内蒙古呼和浩特市2019届高三数学3月第一次质量普查调研考试试题文含解析

1、内蒙古呼和浩特市2019届高三3月第一次质量普查调研考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，2，则A. B. C. D. 2，【答案】C【解析】【分析】先解出集合A，然后进行交集的运算即可【详解】由题得，故选：C【点睛】本题主要考查集合描述法、列举法的定义以及交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.若复数，则z的共轭复数（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算得z,再求得解.【详解】由题得，得故选：C【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘法运算，考查共轭复数的基本概念，意在考查学生对这些

2、知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.已知等差数列满足，则它的前8项的和为A. 95B. 80C. 40D. 20【答案】C【解析】【分析】由等差数列的性质和已知条件可得，进而可得，根据求和公式计算即可【详解】等差数列满足，数列的前8项之和，故选：C【点睛】本题主要考查等差数列基本量的计算和等差数列的求和公式和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.在平面直角坐标系中，角的终边过，则的值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义求得的值，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式求得的值【详解】在平面直角坐标系中，角的终边过，则，故

3、选：B【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.5.函数的大致图象为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值进行排除即可【详解】函数，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，排除B，故选：A【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及特殊值，结合排除法是解决本题的关键6.政府为了调查市民对A、B两服务部门的服务满意度情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分评分越高表明市民的满意度越高绘

4、制的茎叶图如图：则下列说法正确的是A. 这50位市民对A、B两部门评分的方差，A部门的评分方差大B. 估计市民对A、B两部门的评分高于90的概率相同C. 这50位市民对A部门的评分其众数大于中位数D. 该市的市民对B部门评分中位数的估计值是67【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图的知识以及样本来估计总体，进行合理的评价，恰当的描述即可【详解】由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大，由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于9

5、0的比率分别为，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为，故A，B，C错误；由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是7550位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67，故D正确；故选：D【点睛】本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题7.九章算术是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题

6、，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为A. 7B. 4C. 5D. 11【答案】C【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：输入，；，；，；，；输出，结束；令，解得.故选C.8.在一次学校组织的中华传统文化知识竞赛中，甲乙丙三个小组参加比赛，比赛共分两个阶段，每一题答对得5分，不答得0分，答错扣3分已知甲组在第一阶段得分是80分，进入第二阶段甲组只答对了20道题，则下列哪一个分数可能是甲组的最终得分A. 195B. 177C. 179D. 178【答案】B【解析】【分析】先阅读题意，再进行简单的合情推理，设进入第二阶段甲组答错了n道题，则甲组的最终得

7、分为，逐一检验即可得解【详解】设进入第二阶段甲组答错了n道题，则甲组的最终得分为，当时，甲组的最终得分可以为177，故选：B【点睛】本题考查了阅读能力及进行简单的合情推理，属简单题9.已知三棱锥中，平面ABC，则三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，求出PB的长度，然后利用分割补形法求解【详解】如图，平面ABC，又，把三棱锥补形为长方体，则长方体对角线长为，则三棱锥外接球的半径为，三棱锥的外接球的表面积为故选：B【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查了“分割补形法”，是中档题10.已知抛物线的焦点为F，M，N是抛物线上两点，若，则线段

8、MN的中点P到x轴的距离为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】依题意，可求得抛物线的焦点坐标与准线方程，利用抛物线的定义将M、N到焦点的距离转化为其到准线的距离计算即可【详解】抛物线的焦点为，准线为，过M，N分别作准线的垂线，则,所以，所以中位线，所以中点P到x轴的距离为故选：C【点睛】本题考查抛物线的简单性质，将M、N到焦点的距离转化为其到准线的距离是关键，考查分析运算能力，属于中档题11.圆柱被一个平面截去一部分后与半径为1的半球组成一个几何体该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】该几何体是由半个圆柱对接

9、半个球而形成的，利用三视图的数据求解几何体的表面积，然后推出结果【详解】该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，视图表示的是几何体水平放置时的情形，其表面积故选：C【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，考查空间想象能力以及计算能力12.函数的导函数，对，都有成立，若，则满足不等式的x的范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意构造新函数，由题意结合函数的单调性求解不等式的解集即可【详解】令，则，故函数单调递增，且，不等式即，即，结合函数的单调性可得满足不等式的x的范围是故选：A【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，函数单调性的应用等知识，属于中等题二、填空题（本大

10、题共4小题，共20.0分）13.已知，是单位向量，且与夹角为，则等于_【答案】3【解析】14.某班共有学生60名，座位号分别为01，02，现根据坐位号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知03号、18号、48号同学在样本中，则样本中另外一位同学的座位号为_号【答案】33【解析】【分析】先求出抽样间隔，再由03号、18号、48号同学在样本中，求出样本中另外一位同学的座位号为号【详解】某班共有学生60名，座位号分别为01，02，现根据坐位号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，抽样间隔，号、18号、48号同学在样本中，则样本中另外一位同学的座位号为号故答案为：33【点睛】本题考查样

11、本中另外一位同学的座位号的求法，考查系统抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15.已知直线与x，y轴分别交于A，B两点，动点P在圆上，则面积的最大值为_【答案】12【解析】【分析】根据题意，求出直线与x，y轴的交点坐标，即可得A、B的坐标，分析可得当P到直线AB的距离最大时，面积的最大，结合直线与圆的位置关系可得P到直线AB的距离最大值，由三角形面积公式计算可得答案【详解】根据题意，直线与x，y轴分别交于A，B两点，则，动点P在圆上，当面积的最大时，P到直线AB的距离最大，圆，即，其圆心为，半径,直线即，则P到直线AB的距离最大值为，则面积的最大值为,故答案为：12【点睛】本题考查

12、直线与圆的位置关系，注意将面积转化为P到直线的距离，属于基础题16.在数列中，若，则该数列的前100项的和是_【答案】5【解析】【分析】本题通过列举出前几项可观察出数列是一个周期数列，然后可利用周期数列的特点求出该数列的前100项的和【详解】由题意，可知：，由以上列举出来的前9项，可知数列是最小正周期为6的周期数列，一个周期内的和为：，故答案为：5【点睛】本题主要考查周期数列的判断以及根据周期数列的特点求出它的前n项和，本题属中档题三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，D是直角斜边BC上一点，若，求的大小；若，且，求AD的长【答案】，或【解析】【分析】由已知可求，在中，由正弦定

13、理可得，即可解得由已知在中，由勾股定理可得，令，由余弦定理，即可解得AD的值【详解】， 在中，由正弦定理可得：， ， ，或， 又，在中，由勾股定理可得：，可得：， 令，由余弦定理：在中， 在中， 可得：，解得：，可得：【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18.如图，平面四边形ABCD，沿BD折起，使证明：为直角三角形；设B在平面ACD内的射影为P，求四面体PBCD的体积【答案】【解析】【分析】求出，从而，由此能证明是直角三角形由，得平面ABC，从而平面平面ACD，其交线为AC，进而过B点作AC的垂直，垂足为P，点P即为B在平

14、面BCD内的射影，P为AC的中点，由此能求出四面体PBCD的体积【详解】证明：在中，是直角三角形由知，平面ABC，平面平面ACD，其交线为AC，故过B点作AC的垂直，垂足为P，点P即为B在平面BCD内的射影，P为AC的中点，四面体PBCD的体积.【点睛】本题考查直角三角形的证明，考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19.某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温单位：有关如果最高气温不低于25，需求

15、量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率六月份这种饮料一天的需求量不低于300瓶的概率；设六月份一天销售这种饮料的利润为单位：元，六月份这种饮料一天的进货量为单位：瓶当时，写出Y关于n的函数，并估计这种进货量亏损的概率有多大【答案】【解析】【分析】根据最高气温不低于20的天数所占的比例得出概率；对最高气温所在区间进行讨论得出Y关于n的函数，再计算亏损的概率【详解】前三年六月份

16、各天最高气温位于区间的天数为，六月份这种饮料一天的需求量不低于300瓶的概率为当最高温度不低于25时，当最高温度位于区间时，当最高气温低于20时，前三年六月份各天最高气温低于20的天数为，亏损的概率【点睛】本题考查了数据处理与概率应用，考查古典概型的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知函数，讨论函数在定义域上的单调性；当时，求证：恒成立【答案】见解析【解析】【分析】求出函数导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；代入a的值，令，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，从而证明结论【详解】，当时，在递减，当时，时，时，故

17、在递减，在递增.当时，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故，显然成立，故恒成立【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题21.已知椭圆C：过点，其左右焦点分别为，三角形的面积为求椭圆C的方程；已知A，B是椭圆C上的两个动点且不与坐标原点O共线，若的角平分线总垂直于x轴，求证：直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形【答案】见解析【解析】【分析】由题意可得，解得，则椭圆方程可求；设直线PA的方程为，联立直线方程和椭圆方程，求得A的横坐标，同理求得B的横坐标，进一步求得A、B的纵坐标的差，代入斜率公式得答案【详解】由题意可

18、得，解得，故椭圆C的方程为，证明：设直线AP的斜率为k，则直线BP的斜率为，设，直线PA的方程为，即联立，得，即设直线PB的方程为，同理求得，直线AB的斜率，易知l与在两坐标轴的截距绝对值相等且都不为0，直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题22.在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，不与坐标轴重合的直线1的极坐标方程为，设1与曲线，异于极点的交点分别为A，B当时，求；求AB中点轨迹的直角坐标方程【答案】，去掉，【解析】【分析】用直线l的极坐标方程分别代入，的极坐标方程，再根据极径的几何意义可得；先求出AB的中点的轨迹的极坐标方程，再化成直角坐标方程【详解】当时，联立得；同理得，由极径的几何意义有由已知令，P为AB的中点，即，所以P点的轨