2024年11月广东省第二次调研考试高三数学试题（含答案）

广东省2025届普通高中毕业班第二次调研考试数学本试卷共4页,考试用时120分钟,满分150分。注意事项:1.答卷前,考生务必将自己所在的市(县、区)、学校、班级、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上,将条形码横贴在每张答题卡左上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2 B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先画掉原来的答案,然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.若双曲线满足,则的离心率为A. B. C. D.3.设全集,则A. B. C. D.4.已知四棱锥的体积为4,底面是边长为的正方形,,则直线与平面所成角的正弦值为A. B. C. D.5.设分别为函数的零点,则的大小关系为A. B. C. D.6.已知向量,则四边形的面积为A. B. C. D.7.已知函数,且在区间上单调,则的最大值为A.B.C.D.8.一个正八面体的八个面分别标有数字1到8,任意抛掷一次这个正八面体,观察它与地面接触的面上的数字.事件,事件,若事件满足,则满足条件的事件的个数为A.4B.8C.16D.24二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知复数满足,则A.可以是B.若为纯虚数,则的虚部是2C.D.10.已知等差数列的前项和为,且,则A.B.C.当时,取得最小值D.记,则数列前项和为11.已知函数,则A.当时,在(0,1)上的最大值为B.在上单调递增C.当时,D.当且仅当时,曲线与轴有三个交点三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.其中第14题第一空2分,第二空3分.12.在中,,则_____.13.若函数的图象与直线有两个交点,则的最小值为_____.14.已知点为椭圆的右焦点,直线与椭圆相交于两点,且与圆在轴右侧相切.若经过点且垂直于轴,则_____；若没有经过点,则的周长为_____.四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)某市举办一年一度的风筝节,吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况,有关部门随机抽取了200位游客,对其出行方式进行了问卷调查(每位游客只填写一种出行方式),具体情况如下:出行方式地铁公交车出租车自驾骑行步行频数542738421821用上表样本的频率估计概率,低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行.(1)若从参加活动的所有游客中随机抽取3人,这3人中低碳出行的人数记为,求和;(2)据另一项调查显示,的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动,的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动,求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率.16.(15分)已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明:.17.(15分)如图,四棱锥的底面是边长为2菱形,分别是的中点.(1)求证；平面；(2)若,求平面与平面所成角的余弦值.18.(17分)在数列中,都有成等差数列,且公差为.(1)求；(2)求数列的通项公式；(3)是否存在,使得成等比数列.若存在,求出的值;若不存在,说明理由.19.(17分)已知集合,设函数.(1)当和时,分别判断函数是否是常数函数?说明理由;(2)已知,求函数是常数函数的概率;(3)写出函数是常数函数的一个充分条件,并说明理由.广东省2025届普通高中毕业班第二次调研考试数学参考答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号12345678选项ACABDBBC二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.题号91011选项 BCDABD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.其中第14题第一空2分,第二空3分.12.四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)【解析】(1)记“低碳出行”为事件,估计.2分则,3分5分7分(2)由(1)知,则有,记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件,由题意,9分所以.13分16.(15分)【解析】(1),2分,则,5分曲线在点处的切线方程为.6分(2)解法1:定义域为.7分①当时,,则,即;8分②当时,.设在上单调递增,,所以,11分所以在上单调递增,,即,14分所以在上单调递增,,则,16分综上所述,.17分解法2:定义域为.7分要证,只需证,只需证,10分令, 当单调递减;当单调递增,,12分 当单调递增;当单调递减,,14分综上所述,,也就是,即.15分17.(15分)【解析】(1)取的中点为,连接.点分别是的中点,是的中位线,即,在菱形中,.,即四边形为平行四边形,则,3分又平面平面,平面.5分(2)连接,平面平面,平面,6分又平面,,7分,又,则,所以.8分即直线两两垂直.如图,以为坐标原点建立空间直角坐标系,则.9分,.10分设平面的法向量为,平面的法向量为,由得取.11分由得取.12分设平面与平面所成角为,则14分即平面与平面所成角的余弦值为.15分18.(17分)【解析】(1)由题意,成等差数列,公差为成等差数列,公差为4.1分则.5分(2)由题意,.6分当时, ,8分且满足上式,所以当为奇数时,.9分当时,.11分所以12分(3)存在时,使得成等比数列分证明如下:由(2)可得,14分假设成等比数列,则,15分化简得,所以,即,16分此时,所以当时,成等比数列.17分19.(17分)【解析】(1)当时,,此时是常数函数;2分当时,,此时不是常数函数.4分(2)设,不妨令. 若函数是常数函数,则5分则,得,所以,得或,所以或,6分同理或或,7分则8分集合共有13个元素,从中任取3个元素组成集合,共个,9分而满足①的集合有,,共5个,则使得函数是常数函数的概率为.10分(3)不妨令,因为 ,若函数是常数函数,则得,所以得,所以12分①当为偶数时,可以拆分成组两项的和,每一组为定值时,也为定值,分所以函数是常数函数的一个充分条件可以是14分②当为奇数时,可以拆分成1组三项的和与组两项的和,每一组为定值时,也为定值,15分所以函数是常数函数的一个充分条件可以是 16分综上所述,当为偶数时,函数是常数函数的一个充分条件可以是 当为奇数时,函数是常数函数的一个充分条件可以是 17分答案详解1.【答案】A【解析】由解得或,因为或,所以“”是“”的充分不必要条件,所以答案选A.2.【答案】C【解析】由得,即,所以答案选C.3.【答案】A【解析】因为,则,即,因为,所以答案选A.4.【答案】B【解析】四棱锥的体积,得,直线与平面所成角的正弦值为,所以答案选B.5.【答案】D【解析】因为时,,又因为单调递增,所以;若0,则,所以时,,即;若,则,所以时,,即.综上所述,,所以答案选D.6.【答案】B【解析】因为,所以四边形为直角梯形.,则面积,所以答案选B.7.【答案】B【解析】由题意知,,则,因为,所以,又因为在区间上单调,所以,解得,则的最大值为,所以答案选B.8.【答案】C【解析】样本空间,这是一个古典概型,可得,即,从而且.由可得事件;又因为,所以1或2.(1)若,则,即,,此时不满足;(2)若,则且,又因为,所以或,即或3;①若,此时或或或,也就是从事件中的四个样本点中选3个,再加入6这一个样本点,即有个满足条件的事件;②若,同理有个满足条件的事件；③若,此时或或或,即从事件的四个样本点中选1个,再加入5,6,7这三个样本点,即有个满足条件的事件;④若,同理有个满足条件的事件;综上所述,满足条件的事件共计个,所以答案选C.9.【答案】AC【解析】当时,,选项A正确;若为纯虚数,则,选项B错误;,选项正确;由可知,在复平面上,复数对应的点在以点(0,0)为圆心,2为半径的圆上,的几何意义是点到点(-1,0)的距离,可得,选项错误,所以答案选.10.【答案】BCD【解析】设公差为,因为,则,解得.由得,选项错误;,则,选项正确,时,最小,选项正确;,所以为等差数列,,前项和为,选项D正确,所以答案选BCD.11.【答案】ABD【解析】(1)当时,则当时,单调递增;当时,单调递减,如图(a);当时,,选项A正确;图(a)图(b)图(c)图(d)(2)当时,①当时,恒成立,单调递增,如图(b);②当时,当时,单调递增;当时,单调递减,如图(c);(3)当a>1时,时,单调递增;当时,,单调递减；如图(d)综上所述,在上单调递增,选项正确;当时,不一定成立,比如时,,选项C错误;只有时,的图象与轴可能有