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文档简介
1、课 题: 第03课时 一般形式的柯西不等式教学目标:1.认识柯西不等式的几种不同形式,理解其几何意义; 2.通过运用这种不等式分析解决一些问题,体会运用经典不等式的一般方法教学重点:一般形式柯西不等式的证明思路,运用这个不等式证明不等式。教学难点:应用一般形式柯西不等式证明不等式。教学过程:一、复习引入:定理1:(柯西不等式的代数形式)设均为实数,则,其中等号当且仅当时成立。定理2:(柯西不等式的向量形式)设,为平面上的两个向量,则,其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立。定理3:(三角形不等式)设为任意实数,则: 二、讲授新课:类似的,从空间向量的几何背景业能得到|.
2、| | .将空间向量的坐标代入,可得到这就是三维形式的柯西不等式.对比二维形式和三维形式的柯西不等式,你能猜想出一般形式的柯西不等式吗?定理4:(一般形式的柯西不等式):设为大于1的自然数,(1,2,)为任意实数,则:即,其中等号当且仅当时成立(当时,约定,1,2,)。证明:构造二次函数: 即构造了一个二次函数:由于对任意实数,恒成立,则其,即:,即:,等号当且仅当,即等号当且仅当时成立(当时,约定,1,2,)。如果()全为0,结论显然成立。三、应用举例:例3 已知a1,a2,an都是实数,求证:分析:用n乘要证的式子两边,能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。例4已知a,b,c,d是不全相等
3、的实数,证明:a2 + b2 + c2 + d2 ab + bc + cd + da 分析:上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子,特别是右边式子的字母排列顺序启发我们,可以用柯西不等式进行证明。 分析:由形式,联系柯西不等式,可以通过构造(12+22+32)作为一个因式而解决问题。四、巩固练习:练习:1设x,y,z为正实数,且x+y+z=1,求的最小值。 2已知a+b+c+d=1,求a2+b2+c2+d2的最小值。 3已知a,b,c为正实数,且a+2b+3c=9,求的最大值。选做:4已知a,b,c为正实数,且a2+2b2+3c2=6,求a+b+c的最小值。(08广一模) 5已知a,b,c为正实数,且a+2b+c=1,求的最小值。(08东莞二模) 6已知x+y+z=,则m=x2+2y2+z2的最小值是_.(08惠州调研)五、课堂小
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