高中数学 第三章 空间向量与立体几何 35 平面的法向量讲义 湘教版选修2 1

1、3,5,平面的法向量,3.5,课堂互动讲练,知能优化训练,课前自主学案,学习目标,学习目标,1.,理解平面的法向量的定义，会求平面的法,向量,2,能运用平面的法向量证明平行与垂直问,题,课前自主学案,温故夯基,1,如果一条直线,l,与平面,内的,_,直线都垂,直，那么就称,l,与平面,垂直,2,如果一条直线垂直于一个平面内两条,_,直线，那么这条直线就与这个平面垂直,3,在平面内的一条直线，如果它和这个平面的,一条斜线的射影,_,，那么它也和这条斜线,_,所有,相交,垂直,垂直,知新益能,1,平面的法向量,与平面,_,的,_,向量称为,的法向量，,平面的法向量可以代表平面的方向,2,空间中垂直

2、关系的向量表示,垂直,非零,空间中的垂直关系,线线垂直,线面垂直,面面垂直,设直线,l,的方向,向量为,a,(,a,1,，,a,2,，,a,3,),，直线,m,的方向向量为,b,(,b,1,，,b,2,，,b,3,),，,则,l,m,?,_.,设直线,l,的方向向,量为,a,(,a,1,，,b,1,，,c,1,),，平面,的法,向量为,u,(,a,2,，,b,2,，,c,2,),，则,l,?,_.,设平面,的,法向量为,u,(,a,1,，,b,1,，,c,1,),，平面,的法向量为,v,(,a,2,，,b,2,，,c,2,),，则,?,_.,a,b,a,u,u,v,一个平面的法向量唯一吗？,提

3、示：,不唯一,思考感悟,课堂互动讲练,平面的法向量的求解与判定,考点突破,若要求出一个平面的法向量，一般要建立空间,直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步,骤为：,(1),设出平面法向量,n,(,x,，,y,，,z,),；,(2),找出,(,求出,),平面内的两个不共线向量,a,(,a,1,，,b,1,，,c,1,),，,b,(,a,2,，,b,2,，,c,2,),；,(3),根据法向量定义建立关于,x,，,y,，,z,的方程组：,?,?,?,?,?,n,a,xa,1,yb,1,zc,1,0,，,n,b,xa,2,yb,2,zc,2,0,；,(4),解方程组，取其中一个解，即得法向量,例,1

4、,已,知,ABC,的,三,个,顶,点,的,坐,标,分,别,为,A,(1,2,3),，,B,(2,0,，,1),，,C,(3,，,2,0),，试求出,平面,ABC,的一个法向量,【思路点拨】,设,n,?,x,，,y,，,z,?,A,、,B,、,C,的坐标,AB,，,AC,的坐标,n,AB,0,n,AC,0,方程组,x,，,y,，,z,之间的关系,赋非零值,结论,【解】,设平面,ABC,的法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,A,(1,2,3),，,B,(2,0,，,1),，,C,(3,，,2,0),，,AB,(1,，,2,，,4),，,AC,(2,，,4,，,3),，,由题设得：,?,?

5、,?,?,?,n,AB,0,n,AC,0,，即,?,?,?,?,?,x,2,y,4,z,0,2,x,4,y,3,z,0,，,解之得,?,?,?,?,?,x,2,y,z,0,，,取,y,1,，则,x,2.,故平面,ABC,的一个法向量为,n,(2,1,0),【名师点评】,任一平面的法向量有无数多,个,自我挑战,1,已知点,A,(3,0,0),，,B,(0,4,0),，,C,(0,0,5),，,求平面,ABC,的单位法向量,解：,设单位法向量,n,(,x,，,y,，,z,),，,AB,(,3,4,0),，,AC,(,3,0,5),，,?,?,?,?,?,n,AB,3,x,4,y,0,，,n,AC,

6、3,x,5,z,0,，,x,2,y,2,z,2,1.,解得,n,?,?,?,?,20,769,769,，,15,769,769,，,12,769,769,，,或,n,?,?,?,?,20,769,769,，,15,769,769,，,12,769,769,.,用向量法证明线面垂直问题,用向量法证明线面垂直：,设,a,表示一条直线的方向向量，,n,是平面的法,向量,(1),a,n,，则线面垂直,(2),在面内找到两条不共线的直线，分别求出,它们的方向向量,b,，,c,，只需证明,a,b,，,a,c,.,例,2,如图所示，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,、,F,分别是

7、,BB,1,、,D,1,B,1,的中点,求证：,EF,平面,B,1,AC,.,【思路点拨】,证明线面,垂直可以转化为线线垂,直，也可以证直线的方,向向量与平面的法向量,平行,【证明】,法一：设,A,1,B,1,的中点为,G,，连接,EG,，,FG,，,A,1,B,.,则,FG,A,1,D,1,，,EG,A,1,B,.,A,1,D,1,平面,AA,1,B,1,B,.,FG,平面,AA,1,B,1,B,.,A,1,B,AB,1,，,EG,AB,1,，,EF,AB,1,.,同理,EF,B,1,C,.,又,AB,1,B,1,C,B,1,，,EF,平面,B,1,AC,.,法二：设,AB,a,，,AD,c

8、,，,AA,1,b,，,则,EF,EB,1,B,1,F,1,2,(,BB,1,B,1,D,1,),1,2,(,AA,1,BD,),1,2,(,AA,1,AD,AB,),1,2,(,a,b,c,),，,AB,1,AB,AA,1,a,b,.,EF,AB,1,1,2,(,a,b,c,),(,a,b,),1,2,(,b,2,a,2,c,a,c,b,),1,2,(|,b,|,2,|,a,|,2,0,0),0.,EF,AB,1,，,即,EF,AB,1,，同理，,EF,B,1,C,，,又,AB,1,B,1,C,B,1,，,EF,平面,B,1,AC,.,法三：,设正方体的棱长为,2,，,建立如图所示的直,角坐

9、标系，,则,A,(2,0,0),，,C,(0,2,0),，,B,1,(2,2,2),，,E,(2,2,1),，,F,(1,1,2),EF,(1,1,2),(2,2,1),(,1,，,1,1),AB,1,(2,2,2),(2,0,0),(0,2,2),，,AC,(0,2,0),(2,0,0),(,2,2,0),而,EF,AB,1,(,1,，,1,1),(0,2,2),(,1),0,(,1),2,1,2,0,，,EF,AC,(,1,，,1,1),(,2,2,0),2,2,0,0,，,EF,AB,1,，,EF,AC,.,又,AB,1,AC,A,，,EF,平面,B,1,AC,.,法四：同法三得,AB,

10、1,(0,2,2),，,AC,(,2,2,0),设面,AB,1,C,的法向量,n,(,x,，,y,，,z,),，,则,AB,1,n,0,，,AC,n,0,，,即,?,?,?,?,?,2,y,2,z,0,2,x,2,y,0,取,x,1,，则,y,1,，,z,1,，,n,(1,1,，,1),EF,n,，,EF,n,，,EF,平面,B,1,AC,.,【名师点评】,(1),法一用传统的几何法证明，利,用线面垂直的性质及判定，需添加辅助线,法二选基底，将相关向量用基底表示出来，然后,利用向量的计算来证明,法三、法四建立空间直角坐标系，利用向量，且,将向量的运算转化为实数,(,坐标,),的运算，以达到,证

11、明的目的,(2),几何的综合推理有时技巧性较强，而向量代数,运算属程序化操作，规律性较强，但有时运算量,大，两种处理方法各有优点，不能偏废,用空间向量证明面面垂直：,(1),根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线,面垂直、线线垂直,(2),证明两个平面的法向量互相垂直,用向量证明面面垂直问题,例,3,在正棱锥,P,-,ABC,中，三条侧棱两两垂,直，,G,是,PAB,的重心，,E,、,F,分别为,BC,、,PB,上的点，且,BE,EC,PF,FB,1,2.,求证：,(1),平面,EFG,平面,PBC,；,(2),EG,BC,，,PG,EG,.,【思路点拨】,面面垂直可转化为线面垂直或,两平面的

12、法向量相互垂直来证明,【证明】,(1),法一：如图，以三棱锥的顶点,P,为,原点，以,PA,、,PB,、,PC,所在直线分别作为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立空间直角坐标系令,PA,PB,PC,3,，则,A,(3,0,0),、,B,(0,3,0),、,C,(0,0,3),、,E,(0,2,1),、,F,(0,1,0),、,G,(1,1,0),、,P,(0,0,0),于是,PA,(3,0,0),，,FG,(1,0,0),，,故,PA,3,FG,，,PA,FG,.,而,PA,平面,PBC,，,FG,平面,PBC,.,又,FG,?,平面,EFG,，,平面,EFG,平面,PBC,.,法,二,：,同,

13、法,一,，,建,立,空,间,直,角,坐,标,系,，,则,E,(0,2,1),、,F,(0,1,0),、,G,(1,1,0),，,EF,(0,，,1,，,1),，,EG,(1,，,1,，,1),设平面,EFG,的法向量是,n,(,x,，,y,，,z,),，,则有,n,EF,，,n,EG,，,?,?,?,?,?,y,z,0,，,x,y,z,0,，,令,y,1,，得,z,1,，,x,0,，即,n,(0,1,，,1),显然,PA,(3,0,0),是平面,PBC,的一个法向量,这样,n,PA,0,，,n,PA,，即平面,PBC,的法向,量与平面,EFG,的法向量互相垂直，,平面,EFG,平面,PBC,.

14、,(2),EG,(1,，,1,，,1),，,PG,(1,1,0),，,BC,(0,，,3,3),，,EG,PG,1,1,0,，,EG,BC,3,3,0,，,EG,PG,，,EG,BC,.,【名师点评】,证明面面垂直通常有两种方,法，一是利用面面垂直的判定定理，转化为,线面垂直、线线垂直去证明；二是证明两个,平面的法向量互相垂直,自我挑战,2,三棱锥被平行于底面,ABC,的平面,所截得的几何体如图所示，截面为,A,1,B,1,C,1,，,BAC,90,，,A,1,A,平面,ABC,.,A,1,A,3,，,AB,AC,2,A,1,C,1,2,，,D,为,BC,的中点,证明：平面,A,1,AD,平面

15、,BCC,1,B,1,.,证明：,法一：如图，建立空间直角坐标系，则,A,(0,0,0),，,B,(2,，,0,0),，,C,(0,2,0),，,A,1,(0,0,，,3),，,C,1,(0,1,，,3),，,D,为,BC,的中点，,D,点坐标为,(1,1,0),，,AD,(1,1,0),，,AA,1,(0,0,，,3),，,BC,(,2,2,0),AD,BC,1,(,2),1,2,0,0,0,，,AA,1,BC,0,(,2),0,2,3,0,0,，,AD,BC,，,AA,1,BC,，,BC,AD,，,BC,AA,1,，又,A,1,A,AD,A,，,BC,平面,A,1,AD,，,又,BC,?,

16、平面,BCC,1,B,1,，,平面,A,1,AD,平面,BCC,1,B,1,.,法二：同法一建系后，得,AA,1,(0,0,，,3),，,AD,(1,1,0),，,BC,(,2,2,0),，,CC,1,(0,，,1,，,3),设平面,A,1,AD,的法向量,n,1,(,x,1,，,y,1,，,z,1,),，,平面,BCC,1,B,1,的法向量为,n,2,(,x,2,，,y,2,，,z,2,),由,?,?,?,?,?,n,1,AA,1,0,n,AD,0,，得,?,?,?,3,z,1,0,x,1,y,1,0,.,令,y,1,1,，则,x,1,1,，,z,1,0.,n,1,(1,，,1,0),由,?,?,?,?,?,n,2,BC,0,n,2,CC,1,0,，得,?,?,?,2,x,2,2,y,2,0,y,2,3,z,2,0,.,令,y,2,1,，则,x,2,1,，,z,2,3,3,，,n,2,(1,1,，,3,3,),n,1,n,2,1,1,0,0,，,n,1,n,2,，,平面,A,1,AD,平面,BCC,1,B,1,.,1,方向向量的作用,直线的方向向量和平面的法向量是用空间向量,解决立体几何问题的两个重要工具，是实现空,间问题的向量解法的媒介,2,用向量证明空间垂直关系的方法,方法感悟,线线,垂直,设直线