群表示理论基础

1、第三章 群表示理论基础第一节 分子对称性 一、对称元素(symmetry elements)与对称操作(symmetry operations)1. 对称操作：每一次操作都能够产生一个与原来图形等价的图形。 2. 对称元素：对分子几何图形施行对称操作时，所依赖的几何要素（点、线、面及其组合）称为对称元素。五种对称元素及相应的对称操作：1) 恒等元素（identity element E） 恒等操作（identity operation E）（操作后，分子保持完全不动）2) 对称轴（proper axes Cn） 旋转操作（proper rotations Cn，Cn2，Cn3.Cnn-1，Cn

2、n = E） 3) 对称面（symmetry planes ）反映操作（reflections , 2 = E）* v、h、d4) 对称中心（symmetry center, inversion center i） 反演操作（inversion i, i2 = E）5) 象转轴（非真轴 improper axes）（Sn）旋转反映操作（improper rotation Sn，Sn2，Sn3，Snn） S1 = h S2 = C2h = i； Snk = Cnk(k为偶数)，Snk = Cnkh(k为奇数)3、对称操作的乘积(product of symmetry operations) 如果

3、一个操作产生的结果和两个或多个其他操作连续作用的结果相同，则称这一操作为其他操作的乘积。 例：对分子先后施行B和A操作,结果相当于对分子单纯施行C操作，则称C是A与B的乘积. 记为AB = C。C3C3 = C32 若AB = BA，则称对称操作A与B是可交换的.二、群（group）的基本知识1、群的定义：一个集合G含有A、B、C、元素，在这些元素之间定义一种运算(通常称为“乘法”)。若满足如下四个条件，则称集合G为群：1） 封闭性(enclosed property): 若A、B为G中任意两个元素，且AB=C，A2 =D，则C、D仍为G中元素。2） 缔合性：G中各元素之间的运算满足结合律(a

4、ssociate law)：(AB)C=A(BC)3）有单位元素E (unit element)，使任一元素A满足：AE = EA = A4）G中任意一元素A均有其逆元素(inverse element)A-1，A-1亦属于G中。 A A-1 = A-1A = E* 群中元素的数目称为群的阶（order h）。A1，A2，A3，A4，A5, A6 h = 6阿贝尔群: A、B为群G中任意两个元素，若AB = BA，则G为阿贝尔群(Abel group)。 子群（subgroup）：若群g的全元素包含在另一个群G中，则g群成为G群的子群。 记为 A1，A2，A3，A4，A5, A6 A1，A2，

5、A3子群的阶g是群的阶h的整数因子，h/g = 正整数。Lagrange定理非真子群（improper subgroup 平凡子群）：E、G真子群（proper subgroup 固有子群）：1 g h的子群例：A、整数集合：-3, -2, -1, 0, 1, 2 ,3 对“代数加法”构成一个群。B、CH2Cl2分子（C2v群）的对称操作的集合E，C2，v，v对“对称操作的乘积”构成一个群。 封闭性：EC2 = C2, Ev = v， Ev = v, C2v = v， C2v = v, vv = C2C2v = v C2v = v vv = C2 缔合性：(C2v)v = vv = E C2(

6、vv) = C2C2 = E单位元素：E逆元素：C2C2 = E, vv = E, vv = E；C2-1 = C2, v-1 = v, v-1 = v * 逆元素为自身。C3v群(NH3)的子群：C3v群：E, C3, C32, v, v, v真子群：E, C3, C32 E, v E, v E, v2、共轭元素(conjugate elements)和群的类(class)若X和A是群G中的两个元素，且B = X-1AX，则B 仍为G中的元素（上式称为：B是A借助于X所得的相似变换similarity transformation），则称A和B为共轭元素。群元素均有自共轭性：E1AE = A

7、单位元素E只有自共轭性：A1EA = E 类：群中相互共轭的元素的完整集合称为群的类。A1，A2，A3，A4，A5, A6，A7，A8，A9例1：C2V群（CH2Cl2）E，C2，v，v 求与C2共轭的元素：E-1C2E = E-1C2 =EC2= C2，C2-1C2C2 = EC2 = C2，v-1C2v =v-1v=vv= C2，v-1C2v =v-1v =vv =C2可见C2自成一类。同理可证：E，v，v亦各自成一类。因此C2V群共有四类，每个元素自成一类。三、分子对称操作群（分子点群point group）1、可以证明：对于任意分子完全而不重复的对称操作集合构成一个群，称为分子对称操作

8、群(分子点群)。2、分子点群的确立（见结构化学）第二节 分子对称操作的矩阵表示一、矩阵（matrix）的基本知识：1、 定义：一些数字的矩形排列。如： (m行n列)的矩阵方阵(square matrix)：若行数 = 列数(m = n), 称为方阵。方阵的迹（trace）：= aii (方阵的对角元素之和)单位矩阵（unit matrix与群的单位元素对照）：对角元素aii = 1，其他元素均为0的方阵（E）。2、矩阵的乘法1）若A的列数等于B的行数，则二者可以相乘。A(nh)B(hm) = C(nm)乘法服从结合律：(AB)C=A(BC); 一般不服从交换律：ABBA.例1：例2：不服从交换

9、律2) 逆矩阵(inverse matrix) 与群中逆元素概念对照若AA-1 = A-1A = E（单位矩阵），则A-1为A的逆矩阵。 只有方阵才有逆矩阵；奇异矩阵(singular matrix)和非奇异矩阵（nonsingular matrix） 若|A| = 0, 则A为奇异矩阵，其逆矩阵无法确定；若|A| 0，则A为非奇异矩阵，具有唯一的逆矩阵。3）共轭矩阵(conjugate matrix) 与群中共轭元素概念对照A、B、X为三个矩阵，若A = X-1BX，则称A与B为共轭矩阵。* 共轭矩阵具有相等的迹。首先要证明，若AB=C，BA=D，则C和D的迹相等。再证明：若A=X -1BX，则A和B具有相等的迹。A的=X-1BX的=(X-1B)X的=X(X-1B)的=(XX-1)B的=B的4）矩阵乘法的一种特例对角方块矩阵 对角矩阵的乘法，例： . . . .二、对称操作的矩阵表示 例：对称操作对任意点位置坐标（x，y，z）的作用1、恒等操作：单位矩阵 2、 反映(xy): (xz): (yz): 3、 反演：负单位矩阵 4、 真转动：若定义z轴为转动轴，矩阵的一部分应为： 利用三角函数：x1=rcos y1=rsinx2=rcos(+)=rcosc