中学数学的最值问题

1、一、用函数的单调性求代数函数的最值（1）对于一次函数、指数函数、对数函数等单调递增或单调递减的函数，若定义域的闭区间，如xm，n,则f（m），与f（n）中较大者为最大值，较小者为最小值。（2）求二次函数f(x)=ax2+bx+c在m,n上的最值时，先判定对称轴x= - 是否属于m,n，若x=- m,n,则f(m) , f(n) ,f(- 中较大者是最大值，较小者是最小值，若- m,n，则f(m)与f(n)中较大者为最大值，较小者为最小值；若二次函数f(x)2ax2+bx+c的定义域为R，当a0时，有最小值ymn= ,岂a0时，有最大值ymax= ,例1、求函数y=x2-2x-3在 ， 上的最值

2、。解：对称轴x=1 , f，而f( )= ,f(1)=-4,f( )= - .f(x)max= f(x)min=-4例2、（2004年北京卷） f(x)=ax2+bx+c中，若a、b、c成等比数列，且f(0)=-4,则f(x)有最_值（填“大”或“小”）且该值为_。解： f(0)=-4 c=-4 2a、b、c成等比数列 b2=ac=-4a 而b0 则有a0 f(x)在1，+上是增函数 f(x)在区间1，+上的最小值是 f(x)min=f(1)=二、有关三角函数最值的求法（1）用三角函数的有界性求最值由于正弦函数，余弦函数均是有界函数，即： -1sinx1 -1cosx1,故在求三角函数有关的函

3、数的最值时，可考虑把它转化为同一三角函数，然后运用三角函数的有界性求其最值。例4，已知R0 b0 (a-b)20 0sin2x1当sinx=1,即x= + (kz)时ymax=当sinx=0,即x= (kz)时，ymin= +(2)利用三角函数的单调性如果f(x)在,上是增函数，则f(x)在，上有f(x)max=f(),f(x)min=f(x),如果f(x)在,上是减函数，则f(x)在,上有最大值f(x)，最小值f().例6，在0x 的条件下，求y=cos2x-4sinxcosx-3sin2x的最大值和最小值。解：用二倍角公式及变形公式有：y= -2sinx-3 =2(cos2x-sinx)-

4、1 =2(cos2xcos -sin2xsin )-1 =2cos(2x+ )-10x 2x+ 由余弦函数的单调性知：cos(2x+ )在0， 上是减函数，故岂x=0时有最大值 ，当x= 时有最小值-1。cos(2x+ )在 ， 上是增函数，故当x= 时，有最小值-1,当x= 时有最大值- 。综上 当x=0时 ,ymax=2 -1=1 当x= 时 ,ymin=2x(-1)-1=2-1（3）用换元法求三角函数的最值利用变量代换，我们可以把三角函数的最值问题转化为代数函数最值问题求解，例7，求f(x)=sin4x+2sin3xcosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x+cos4x的最大值

5、和最小值。解：f(x)=sin4x+2sincosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x+cos4x =(sin4x+2sin2xcos2x+cos4x)-sin2xcos2x+2sinxcosx(sin2x+cos2x) =(sin2x+cos2x)2-sin2xcos2+2sinxcosx =1+2sinxcosx-sin2xcos2x令t=sinxcosx=sin2x 则-t f(t)=1+2t-t2 =-(t-t)2+2 (-t)当t=,即x=k+(kz)时,f(x)max=f(t)max= 当t=- ,即x= k+(kz)时,f(x)min=-f(x)max= f(x)min

6、=-三、用均值定理求最值1、均值定理的构成的注意事项二元均值不等式：（a0,b0,当且仅当a=b时取等号）三元均值不等式：（a0,b0，c0,当且仅当a=b=c时取等号） n元均值不等式：(a10,a20an0，当且仅当a1=a2=an时取不等号)在运用均值不等式求最值时应注意以下三点：i函数解析式中各项均为正数。ii函数的解析式中含有变数的各项的和或积必须有一个定值。iii含变数的各项均相等时才能取得最值。2、均值定理在求函数最值中的应用例8、解答下列各题（1）求函数y=x2+(x0) 的最小值。（2）求函数y=2x2+(x0)的最小值。 （3）求函数y=6x2-3x3(0x3)的最大值。（

7、4）求函数y=x(1-x2)(0x1)的最大值。(5)(05年全国卷)求函数y=(0x0时，则当且仅当a=b时，a+b有最小值，若a+b为常数n0，则当且仅当a=b时，有最大值，较解这些问题的关键是构造“定”或“定积”。解：（1）y=x2+=+=3 当且仅当=，即 x=(x0)时，ymin=3 (2)x0 2x20 0 y=2x2+=2x2+=6 当且仅当2x2=,即x=1时，ymin=6 (3)y=6x2-2x3=2x2(3-x) 0x0 0 y=8(3-x)8=8 当且仅当=3-x,即x=2时，ymax=8(4)0x0 1-x20 x(1-x2)0 y2=x2(1-x2)2=2x2(1-x

8、2)(1-x2) =当且仅当2x2=1-x2,即x=时，y2有最大值。当x=时，ymax=（5）y= =cotx+4tanx 0x0 tanx0 y=cotx+4tanx=4当且仅当4tanx=cotx即x=aintan时，ymin=43、运用均值定理解应用题例9：学校食堂定期从某粮店以每吨2000元价格购进大米，每次购进大米需支付运输费100元，已知食堂每天需用大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元，假如食堂每次都在用完大米的当天购买。（1）该食堂每隔多少天进一次大米才能使平均每天所支付的费用最少？（2）粮食提出价格优惠条件：一次购买不少于20吨时，大米价格可享受九五折优惠，问食堂可否接受此

9、优惠条件？请说明理由。解：（1）设每隔x天购进一次大米，因为每天用米一吨，故一次购米x吨，从而库存总费用为2x+(x-1)+2+1=x(x+1)若设平均每天所支付的总费用为y,则y1=x(x+1)+100+2000=x+20012+2001=2021当且仅当x= 即x=10时取等号。每隔10天购出一项，才能使每天所付费用最少。（2）设能接受优惠条件，则至少每隔20天购米一项，没每隔七天购米一次，平均每天费用为y2元，则y2=t(t+1)+100+200095%=t+1901由于t=10不在函数定义域内，教不能使用均值定理。令f(t)=t+1901 (t20) 设t1 ,t220 ,+)且t1t

10、2则f(t2)-f(t1)=t2-t1+=(t2-t1)(1-) =t2t120 t2t10 t2t1-1000 t2t10f(t2)-f(t1)0 即 f(t2)f(t1)f(t)在20，+上是增函数。当x=20时，y2取得最小值1926元而19262021，故该食堂可接受优惠条件。四、运用线性规划求最值运用线性规划求最值就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，从而求出最值，无论此类问题是以什么实际问题提出，其解题格式步骤基本不变：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数。（2）由二元一次不等式表示出平面区域（即可行域）（3）在可行域内求目标函数的最优解，从而求出最值（求是优解时，主要由图形

11、得出，故应准确作图）例10、（2005年福建）非负实数x、y满足则x+3y的最大值为_解：约束条件所围成的区域， 如图所示，将目标函数z=x+3y从左向右平移，最后经过的点是（0，3）x+3y的最大值为0+33=9例11、（2004年江西）设实数x,y满足则的最大值是_.解：画出约速条件所围成的区域，如图所示，令 =k，则K的最大值即为过原点且过可行域内的一点的直线中，斜率的最大值。由图形知，直线过点A（1，）时 Kmax=例2，已知 试求（x+1）2+(y+1)2的最大值、最小值，及取得最大、最小值时x、y的值。解：作出不等式组所表示的平面区域如右图所示，其区域的顶点A（2，1），B（3，4

12、），C（1，3）而（X+1）2+（y+1）2表示可行域内的动点M（x , y）与定点P（-1，-1）的距离的平方，过点P作AC的垂线，垂足不在可行域内，由图可知，只有当x=2 ,y=1时，（x+1）2+(y+1)2才取得最小值，最小值为13，当x=3.y=4时，（x+1）2+(y+1)2才取得最小值，最大值为41。五、运用构造求最值构造法就是数学建模在解题中的应用，它要求具有相当的基本功，能根据不同的题型，构造成我们能够解决的数学模型，从而使问题得以解决。1、构造距离解题例13、求函数y=+的最小值解：原函数可变形为：y=函数y的值可看作点P（x ,o）到点A（1，2）与点B（-1，1）的距离

13、之和，而点P（x ,0）为x轴上的点。即在x轴上取点P使|PA|+|PB|为最小。如图，作点B关于x轴的对称点B（-1，-1）连结AB交x轴于点P，则PA+PB=ABymin=AB=2、构造向量例14、已知：a2+b2+c2=1, x2+y2+z2=1其中a、b、c、x、y、z均为实数，求ax+by+cz的最大值与最小值。解：构造向量a=(a、b、c)、b=（x、y、z）由题设引知：|a|2=1， |b|2=1设a ，b =2，则o，且又-1ax+by+cz1即ax+by+cz的最大值为1，最小值为-13、构建圆锥曲线例15：已知ABC的周长C=16cm BC=6cm求ABC面积的最大值解：B

14、C的长为定值，点A到点B与C的距离之和也为定值，故点A在以B、C为焦点、焦距2C=6cm，长轴长2a=10cm椭圆上，c=3，a=5，b=4由-byb得ABC中BC边上的高H的取值范围是0h4ABC的最大值为BC4=12（cm2）六、解几何中的最值问题1、已知两定点A（a，b）、B（a2，b2）直线L，在定直线L上求点P使最小，若A、B在直线L的两旁，连结A、B交直线L于点P，P点即为所求；若A、B在直线L的同旁，则求点B关于L的对称点B，AB与直线L的交点P即为所求。2、圆C上的动点M与定直线L的距离的最大值与最小值是过圆心C作已知直线L的垂线，垂足为D，交圆C于M1，M2，则M1与M2中较小者为最小值，较大者为最大值。3、运用定义求最值例16：已知抛物线X2=2py（p0）及抛物线内点A（a，b），F为焦点(如图)，在抛物上，求点P使最小。分析：过点作抛物线渐近线的垂线AB，垂足不B，交抛物线于P，则由抛物线定义有|PB|=|PF|，|PA|+|PF|=|AB|设P/为抛物线上除P外另一点，则由三角形三边之间的关系得|P/B|+|P/A|AB|点P的纵坐标为y=b，代入抛物线方程即可求得点P坐标。例17：已知A（4，0），B（2，2）是椭圆+=1内的两