第三章测量误差基本知识

1、第三章,测量误差的基本知识,?,?,?,?,?,3.1,测量误差概述,3.2,精度估计的标准,3.3,观测值的算术平均值及其中误差,3.4,误差传播,3.5,非等精度观测值的最或然值及其中误差,3.1,测量误差概述,一,真值和真误差,?,观测,?,观测值,?,真值,?,真误差,真误差观测值真值,= l,-,X,3.1,测量误差概述,二,测量误差的来源,?,观测者：,?,测量仪器：例如经纬仪三轴之间关系。,?,外界条件：温度、风力、大气折光等,3.1,测量误差概述,三,观测的分类,?,?,?,?,等精度观测和非等精度观测,直接观测和间接观测,独立观测和非独立观测,多余观测,3.1,测量误差概述,

2、四,测量误差分类,1,、粗差,由于观测者使用仪器不正确或疏忽大意，如,测错、读错、记错、算错等，或因外界条件发生,意外的显著变化引起的差错。,2,、系统误差,测量条件中某些特定因素的系统性影响而产,生的误差。即在相同的观测条件下，数值大小和,正负号固定不变，或按一定规律变化。例如,:,钢,尺尺长误差、钢尺温度误差、水准仪视准轴误差、,经纬仪视准轴误差,.,3.1,测量误差概述,在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观,测，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面,看没有任何规律性，这种误差称为“偶然误差”，,是由许多无法精确估计的因素综合造成,(,人的分辨能,力,仪器的极限精度,天气的无常变化

3、,以及环境的干,扰等,),。,偶然误差不可避免，但在一定条件下的大量的偶,然误差，在实践中发现具有统计学规律。,偶然误差举例：仪器对中误差,气泡居中判断、,目标瞄准、度盘读数等误差,气象变化等外界环境等,影响。,五,偶然误差的特性,误差区间,d,0,3,3,6,6,9,9,12,12,15,15,18,18,21,21,24,负误差,K,45,40,33,23,17,13,6,4,正误差,K,46,41,33,21,16,13,5,2,误差绝对值,K,91,81,66,44,33,26,11,6,K/n,0.126,0.112,0.092,0.064,0.047,0.036,0.017,0.0

4、11,K/n,0.128,0.115,0.092,0.059,0.045,0.036,0.014,0.006,K/n,0.254,0.226,0.184,0.123,0.092,0.073,0.031,0.017,24,以上,0,181,0,0,505,0,177,0,0,495,0,358,0,1.000,k,n,d,?,-24 -21 -18 -15 -12 -9 -6 -3,0,+3 +6 +9 +12 +15 +18 +21 +24,X,=,图,3-1,直方图,五,偶然误差的特性,?,一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定,的限值；,?,绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大

5、；,?,绝对值相等的正负误差出现的频率相同；,?,当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋向于,0,。,?,1,?,?,2,?,.,?,?,n,?,?,?,lim,?,lim,?,0,n,?,?,n,?,?,n,n,3.2,精度估计的标准,一、精度的含义,?,所谓,精度,，是指误差分布的集中与离散程度,。如误差分布集中（曲线,a,），则观测精度高,；若误差分布离散（曲线,b,），则观测精度就,低。,3.2,精度估计的标准,二、中误差,1.,用真误差计算中误差的公式,真误差：,?,i,?,l,i,?,X,标准差公式：,?,?,lim,?,l,i,为,观,测,值,，X,为,观,测,值,的,真,

6、值,。,?,n,2,1,2,2,n,?,?,n,为观测值的个数,2,n,中误差公式为：,m,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,n,2.,用改正数计算中误差的公式,当观测值的真值未知时：,设某未知量的观测值为：,l,1,l,2,?,l,n,l,1,?,l,2,?,?,?,l,n,l,x,?,?,则该量的算术平均值为：,n,n,l,则该量的改正数：,v,i,?,?,l,i,?,x,?,l,i,n,VV,计算得：观测值的中误差,m,?,?,n,?,1,按观测值的改正值计算中误差,两组观测值误差的正态分布曲线的比较：,m,1,较小,误差分布比较集中，观测值精度较高；,m,2,较大，误

7、差分布比较离散，观测值精度较低。,m,1,=,?,2.7,?,m,2,=,?,3.6,?,不同中误差的正态分布曲线,三、相对中误差,对于评定精度来说，有时利用中误差还不能反映测量的精,度。例如丈量两条直线，一条长,100m,，另一条长,20m,，它,们的中误差都是全,10mm,，那么，能不能说两者测量精度相,同呢？,为此，利用中误差与观测值的比值，即,m,i,L,i,来评定精度，,通常称此比值为,相对中误差,。相对中误差都要求写成分子为,1,的分式，即,1,N,。上例为,m,2,m,1,1,1,m,1,m,2,?,?,?,L,1,10000,L,2,2000,L,1,L,2,即前者的精度比后者

8、高。,四、极限误差,由偶然误差的第一个特性可知，在一定的观测,条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。,这个限值就是极限误差。,根据正态分布方程式可以表示误差出现在微小区,间d的概率：,p,(,?,),?,f,(,),?,d,?,?,?,1,2,m,2,?,e,d,?,2,?,m,?,2,四、极限误差,由此可见，大于,2,倍中误差出现的概率小于,5,，大,于,3,倍中误差出现的概率小于,0.3,。因此，测量工作中,以,2,倍中误差作为允许的误差极限，称为“,允许误差,”,或“,限差,”。,3.3,观测值的算术平均值及其中误差,一、算术平均值,在相同的观测条件下，对某一量进行,n,次观测，观

9、测值为,x,作为该量的最可靠的数值,l,i,(,i=1,n,),取其算术平均值,（故也称“最或然值”）：,x,?,?,l,i,?,1,n,i,n,l,1,?,l,2,?,?,?,l,n,l,?,?,n,n,算术平均值为何是该量最可靠的数值？可以用偶然误差,的特性来证明：,证明算术平均值是最或然值,按真值计算各个,观测值的真误差：,将上列等式相加，,并除以,n,得到：,?,1,?,X,?,l,1,?,2,?,X,?,l,2,?,?,?,n,?,X,?,l,n,故算术平均值比较,接近于真值，而成,为最可靠的数值：,?,?,X,?,l,n,n,根据偶然误差特性：,?,?,0,lim,n,n,?,?,

10、l,?,X,lim,n,?,?,n,l,x,?,?,X,n,二、观测值的改正数,最或然值与观测值之差称为“观测值的改正值”,(,简称,改正值,),v,:,v,?,x,?,l,(,i,?,1,n),i,i,上列各式相加：,v,?,?,v,i,?,n,x,?,l,?,0,说明：一组观测值取算术平均值后，各个观测值的改正,值之和恒等于零，此可以作为计算的检核。,对,vv,求极小值：,vv,?,(,x,?,l,),?,min,2,(,x,?,l,),?,0,l,x,?,符合最小二乘法原理,n,d,vv,x,?,2,(,x,?,l,),?,0,dx,3.4,误差传播,在实际工作中，某些未知量不能直接观,

11、测而求得，而是需要用观测值间接求得，如,三角形闭合差,W=L,1,+L,2,+L,3,-180,，,W,是观测值,的函数，显然由观测值计算所得函数值的精,确与否，主要取决于作为自变量的观测值质,量的好坏。,定义：,阐述观测值中误差与观测值函数中误,差之间关系的定律，称为误差传播定律。,一、误差传播定律,对于一般函数：,Z,?,f,(,x,1,x,2,?,?,?,x,n,),式中,x,i,为自变量,(,独立观测值,),，设,m,i,为观测值的中误,差，,Z,为独立变量的函数。则,Z,的中误差为：,?,?,f,?,2,?,?,f,?,2,?,?,f,?,2,?,?,?,?,?,m,Z,?,?,?,

12、m,?,m,?,?,?,?,?,m,1,2,?,?,x,?,?,?,x,?,?,?,x,?,n,?,1,?,?,2,?,?,n,?,2,2,2,?,f,式中,为各个变量的偏导数。,?,x,i,误差传播定的几个主要公式：,函数名称,倍数函数,函数式,函数的中误差,z,?,kx,m,z,?,?,km,x,2,2,2,m,z,?,?,m,1,?,m,2,?,?,?,m,n,和差函数,z,?,x,1,?,x,2,?,?,?,x,n,2,2,2,2,2,2,z,?,k,x,?,k,x,?,?,?,k,x,n,n,m,z,?,?,k,1,m,1,?,k,2,m,2,?,?,?,k,n,m,n,线性函数,1

13、,1,2,2,一般函数,Z,?,f,(,x,1,x,2,?,?,?,x,n,),m,Z,?,?,(,?,f,2,2,?,f,?,f,2,2,),m,1,?,(,),2,m,2,?,?,?,?,?,?,?,?,(,),2,m,n,?,x,1,?,x,2,?,x,n,二、误差传播定律的应用,例,1,：,在三角形,ABC,中，直接观测了角,A,和,C,角,B,，其中误差分别为,m,A,=,3，,m,B,=,4，试求角,C,的中误差,m,C,。,?,解：,A,B,列函数式：,C=180,-A-B,应用误差传播定律求,m,C,m,?,m,?,m,?,(,?,3,?,?,),?,(,?,4,?,?,),?

14、,25,2,C,2,A,2,B,2,2,m,c,=,5,例,2,：,量得比例尺为,1,500,的地形图上两点间长度,d,=134.7,mm,图上量距中误差为,?,0.2,mm,换算为实,地距离,D,和量距中误差,m,D,。,函数式为,D=500 d,，实地距离和量距中误差为：,D,?,500,?,134,.,7,mm,?,67,.,35,m,m,D,?,500,?,(,?,0,.,2,mm,),?,?,0,.,1,m,该距离及其中误差可以写成：,D,?,67,.,35,m,?,0,.,1,m,例,3 DJ6,级经纬仪和,6,秒级全站仪一测回方向观测,值中误差,m,=,6，水平角为两个方向观测值

15、之差，,故一测回水平角观测的中误差为：,m,?,?,m,2,?,?,6,?,?,?,2,?,?,8,.,5,?,?,一测回水平角取盘左盘右角度的平均值，故半测回水平,角值的中误差为：,?,?,?,?,m,?,?,m,2,?,?,8,.,5,2,?,?,12,.,0,?,?,盘左、盘右水平角值之差的中误差为：,?,?,?,?,m,?,?,?,m,?,2,?,?,1,2,2,?,?,1,7,?,以,2,倍中误差作为极限误差为34(一般规定40),例,4,坐标计算的精度,两点之间,如果已测定其水平距离,D,和方位角,则可按下,式计算其坐标增量：,?,x,?,D,?,cos,?,?,y,?,D,?,s

16、in,?,对观测值,(,自变量,),D,和,求偏导数,得到函数式的全微分：,d,?,d,?,x,?,cos,?,?,d,D,?,D,?,sin,?,?,d,?,d,?,y,?,sin,?,?,d,D,?,D,?,cos,?,?,按误差传播定律,将上式转换为坐标增量的中误差表达式,坐标增量的中误差,:,m,m,?,?,2,?,?,m,?,x,?,(cos,?,?,m,D,),?,(,D,sin,?,),?,(cos,?,?,m,D,),?,?,?,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,2,?,2,2,m,m,?,?,2,?,?,m,?,y,?,(sin,?,?,m,D,),?,(,

17、D,cos,?,),?,(sin,?,?,m,D,),?,?,?,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,2,?,2,2,上式右边根号内第一项为纵向误差,是由距离误差造成,第二项为横向误差,是由角度误差造成。由纵横坐标增量,误差或纵横向误差，形成两点间的相对点位误差：,?,m,?,?,2,2,?,M,AB,?,m,?,m,?,m,?,?,D,?,m,?,m,t,u,?,?,?,?,?,?,?,2,?,x,2,?,y,2,D,2,3.5,非等精度观测值的最或然值及其中误差,一,.,权的概念,同一量的一系列等精度观测值可以取其算术平均值，,而同一量的一系列不等精度观测值则应取其加权平均

18、值。,“权”,(,P,), 衡量轻重,观测值的中误差,(,m,),小,则权,大,;,反之则权小。定义权与中误差的平方成反比：,C,P,i,?,2,m,i,C,为任意常数。等于,1,的权称为“单位权”,权等于,1,的,中误差称为“单位权中误差”,(,m,o,),。因此,权和中误,差的另一种表达式为：,m,2,1,o,P,i,?,2,m,i,?,m,o,m,i,P,i,为了使“权”的概念简单明了，取一次观测、一,个测回或单位长度（例如,1km,）等的测量误差作为单位,权中误差。例如，以一测回的水平角观测中误差,m,为,测角的单位权中误差,则,n,测回取其算术平均值的角,度中误差及其权为,:,m,?,(,n,测回,),?,m,?,n,P,?,(,n,测回）,?,n,又例如水准测量以一公里的高程测量中误差,m,o,作为单位,权中误差，则,L,(,km,),高差测量中误差及其权为：,m,L,(,km,),?,m,o,L,P,L,(,km,),m,1,?,?,m,L,L,2,o,2,o,由此可知，水准测量的权是路线长度的倒数。,对某一未知量进行一组不等精度观测：,L,1,L,2,L,n,，其中误差为,m,1,m,2,m,n,，观测值,的权为,p,1,p,2 ,p,n,。按照误差理论，此时应按下式,取其加权平均值，作为该量的最或然值：,p,1,