第五章特征值和特征向量

1、第五章 特征值和特征向量I 考试大纲要求1、考试内容：矩阵的特征值和特征向量的概念、性质、计算方法和相似变换；矩阵的相似关系及性质；矩阵可对角化的判别及相似对角矩阵；实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。2、考试要求：1）理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，并会计算矩阵的特征值和特征向量。 2）理解相似的概念、性质及矩阵可对角化的充要条件，掌握用相似变换化矩阵为对角矩阵的方法。 3）掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。II 重要知识点一、矩阵的特征值和特征向量1、基本概念设是数域上的阶矩阵，如果对于数，存在非零维列向量，使得，则称为的一个特征值，称为的属于特征值的特征向量。矩阵有特征向量

2、等价于有非零解，而有非零解数的充要条件是，故把行列式称为称为的特征多项式，方程称为的特征方程，矩阵 称为的特征矩阵。设为阶矩阵，的主对角线元素的和为矩阵的迹，记为。即。迹的性质：1）；2）；3）；4）。2、特征值与特征向量的求法设为阶矩阵，下列步骤求的特征值与特征向量1）计算的特征多项式；2）求出特征方程的全部根，即得到的所有特征值。3）对于每个特征值，求解齐次线性方程组，即若求得其基础解系为a1，a2，as，则k1a1+k2a2+ksas (k1，k2，ks不全为零)为A的属于特征值l的所有特征向量。3、特征值与特征向量的性质1）n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值。2）如果l1，l2

3、，lm是A的不同特征值，a1，a2，am分别是属于l1，l2，lm的特征向量，则a1，a2，am线性无关。3）设矩阵在复数域上的特征值为l1，l2，ln，则tr(A)= l1+l2+ln=a11+ a22+a nn ， l1l2lm=|A|。 4）设是方阵的特征值，矩阵，分别有特征值，。 5）设A=(aij)nn的秩，则矩阵的个特征值为l1 =a11+ a22+a nn， l2ln0。二、相似矩阵、对称矩阵及矩阵的对角化1、相似矩阵的基本概念及性质1）相似矩阵：设n阶矩阵A和B如果存在可逆矩阵P，使得B=P-1AP，则称A和B相似记作AB。2）相似矩阵的基本性质 反身性：AA；对称性：如AB，

4、则BA；传递性：如AB，且BC，则AC。 若AB，则|A|=|B|。 若AB，则A，B同时可逆或不可逆。 若AB，且A，B可逆，则A-1B-1。 若AB，则|lE-A|=|lE-B|。 若AB，则A，B的特征值相同。 若AB，则tr(A)=tr(B)。 若AB，则其秩相等r(A)=r(B)。2、n阶矩阵A与对角矩阵相似的条件1）A与对角矩阵相似的充分条件是A有n个互不相同的特征值。2）A与对角矩阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。 3）n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对每一个ni重特征值liP，矩阵liEA的秩是nni。3、求与n阶矩阵相似的对角矩阵的方法1）设n阶矩阵A有n

5、个单重特征值l1，l2，ln，则A如Aai=liai，令P=a1，a2，an，则P-1AP=。2）设n阶矩阵A有m个特征值l1，l2，lm，其重数分别为k1，k2，km，且对于每个特征值li都有ki个属于li的线性无关的特征向量，则k1个k2个km个A=L如Aat(i)=liat(i)，t=1，2，ki，i=1，2，m，令矩阵P=， 则 P-1AP=L。4、实对称矩阵的对角化1）实对称矩阵特征值与特征向量的特殊性质 实对称矩阵的特征值都是实数。 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交。 实对称矩阵的k重特征值恰好有k个属于此特征值的线性无关实特征向量。 对于实对称矩阵A必存在正交矩阵Q，

6、使得Q-1AQ为对角矩阵。2）求正交矩阵Q，使Q-1AQ为对角矩阵的方法 解特征方程|lE-A|=0，求出A的全部特征值。 解齐次线性方程组(lE-A)X=0，求出基础解系，得到r重特征值的r个线性无关的特征向量。 利用施密特正交化方法，使得属于r重特征值的r个线性无关向量组正交化，并使其单位化。 将求得的n个单位化正交特征向量组作为矩阵Q的列向量，从而得到所需的正交矩阵Q。 Q-1AQ为对角矩阵，其对角元素为A的全部实特征值，它们在对角矩阵的排列顺序，与其特征向量在Q中的排列顺序一致。 5、重要结论 1）若，则。 2）若，则，其中为关于阶方阵的多项式。 3）若为可对角化矩阵，则其非零特征值的

7、个数（重根重复计算）等于的秩。III 题型归纳及思路提示 题型1 求矩阵的特征值和特征向量 例1 设是可逆矩阵的特征值，则矩阵有一特征值为 例2 设，试求和的特征值及的特征向量。 例3 设，都是非零向量，且， 记阶矩阵，试求的特征值及特征向量。例4 设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则线性无关的充要条件是 1）； 2）； 3）； 4）。 例5 设阶矩阵，1）求的特征值和特征向量；2）求可逆矩阵，使得为对角矩阵。 题型2 特征值、特征向量的逆问题 例6 已知是矩阵的一个特征向量，试确定参数及特征向量所对应的特征值，并问能否对角化？ 例7 已知三阶矩阵满足，其中，求矩阵。 例8 设

8、矩阵，其行列式，又的伴随矩阵 有一个特征值，属于的一个特征向量，求参数和的值。 题型3 有关特征值与特征向量的证明题 例9 设为正交矩阵，若，求证一定有特征值1。 例10 设都是阶矩阵，证明： 1）与有相同的特征值； 2）。 例11 设阶矩阵满足，证明：对任意实数，可逆。 题型4 相似的判定及其逆问题例12 设有三阶矩阵和，试判断是否相似？若相似，求出可逆矩阵，使得。 例13 设矩阵与相似，其中， 1）求和的值；2）求可逆矩阵，使得。 题型5 与方阵的对角化相关的命题例14 设，问能否对角化。例15 设阶矩阵满足，证明相似于一对角矩阵。例16 判断矩阵是否可以对角化？例17 设阶可逆矩阵可对角化，证明：的伴随矩阵也可对角化。题型6 有关实对称矩阵的命题例18 已知是实对称矩阵的三个特征值，且对应于的特征向量为，求对应于的特征向量及矩阵。题型7 利用特征值与相似矩阵求行列式例19 设，矩阵为正整数，则 。例20 已知三阶矩阵的特征值为1，1，2，设， 试求（1）矩阵的特征值及其相似标准形； （2）行列式及。题型8 利用相似对角化求方阵的幂例21 三阶矩阵的特征值分别为，对应的特征向量依次为：，又向量，（1） 将用线性表示； （2）求为正整数）。IV 本章小结 重点难点：1、求矩阵的特征值和特征向量； 2、已知矩阵的特征值或特征向量，反求矩阵中的参数； 3、矩阵可相似对角矩阵的判定