2)3、映射定理（幅角原理）： 设F(s)为一有理数，设Ls为s平面上的一封闭曲线（看成点的封闭轨迹），LF为F(s)平面上的对应曲线，则： Ls在F(s)平面上的映射轨迹LF，也必然是一条封闭曲线。(tu 2) 若Ls包围了F(s)的zi个零点和pi个极点，则Ls上

11、某动点s沿Ls顺时针方向转一周时，它在B(s)上的映射轨迹LB将会顺时针方向包围OB原点N次（N=z-p）。(tu 2)二、Nyquist判据： 1、映射定理的推广： F(s)=1+ G(s)H(s) 为有理数，满足映射定理。在s上，当s按顺时针方向沿整根虚轴（-j+j）及R=的半径组成的封闭曲线Ls（实际上为s平面的右半部）转一周时，若虚轴上无F(s)的极点，则在Ls在F(s)平面上的映射轨迹LF也将顺时针方向包围原点OB共N次。(tu 2)根据闭环系统稳定充要条件，特征方程F(s)=0的根均为负实数或实部为负的复数，即F(s)在s平面右半部无零点， 系统稳定下的映射为N=-p复平面下系统稳

12、定的充要条件：若s虚轴上无F(s)=1+ G(s)H(s)的极点，则当s沿-j+j按顺时针方向转一周时，其在F(s)平面上的映射轨迹LF也将顺时针方向包围原点OB共N次，系统才能稳定，否则就不稳定。 2、N=-p含义的变通：N=-p的实质就是利用特征函数F(s)=1+ G(s)H(s)的零、极点分布来判定系统是否稳定，实用上不方便，希望判据建立在开环基础上。含义变通：在N=-p中的F(s)的极点数p，理解为开环G(s)H(s)的极点数； 将F(s)平面转换成G(s)H(s)平面； F(s)的原点就是G(s)H(s)的（-1，j0）点。 令s=j，则s取值-j+j，变成取值-+。通过上述转换，将

13、N=-p含义重新引申为： N：开环G(s)H(s)轨迹包围（-1，j0）点的次数，即开环轨迹顺，逆时针方向包围（-1，j0）点次数之代数和。 P:开环G(s)H(s)在s平面右半部的极点数。 2、Nyquist判据：充要条件：当取值-+时，其开环G(j)H(j)轨迹必须逆时针包围（-1，j0）点p次，则系统稳定，否则就不稳定。讨论：a) Nyquist判据在GH平面上判断； 过程：s上Nyquist轨迹映射到GH上的Nyquist轨迹G(j)H(j)，根据G(j)H(j)包围（-1，j0）点的次数来判断系统的稳定性。 b)应用简单：一般开环系统为最小相位系统，p=0，故只需看开环Nyquist

14、图是否包围（-1，j0）点，不包围则稳定。若开环系统为非最小相位系统，p0（开环不稳定），则看Nyquist图是否逆时针包围（-1，j0）点p圈。 c)开、闭环稳定性关系： 开环不稳定，闭环可能稳定 开环稳定，闭环可能不稳定 d)绘制开环=0+的Nyquist图即可判断。 原因：开环Nyquist图对实轴对称。三、对虚轴存在极点的处理：Nyquist判据中规定开环Gk(s)中不能含有s=0和s=jk（k为实数）的极点，否则，这些极点处的幅角是个不确定值，因而，这些点的映射轨迹也不确定。但工程上大多数Gk(s)会含有s=0或s=jk的极点，此时，Nyquist判据仍可使用，但需对Ls曲线修正。四

15、、应用举例：1、开环稳定，判断闭环稳定性： Gk(s)在s右半部无极点，p=0，则=0+时Gk(j)不包围（-1，j0）点，即N=0，则系统稳定，否则就不稳定。例1， 0型系统例2， 0型系统例3，型系统例4，型系统例5，型系统2、开环不稳定，判断闭环稳定性： 对p0，若需闭环稳定，则N=-p，即在取值-+时，Gk(j)逆时针包围（-1，j0）点p次。例：高阶系统四、典型环节对系统稳定性的影响： 1、比例环节G(s)=k若Gk(j)-180o, 则k无论如何变化，系统总是稳定的；Gk(j)-180o, 则k Gk(j)随之增大，可能包围（-1，j0）点。2、惯性环节 高频时（），G(j) -9

16、0o,增加了开环幅角Gk(j)的滞后，对系统稳定不利，惯性环节越多，系统越难稳定。3、导前环节G(s)=Ts+1 高频时（），G(j) +90o,减少了开环幅角Gk(j)的滞后，对系统稳定有利。若系统需较多惯性环节时，用导前环节保持其稳定性。4、积分环节 高低频均产生90o滞后幅角，对系统稳定性影响大。积分环节越多，系统越不容易稳定。措施：增加导前环节，增加内部负反馈或降低系统“型”号。5、延时环节G(s)=e-s 不改变原系统的副频特性，仅使系统的相频特性变化。4 系统的相对稳定性 绝对稳定性判断出系统属于稳定、不稳定或临界稳定，还不能满足设计要求，应进一步知道稳定或不稳定的程度，即稳定或不

17、稳定离临界稳定尚有多远，才能正确评价系统稳定性能的优劣，此即相对稳定性。一、系统相对稳定性的两个指标： 1、两种坐标对应关系： Gk(j)可用极坐标（Nyquist图）和对数坐标（Bode图）表示，二者有对应关系： a)极：单位圆对：零分贝线（幅频特性）相当于：GH=120lgGH=0dB b)极：负实轴对：-180o水平线（相频特性） 原因：负实轴上的每一点的幅角都等于-180o c)极：开环轨迹与单位圆的交点c对：幅频特性曲线与零分贝线的交点。交点c处的频率c称为剪切频率、幅值穿越频率、幅值交界频率。 d)极：开环轨迹与负实轴的交点g对：相频特性曲线与-180o水平线的交点。交点g处的频率

18、g称为相位穿越频率、相位交界频率。2、幅值和相位裕量： 幅值和相位裕量是衡量系统离临界稳定有多远的两个指标。 (1)幅值裕量Kg：定义：在相位交界频率g处Gk(j) 的倒数。 在对数坐标上，讨论： a)若G(jg)H(jg)1,Kg1,即Kg(dB)0 系统具有正幅值裕量。 若G(jg)H(jg)1,Kg1,即Kg(dB)0 系统具有负幅值裕量。 b)对最小相位系统p=0，正幅值裕量对应的开环轨迹不包围（-1，j0），闭环稳定，负幅值裕量对应的开环轨迹包围（-1，j0），闭环不稳定。c)Kg实际上是系统由稳定（或不稳定）到达临界稳定点时，其开环传递函数在g处的幅值G(jg)H(jg)需扩大或缩小的倍数。d)一阶、二阶系统幅值裕量为无穷大。 原因：其开环轨迹与GH平面的负实轴交于原点，1/Kg=0(2) 相位裕量： 定义：在c处，使系统达到临界稳定所需附加的幅角滞后量（或超前量）。 =G(jc)H(jc)-（-180o） =180o+(c) 若0 称正相位裕量（正稳定性储备）必在Bode相位图横轴（-180o线）以上，在Nyquist图负实轴以下（第三象限）； 若0 称负相位裕量（负稳定性储备）必在Bo