圆锥曲线笔记

1、 ）D.解析圆锥曲线（上）（用解析几何研究圆锥曲线 圆锥曲线的准圆1.a.椭圆的内准园与外准圆 y P A o x B Dfijf 22yx设椭圆的方程为 ),?0(a?b?1 22ab内准圆定义：在椭圆内部存在使与其相切的椭圆的弦的中心角都为90度称为内准圆 o记?AOX90?A?AB为椭圆的弦，且中心角AOB?ooooo),AO?r,B?90BO?90?,0r?B?90A,0?BOX?B(?ABAA(rcosA,rsinA),B(rcosB,rsinB)代入椭圆的方程得到BABA2222)sinrBcosB）A(rsinA)(（r（rcosBABA?1，?1? 2222abab22?ba2

2、r? A2222)A(b(asinA)cos?22abrabr?BA?AB到椭圆中心的距离为? 2222a?b22r?r22bab?a?2BAr? ?B22)cosbB)B?(asin?2222byax22椭圆?1的内准圆方程为x?y? 2222b?aba 外准圆定义：椭圆两条垂直切线交点的轨迹垂直P作椭圆的两条切线相互,y）为椭圆外的一点，且满足，过如图P（x0022b）这四点到椭圆中心的距离都为a?P点在（?a，?b当P点的切线斜率不存在时代入椭圆的方程?0y?kx?y即kx?y?当斜率存在时设过P点椭圆的切线为k(x?x)?y0000?222222220kx?)by?kx)x?a?(?a

3、(ky?b）x?2a(k0000?0又因为是切线故?2222222220?xykb?（b?(ykx）?0?ay?x）k?ak2?000000此方程即为过P两切线斜率的二次方程两斜率乘积为-1?22yb?2222220b?点到椭圆中心的距离为a?b即当斜率存在时Pa?-1?x?y? 0022x?a02222ba综上椭圆的外准圆存在且方程为x?y? b.双曲线的虚实准圆 22yx设双曲线的方程为 0)?0,1(a?b?- 22ab虚准圆定义：与椭圆的内准圆相似一个以双曲线的中心为圆心使与其相切的双曲线的弦的中心角为90的圆被称为双曲线的虚准圆（必须有ba0,否则不存虚准圆） y=kx+m方程为AB

4、设双曲线弦),yB(xA(x,y),2211得AB方程代入双曲线的方程22222222?0?b)kmx2a?a(m（ak?b）x?222222222?0?m)?b(akmy（ak?b）y?2b?2222222)?(aa(mm?bk)?b o90AOB?y?,又?xy?x 2112222bka?222abamb一定值AB直线到双曲线的距离为0?xy?xy? 2121222a?k?1b22ab?2222byxa22?y)的虚准圆为x?1(b?a?0所以双曲线? 2222aabb?圆一样引入三角参数）（也可像证明椭圆内准 实准圆定义：类似与椭圆的外准圆，双曲线两条相互垂直的 ab0,否则不存在实准圆

5、）切线交点的轨迹（必须有：互垂直P作双曲线的两条切线相y）为双曲线外的一点，且满足，过如图P（x,00代入双曲线的方0?kx?即kx?y?y?(当斜率存在时设过P点双曲线的切线为kx?x)?yy0000?222222220?b?a(ykx)?)?(akb-?）x?2ak(ykxx?0000?0又因为是切线故2222222220?y?k2）xk?xy?b?（0kxak?b?(y）?a?000000此方程即为过P两切线斜率的二次方程两斜率乘积为-1?22yb?-2222220b-点到双曲线中心的距离为a-y?ab即P?-?1?x 0022xa?02222）?0?-b（abax综上双曲线的实准圆存在

6、且方程为?y? C.抛物线的准线是特殊的准圆 准确来说抛物线并没有类似于有心圆锥曲线的准圆存在，但是抛物线两条垂直的切线的交点的轨迹为其准线，可以理解为半径无大的圆 结合上节几何中的抛物线结论容易的出这一结论此处便不 再赘述（用解析法同样可以轻松得到） 2.圆锥曲线直线过定点问题 圆锥曲线的定点问题是让很多人感到头疼的问题，以至于对此类问题形成畏惧心理，观其本质其实并不复杂，主要问题是在于计算量过大，本节将介绍圆锥曲线几个典型过定点问题希望能对大家有所帮助。 对于直线过定点我们其实应该知晓其在解析几何上的表现形式，一般将直线设为斜截式y=kx+m或x=ky+n只要找出斜率与截距的一次线性关系即

7、可确定直线过定点，明确此节我们寻找定点也就转化成了在方程变换中找到一个关于斜率与截距的关系式（例如：y=kx+m若有m=-3k+3则直线过（3，3）点） a.斜率定积 当圆锥曲线上一定点于两动点满足定点与两动点的连线的斜率乘积（乘积不等于0，以及）为一定值时，两动点的2e1-连线必然过定点 椭圆1.22yx222222）byb?x?aa)1(a?b?0P（x,y）为其上一定点（设：椭圆方程为? 000022ab2?)?e?(1?0，y)为椭圆上的两动点(异于P点)且有kk?),A(x,yB(x,BP1212APAB:y?kx?m22222222?（ak?b）x?2akmx?a(m?b)?0?代

8、入椭圆方程：?222222222?（ak?b）y?2bmy?b(m?ak)?0?22?mybkm2?2ax?x?,y?y? 1221222222?b?ka?bak?2222222a(m?b)b(m?ak)?yyxx?,? 2112222222b?bkaak?(y?y)(y?y)?2001?k?k BPAP(x?x)(x?x)0201(得到下式后为得出k与m的关系，应将k或m当作方程的主元化简)222222by?当化简遇到瓶颈时注意bax?a0022222222222222222222?0?bby?(amamx?aby?abx)k?2?aakmx?2bmy?b000000222222222222

9、?0?bmx?a?x(mayx?b)x)k?2?abmxk?)(a(b0000002222222222?0)?a?y)?x(?a?xbbx)k(?2ma?mxk?(aym000000222222222?0(m?yax?byx)k)?2?akmx?ba)(m?x(?000000222222222?0?(?2makmx?ay(m)?y)?x(bax?bkx)00000022222222?0?m?ya)y?by?b?x(?ax?bkx)m?2)(akmx?(ma0000000?22222?0m?baby)(?kx?m?y(?abxx?)k?am?y000000?22222?)点不符题意舍此式成立则A

10、B过P?kxm?y)?a?m?0ay?bby?(m?0,(ax)?bxk00000022222222?baaa?bba?b?y?k(x?x)?y?AB过定点(x,?y) 000022222222?b?baa?abba2b2?过椭圆中心，时AB?e1?特别地当? 2a2b2?定向但不过定点时?ABe1时没有意义当?0,?- 2a 双曲线2.22yx222222）?ax?abyb?0)P（x,y）为其上一定点（b1设：双曲线方程为-?(a?0， 000022ab2?)e?1?0，(异于P点)且有kk?(A(x,y),B(x,y)为双曲线上的两动点BP1221APAB:y?kx?m22222222?

11、（ak-b）x?2akmx?a(m?b)?0?代入椭圆方程：?222222222?（ak-b）y?2bmy-b(m?ak)?0?22?myb?2a2kmx?x?,y?y? 1212222222?b?baakk?2222222a(m?b)?b(m?ak)?,yxx?y? 2112222222ba?akk?b?(y?y)(y?y)?2010?kk? BPAP(x?x)(x?x)0102(得到下式后为得出k与m的关系，应将k或m当作方程的主元化简)22222222222222222222?0y?axx?aby?abbm)k?2?abkmx?2bamy?bm(?a?0000002222222222?0

12、?m?-ya?（bax-byx）k-?2)amxk?(am00000?222222222222?0ya?a?xbyx)k?abmb?mam?)?(kx?m?y(?00000022222?b-aab-b2?e?，1?,?y（)）?0(?AB过定点x 0022222?ab?baa?2b2?过双曲线的中心时AB?1特别的当?e 2a2b2?定向但不过定点AB时e?时没有意义,?1当-?0 2a3.抛物线 22)pxy?2?0)(其余同上)(抛物线设：方程为ypx?2(p00代入抛物线方程mky?AB设方程为x?2?0?2pmy?2pky?222?0m?m)x?x?2(pk?2ypky?2pm?2?

13、?00?kk? BPAP222x2mx?m?2pkx?00022?(x?m)?2pkpy?(x?m)?0?yk?20000?m?2p?)?0x?(kym?)(yk?x00002p2?0)e1)(?x?定点（?,y? 00? 附加：圆锥曲线的共轭性质 直线定向1.本节中证明了当斜率乘积为定值（不等于0，不等于） 2e-1对于定值等于时，有心圆锥曲线会使上节中两动点的连2e1-线定向（斜率为定值）而不过定点。（以椭圆为例） 下证明之（条件同上节，只是） 2?e-?12222yxyx00)(?1?为,AB方程为y?kxm,设：椭圆方程?1 2222bbaa2b2方程代入曲线方程得将ABx,y),A(

14、x,y),B(且kk?1?e? 21AP2BP12a2222?)(m?2abkma?xx?x,?x?22222222?0a?(amk)?b?)xb?2akmx?( 2112222222?bb?aakk?22222222222222?)km?a2b?bm(mb?a(akk?b)y2?b0my?y,y?y?y? 2121222222ba?bakk?22y?(y?y)?(y?y)(y?y)yyyb20012122100?kk1?e BPAP22a)(?xx?x(xx?(x?x)xx?x01020210212222222222)a?k)?2bbmybm(?ayk(b00? 222222222a)?bx

15、(ak?b)?2akmx?a(m0022222222222222222222222?abk?2a)bbbkmx?myx(a?k?ba)?ab?(my?ak(a)b(mb?2)?a00002222222222222222222?myab?(bax?bb0?a)y?a(akb?bx?ay)a?22bmxk00000022222222222?my?2y?a02abkxa?22bmxk?abb0000222?0?kxk?mx?ymy0000y0直线定向?)?kx)(?kx(ymy0k? 0000x0双曲线证明过程几乎一样不再赘述（也可以曲线方程为一般的有心圆锥曲线直接证明） 中垂定理于圆锥曲线的推广2

16、.圆的任意一条弦中点于圆心的连线必与弦垂直，椭圆其实被 进而推广至其他圆锥曲线。压扁的圆，也该存在类似的性质， 事实证明也确实如此22?2Cx?2Dy?设一般圆锥曲线的方程为AxE?By?0ACD?1,中心坐标O（离心率e?（-，-） BABA(x,y)，B(x,y)为圆锥曲线上异于顶点的两点AB中点为T212122?Ax?By?2Cx?2Dy?E?0? 1111?两式作差则必有?22?0?Dy?E?2Cx?2?AxBy?2222?）?x0?（D(y?y)?2x)A(x?x?2C?(yy)?B22122111y?yD21?(?)y?yA B2221?1?e? x?xCBxx?21)(?21 2

17、A2?（当弦的极限位置变成1切线是切点即变为中点K?e同样有此性质）KABTO 抛物线 圆 22222222yxyxrypx?2y?x? 椭圆双曲线1?1?2222bbaa0 -1 22bb -22aa 由此我们还可以得到另一性质 P T B O A 如图:T为PB的中点，AB过圆锥曲线的中心我们已经证明了（抛物线无中心）这与斜221?KK?ePAeKK?,?1那么TO/?PAPBOTPB率乘积为定值中定值=不谋而合！ 2e-1 3.圆锥曲线共轭弦性质 y P O x A B 过圆锥曲线上一定点P引两条动弦PA,PB,若有则 0K?K?PBPAAB定向且（） 0点切线的斜率?过P?K下以椭圆，

18、抛物线为例以不同的方法证之ABa.椭圆 22yx法一：设:椭圆的方程为?1(a?b?0)，P(x,y)椭圆上一定点 0022baA（x,y）B(x,y)，AB直线方程为y?kx?m2112代入椭圆方程22222222?(ak?b)x?2akmx?a(m?b)?0?222222222?(ak?b)y?2bmy?b(m?ak)?0?22?kmam?2b2,y?y?x?x? 221221b?2a222222?b?ka?bak ?xy?y?x? 2112222akb?2222222a(?mm(b)b)ka?y,yxx? 2112222222b?a?bakk?)yy?y)(y2100?0K?0?K PB

19、PA)?yx)(x(x?0021?0?x)?(y?y)(x)(y?yx?x)010001220?2xy(y?y)?y?yxy(x?x)?xx02111212002022222220?k)?b?mx2xy(a?2abbk?2akmy?200002222220yb?)k?bxamxxyk?ab(my?0000002x?b02ya 0)ym?(0x0222222b注意a?yb?ax22x)(kx?m?bka(y-y0?)0000 2xb0点切线斜率的相反数?k?P 2ya0 P T H A S O Q B 法二:如图T,H,S分别为AP,BP,AB的中点 ?K?K?0(1)BPAP2b?K)(2)K?0(KK?K?K HOTOAPHOBPTO2ay?yy?y?0021?0? xy?yx?y(x?x)?x?xx(y?y)?2xy?x?x0?1020121201201200(1)(2)?y?yy?yxy?yx?y(x?x)?x(y?y)?2xy?0?01020112