第三章运动的守恒定律

1、第3章 运动的守恒定律l 上一章，研究的是质点机械运动的瞬时关系和过程关系，即 牛顿运动定律的微分形式和积分形式。l 本章，将研究质点系统机械运动的瞬时关系和过程关系，重点研究质点系统的过程问题，从而确立和认识运动的守恒定律。l 一般地说，对于物体系统内发生的各种过程，如果某物理量始终保持不变，该物理量就叫做守恒量。l 本章将着重讨论能量守恒、动量守恒和角动量守恒。l 由宏观总结出的这几个守恒定律适合自然界的任何物理和化学等过程，它是自然规律最深刻、最简洁的陈述，它比物理学中其它定律，如牛顿运动定律，更重要、更基本。l 从质点的动能定理发展为机械能守恒定律，中间必须用到功能原理。功能原理反映了

2、功和能的关系。l 过程关系代替瞬时关系的研究，使们可以不去考虑系统中相互作用具体变化的细节，而把整个过程的某些重要结果确定下来。l 功能原理指出，机械能有两种形式，即动能和势能。机械能守恒定律则进一步指出，在一定条件下，质点系统的动能和势能可相互转化，但它们的总和保持不变。机械能守恒定律是能量守恒定律的一个特例。l 作为自然界的一个普遍规律，能量守恒定律指出了物体运动形式可以相互或转移，在运动转化中，能量始终是守恒的。l 动量和角动量守恒定律同样是自然界的普遍规律，它揭示了通过物体的相互作用，机械运动发生转移的规律。l 能量、动量和角动量为什么守恒？这涉及时空对称性问题，即与物质和物质运动的时

3、空属性有关。3-1 保守力 成对力作功 势能1. 保守力1） 重力所作的功与路径无关l 设质量为m的物体在重力作用下，从高度分别为ha和hb 的a点沿任一曲线运动到达b点，重力所作的功为，在元位移中，重力G所作的元功是（如图3-1所示）l 由上式可知，重力所作的功只与运动物体的始末位置有关，而与运动物体所经过的路径无关。2） 任意闭合路径重力所作的功都为零l 物体沿任一闭合路径运动一周时，重力所作的功，如图3-1所示，因为所以l 这就是说，在重力场中物体沿任一闭合路径运动一周时，重力所作的功为零，即3） 弹性力所作的功与路径无关，任意闭合路径所作的功都为零l 设有一劲度系数为k的轻弹簧，放在水

4、平光滑桌面上，令它一端固定，另一端连结一物体，如图3-2所示。物体从a点运动到b点时，弹力对物体所作的功是l 由上式可见，弹性力所作的功只与运动物体始末位置有关，同样，如果物体由某一位置出发经过任来回过程回到原处，则在整个过程中，弹性力所作的功为零。4） 万有引力所作的功与路径无关，任意闭合路径所作的功都为零l 设一质量为m的物体，在另一质量为M的静止物体的引力场中，沿某路径由a运动到b，如图3-3所示，引力所作的功为，l 因此，引力的功也只和始末位置有关。5） 静电力所作的功与路径无关，任意闭合路径所作的功都为零6） 保守力l 功的大小只与物体的始末位置有关，而与所经历的路径无关的力叫做保守

5、力，其他的力叫做非保守力。l 重力、弹性力、万有引力和静电力等都是保守力，它们所作的功只与物体的始末位置有关，而与所经历的路径无关。l 摩擦力是非保守力，它作的功与路径有关，当我们把放在地面上的物体从一处拉到另一处时，如果所经过的路径不同，摩擦力所作的功是不相同的。2. 成对力的功l 根据牛顿第三定律，不管是保守力还是非保守力，力总是成对的，现在，在讨论质点系统就要讨论这对力所作的总功。l 设有两个质点1和2，质量分别为m1和m2，F1为质点1受到质点2的作用力，F2为质点2受到质点1的作用力，它们是一对作用力与反作用力，由牛顿第三定律可知，F1=- F2。l 如果在某参考系内，质点1 在dt

6、时间内完成了位移dr1，质点2在这段时间内完成的位移是dr2。根据矢量合成的法则，不难看出，dr2=dr1+dr,此处dr表示质点2相对于质点1的相对位移，如图3-4所示。l 我们分别用dA1与dA2表示F1与F2所所作的元功，则有，l 这一对作用与反作用所作的元功之和dA为l 由此可见，成对作用力与反作用所作的总功只与作用力及相对位移有关，与每个质点各自的运动无关。l 虽然每个质点的位移以及作用力所作的功都是和参考系有关的，但是质点间的相对位移却是不随参考系而变化的，所以上面结果表明：任何一对作用力和反作用力所作的总功具有与参考系选择无关的不变性质，只要牛顿第三定律成立，无论从什么参考系去计

7、算，成对力所作的功的结果都一样，这是很重要的性质，利用这一特点我们方便地由相对位移来分析系统中成对内力的功。l 例如，两块叠放在一起的物体，由于它们上下表面之间存在静摩擦力，所以在外力作用下一起沿水平面加速运动，从两者没有相对位移就可断定这对摩擦力所作的总功为零。l 通过上述讨论，现在回顾一下前面的保守力作功的问题。不难看出，在相互作用中，我们讨论的是质点中的一个质点不动的情形，我们知道，不动的质点力对它所作的功为0，因此，实际上前面讨论的就是成对保守力所作的总功，运动质点的始末位置也就是两个质点的始末对相对位置，所以，保守力的普遍定义应该是这样的：在任意的参考系中，成对保守力的功只取决于相互

8、作用质点的始末相对位置，而与各质点的运动路径无关。3. 势能1） 定义l 在机械运动范围内的能量，除了动能外，还有势能。l 物体相对位置变化，相互作用的保守力将作功，并且保守力作的功与路径无关，所以对保守力的相互作用引入势能的概念。非保守力作功与路径有关，这时不能引入势能的概念。l 势能定义为，质点系统各个质点的相对位置从目前位置状态移动变化到指定的参考位置状态时，保守力所作的功叫做质点系统当前的势能，即2） 重力势能3） 弹性势能4） 引力势能5） 保守力的功与势能的关系l 保守力的功与路径无关的性质，大大简化了保守力作功的计算，引入势能概念以后，保守力的功可简单地写成l 上式的意思说，系统

9、在由位置a改变到位置b的过程中，成对保守内力的功等于系统势能的减少(或势能增量的负值)。6） 势能是物体系统的概念l 应当强调，势能既取决于系统内物体之间相互作用的形式，又取决于物体之间的相对位置，所以势能是属于物体系统的，不为单个物体所具有，通常有人讲“物体的势能”这句话，只是为了叙述的简便，但是不严格的。l 此外，还要注意，式(3-7)表明，物体系统在两个不同位置的势能差具有一定的量值，它可用成对保守力作的功来量度，鉴于成对保守力作用的功与参考系的选择无关，所以这个势能差是有其绝对意义的，而这正是我们在处理问题时所感兴趣的内容。至于系统的势能的量值，即只有相对意义，如果 我们选定在某个位置

10、，系统的势能为零，则它在其他位置的势能才有具体的量值，此值等于从该位置移动到势能零点时保守力所做的功。势能零点可根据问题的需要来选择，而作为两个位置的势能差，其值是一定的，与势能零点的选择无关。4. 势能曲线l 质点系统的势能与质点系统相对位置的关系曲线叫做势能曲线。l 用势能曲线来讨论物体在保守力作用下的运动是很方便的，前面提到的三种势能的势能曲线如图3-5所示。1） 根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动l 系统的总能量保持不变的条件，可以在势能曲线图上用一平行于横坐标轴的直线来表示。系统在每一位置时动能的大小就可方便地在图上显示出来，因为动能不可能负值，只有符合的运动才可能发生，所以，根据

11、势能曲线的形状可以讨论物体的运动。l 例如，在图3-5(b)中，表示总能量的直线与势能曲线相交于A、B两点，这表明质点只能在AB的范围内运动，而且在A、B两点，质点的动能为零，速度也为零。l 在图3-5(a)中，当质点的h=H时，其动能为零；而当h=H时，其动能为图中所示的Ek。2） 势能曲线可判断保守力的大小和方向l 保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此坐标的导数的负值，因为保守力的功等于势能增量的负值，即：l 所以利用势能曲线，可判断物体在各个位置所受保守力的大小和方向，即保守力是指向势能下降的方向，下降得越快，保守力约大。3-2 功能原理1. 质点系统的动能定理l 设由两个质点1和2组成的

12、质点系统它们的质量分别为m1,m2；它们所受的外力分别为F1和F2；它们所受的内力分别为f12和f21，它们是成对出现的；它们运动的路径分别为s1和s2；则，外力对质点系统所做的功为内力对质点系统所做的功为内外力对质点系统所做的总功为对于由多个质点组成的质点系统同样有上述关系成立l 质点系统的动能定理：系统的外力和内力所作功的总和等于系统动能的增量。2. 系统的功能原理1） 系统的功能原理l 系统的保守力内力的功：；系统的非保守内力的功：Aid系统内力的总功：由系统的动能定理：得系统的功能原理：l 系统的功能原理：当系统从状态1变化到状态2时，它的机械能的增量等于外力的功与非保守内力的功的总和

13、。2） 动能定理和功能原理的关系l 对于单个物体，只有动能定理，即物体动能的变化是由所有力所作的总功来决定的。l 对于系统，当把保守内力所做的功不用势能变化表示时，就是动能定理。l 对于系统，当把保守内力所做的功用势能变化表示，并把动能与势能的和用机械能表示时就是功能原理。3） 存在其他形式能量时的情形l 物质运动形式的多样化，所以能量除了机械能外，还有热能、电能、原子能等等其他形式的能量。l 系统的外力的功：；系统的非保守内力的功：Aid系统外输入的其他形式的能量：N 系统内部其他形式的能量变化，功能原理：4） 系统和外界没有其他形式的能量交换的情形l N=0，功能原理：5） 系统和外界没有

14、其他形式的能量交换，也没外力作用的情形l Ae=0，N=0，功能原理：6） 非保守内力所做的功算作系统内能变化l 非保守内力的功当作非保守内能的变化：3-3 机械能守恒定律 能量守恒定律1. 机械能守恒定律l 功能原理：l 机械能守恒定律：如果一个系统内只有保守力作功，其他内力和一切外力都不作功，或者它们的总功为零，则系统内各物体的动能和势能可以互相转换，但机械能的总值不变。2. 弹簧振子的振动过程1） 无阻尼自由振动我们讨论图3-2所示的弹簧振子的振动过程。设这个弹簧振子在无摩擦的水平面上振动，它在振动中，距离平衡位置的最大位移为A，通常把A叫做振幅。振子在振幅处，弹性势能有最大值，等于，但

15、动能为零；当振子在弹性恢复力作用下运动到平衡位置，弹性势能变为零，则动能达到最大值。由于振子惯性的作用，它经过平衡位置，又运动到振幅处，弹性势能再次变为最大值，而动能又等于零，如此周而复始地来回振动，振幅始终保持不变，这种振动叫无阻尼自由振动，因振幅不变，所以无阻尼自由振动是个等幅振动。显然在弹簧振子的无阻尼自由振动中，动能和势能相互转换，但它们的总和保持不变，机械能是守恒的。2） 阻尼振动如果上述弹簧振子的粗糙的水平面上振动，情况就大不一样，振动系统的机械能由于摩擦的阻尼作用，将不断地减少，虽然在振动中，动能和势能仍在不断地相互转换，但振幅却愈变愈小，这种振动叫做阻尼振动，阻尼振动是个减幅振

16、动，这时，机械能因摩擦力存在而不再守恒。3） 受迫振动 为了克服阻力作用，可以对弹簧振子施加一个周期性的外力，使系统作受迫振动。受迫振动开始时情形比较复杂，振幅在不断地增大，但经过一段时间后，会进入一种稳定状态，从能量角度来看，最初，系统因外力的功大于阻尼损耗的能量，导致系统能量的增大，其后，由于阻尼一般随速度的增加而增大，随着振动的加强，阻尼损耗的能量也多起来了，当外力作的功恰好补偿系统所损耗的能量时，系统的机械能才保持不变，振动也稳定下来，成为等幅振动。也就是说开始系统的机械能不守恒，经过一段时间后机械能守恒。3. 能量守恒定律1） 能量守恒定律l 功能原理：l 能量守恒定律：一个不受外界

17、作用的系统叫做孤立系统， 一个孤立系统经历任何变化时，该系统的所有能量的总和是不变的，能量只能从一种形式变化为另一种，或从系统内一个物体传给另一物体。2） 能量守恒定律的重要性因为能量是各种运动的一般量度，所以能量守恒定律所阐明的实质就是各种物质运动可以相互转换，但是，就物质或运动本身来说，却是既不能创造，也不会消灭的，在历史上有不少具有物质不灭与运动守恒思想的人，我国明末清初的王夫之就是其中的一个。他在中说：“太虚者，本动者也，动以人动，不滞不息”太虚指的是物质，把物质的本性说成是动的，而且能从一种运动转入另一种运动，这是可贵的运动守恒思想的萌芽。不仅如此，他还以实验观察为基础，列举了烧柴、

18、炼汞等事例，阐明物体虽有生成有毁坏，但不过是变成别的东西而已，物质并没有消灭，我们的祖先很早就在物质不灭思想方面有这样的认识，不能不使我们感到骄傲。到了19世纪，经过迈耶、焦耳和亥姆霍兹等人的努力，建立了普遍的能量守恒定律。恩格斯把能量守恒定律同生物的进化、细胞的发现相提并论，誉为19世纪三个最伟大的科学发现。 守恒定律之所以重要是因为有下面的原因，一方面，自然界一切已经实现的过程无一例外遵守着这些守恒定律。如果发现有所违反，那常常因为过程中孕含着还未被认识的新事物，于是人们就按守恒定律要求去寻找和发现新事物，20世纪物理学的发展过程不有少这样的事例，在衰变的研究中，有些物理学家曾主张依据当时

19、的实验结果放弃能量守恒，但是，年轻的泡利坚信能量必须守恒，实验上的差别在于人们当时未能捕捉到一个中性的、穿透力太强、质量又太小的幽灵，这就是泡利的中微子假说。20多年以后，科学家终于找到了中微子，支持了泡利的假说，捍卫了守恒定律，另一方面，凡违背守恒定律的过程就是不能实现的，因此可根据守恒定律判断哪些过程不可能发生，哪些构想不可能实现，历史上曾有许多人企图发明一种“永动机”，它不消耗能量而能连续不断地对外作功，或消耗少量能量而作大量的功，这种设想违反能量守恒定律，这类永动机只能以失败而告终。此外，利用守恒定律研究物体系统，可不管系统内各物体的相互作用如何复杂，也不问过程的细节如何，而直截了当地

20、对系统的始末状态的某些特征下结论，为解决问题另辟新路子，这也是守恒 定律的特点和优点。在某种意义上说，物理学家所追求的就是想方设法找寻所研究的现象中存在哪些守恒定律。3-4 质心 质心运动定理 动量守恒定律 火箭飞行1. 质心l 质心就是质点系统的质量中心点：在直角坐标系中是l 系统质心的运动代表了质点系统的整体运动。2. 质心运动定理l 质心的质量：l 质心的位矢：l 质心的速度：l 质心的加速度：l 质心的动量：l 质心的所受的力：l 质心运动定理： ， 或 l 质心运动定理：不管物体的质量如何分布，也不管外力作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体的全部质量都集中于此，而且所有外力也

21、都集中作用其上的一个质点的运动一样。l 例如一颗炮弹在其飞行轨道上爆炸时，它的碎片向四面八方飞散，但如果把这颗炮弹看作一个质点系，由于炮弹的爆炸力是内力，而内力是不能改变质心运动的，所以全部碎片的质心仍继续按原来的弹道曲线运动，对地一个物体，在引入质心的概念之衙，对解决比较复杂的机械运动问题会很便利。3. 动量守恒定律l 质心运动定理： l 当时，l 动量守恒定律：如果系统所受到的外力之和为零，则系统的总动量保持不变。动量守恒定律和能量守恒定律一样，都是自然界的普遍规律。l 系统的动量不变与质心保持匀速直线运动状态是等效的。l 动量守恒定律的数学表达式是一个矢量式，在实际计算时，可用它按各坐标

22、分解的分量式，即l 有时，当我们分析系统所受的外力时，得出系统的外力之和并不等于零，但外力在某一方向的分量之和却为零，在这种情形下，尽管系统的总动量不守恒，但总动量在该方向的分量却是守恒的，这一结论也具有普遍性，它在很多实际问题中要用到。l 动量守恒定律表明，在物体机械运动转移过程中，系统中一物体获得动量的同时，必然是别的物体失去了一份与之相等的动量，所以，动量这个物理量的深刻意义在于它正是物体机械运动的一种量度，物体动量的转移反映了物体机械运动的转移。l 物体的动量是物体机械运动的一种度量，物体的动能也是物体机械运动的一种度量，动量反映了机械运动的矢量属性，能量反映了机械运动的标量属性，运动

23、是复杂的，只有动量和能量一起，才能作为运动的全面量度。4. 火箭飞行l 一枚火箭在外层高空飞行 ，那里空气的阻力和重力的影响都可以忽略不计。火箭喷出气体相对于火箭的速度为u。在t时刻，火箭的质量为m，速度为v，(图3-16)，在t+dt时刻，火箭的质量为m+dm，速度为v+dv。在t+dt时刻，火箭喷出气体质量为-dm，速度为v+dv-ul 根据动量守恒定律 ，得到即积分得3-5 碰撞l 如果两个或几个物体在相遇中，物体之间的相互作用仅持续一个极为短暂的时间，这些现象就是碰撞，所以，“碰撞”的含义比较广泛。l 球的撞击、打桩、锻铁、人从车上跳下，子弹打入墙壁、以及分子、原子、原子核等微观粒子的

24、相互作用过程等都是碰撞过程。l 在碰撞过程中，由于相互作用的时间极短，相互作用的冲力又极大，碰撞物体所受的其他作用力相对说来都很小，可以忽略不计，因此，在处理碰撞问题时，常将相互碰撞的物体作为一系统来考虑，可以认为系统内仅有内力的相互作用，这一系统应该遵从动量守恒定律。l 对心碰撞(或称正碰撞)：如果两球在碰撞前的速度在两球的中心连线上，那么，碰撞后的速度也都在这一连线上，这种碰撞称为对心碰撞(或称正碰撞)。l 两球的对心碰撞的碰撞方程：两小球的质量分别是：m1,m2；两小球碰撞前的速度分别是：v10,v20；两小球碰撞后的速度分别是：v1,v2；碰撞方程：动量守恒方程：牛顿碰撞实验方程：碰撞

25、方程的解：l 在斜碰的情况下，分离速度与接近速度都是沿碰撞接触处法线方向上的相对速度1. 完全弹性碰撞l 当e=1，分离速度等于接近速度时,这种碰撞叫完全弹性碰撞。l 完全弹性碰撞的速度为：2. 完全非弹性碰撞l 当e=0，碰撞后两球不分离，等速运动时,这种碰撞叫完全非弹性碰撞。l 完全非弹性碰撞的速度为：3. 碰撞中的力和能l 碰撞中的平均碰撞力l 碰撞中的机械能损失3-6 质点的角动量和角动量守恒定律1. 角动量l 在讨论质点运动时，我们用动量（线动量）来描述机械运动的状态，并讨论在机械运动的转移过程中所遵循的动量守恒定律。l 在讨论质点相对于空间某一定点的运动时，我们也可以用角动量来描述

26、物体的运动状态，并讨论在机械运动的转移过程中所遵循的角动量守恒定律。l 角动量是一个很重要的概念，在转动问题中，它所起的作用和(线动量)所起的作用相类似。l 角动量（动量矩）定义为： l 角动量它描述的是质点的横向运动，即转动，不考虑质点的纵向运动，它是质点运动的部分运动描述。2. 角动量守恒定律l 质点所受力矩的定义：l 力矩它描述的是力对质点横向运动的作用大小，即对转动作用的大小。l 角动量定律：因为，l 角动量守恒定律：，。l 有心力场相对力心的力矩为零，所以有心力场中的运动物体满足角动量守恒定律。3-7 例题1. 例题3-1 一质量为m的物体，在保守力作用下运动，与该保守力相应的势能是 设物体的总能量保持不变，求物体的运动范围和物体所受的力。解: 。势能曲线为：xEpEkE运动范围由得物体所受的力：2. 例题 3-2 一汽车的速度 为v，驶上斜坡时，关闭油门，设斜坡的斜角的正弦为 k，车与路面间的摩擦阻力为车重G的a倍，求汽车能冲上斜坡的距离L。解：由得所以：3. 例题 3-3 一个质量m的物体从静止开始，沿四分之一的圆周从A滑到B，已知圆的半径为R，物