高数B2分题型练习(答案).doc

1、高等数学B2分题型练习(参考答案)一、单顶选择题1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、9、10、 11、 12、 13、 14、15、 16、 17、18、19、 20、21、 22、23、24、 25、26、 27、28、 29、30、 31、32、 33、 34、 35、36、二、填空题 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、10、 11、 12、 13、14、 15、 16、17、 18、 19、 20、 21、 22、 23、24、 25、 26、 27、28、 29、 30、 31、 32、 33、34、 35、三、计算定积分1、求定积分 解：2、求定积分 解：

2、3、求定积分 4、求定积分 解：解： 5、求定积分 解： 6、求定积分 解：令，则，且当时，；时，。于是 7求定积分 解：令 8、求定积分 解：9、求定积分 解：10、求定积分解：由定积分的几何意义可知，积分值为区域落在第一象限的部分的面积，即，解法二，令，则，且当时，当时，则11、求定积分 解： 令 ，则，且当时，；时，。于是 12、求定积分 解：令 四、计算偏导数、全微分1、设其中，求。解：,2、设，求解：因为，所以 3、设，求。解： 4、设，求。 解：因为，所以5、设，求。解：因为，所以6、设，是可微的函数，求。 解： 7、设是由方程所确定的隐函数，求。解：设则8、设二元函数是由方程所确

3、定的隐函数，求。解：设则9、设二元函数是由方程所确定的隐函数，求。解：设则10、设二元函数是由方程所确定的隐函数，求。 解：设，则所以11、设二元函数是由方程所确定的隐函数，求。 解：设，则 所以12、设二元函数是由方程所确定的隐函数，求。解：设，则 所以五、计算二重积分 1、求二重积分，其中：为解：利用极坐标，2、计算二重积分，其中区域是曲线和直线所围成的闭区域。解： 3、计算二重积分，其中区域是直线及曲线所围成的闭区域。解：曲线与直线的交点为 ，4、求二重积分，其中D是由直线和圆 所围成且在直线下方的平面区域。解：直线与圆的交点为 5、求二重积分，其中D是由直线和圆 所围成的在第一象限的平

4、面区域。解： 6、求二重积分，其中区域D是由直线和半圆 所围成。解：六、判定级数的敛散性1、判绽级数的敛散性。解：因为，而正项级数收敛，所以级数绝对收敛。2、判定级数的敛散性。解：，而正项级数收敛，所以 收敛 ，因此原级数 绝对收敛。3、判绽级数的敛散性。解：这是一个正项级数，且，所以由比值判别法知级数收敛。4、已知级数收敛散性，求常数的取值范围。解：设，则，所以当时，级数绝对收敛，时，级数绝对发散。而当时，级数为，是发散的，当时，级数为，是收敛的。因此当级数收敛时，常数的取值范围为。5、判定级数的敛散性。解：因为，所以级数绝对收敛。6、判定级数(为常数)的敛散性，并指出是否绝对收敛。解：，而

5、正项级数是一个公比为的等比级数，所以收敛，因此 收敛 ，因此原级数 绝对收敛。七、幂级数1、求幂级数的收敛域及和函数。解：由于，所以所以，幂级数的收敛半径，收敛区间为.当时，幂级数成为，显然是发散的；当时，幂级数成为，也是发散的.因此，收敛域为。当时，2、求幂级数的收敛域。解：此幂级数缺少偶次幂项,所以不能用定理8中的公式求收敛半径.我们可根据定理7 求收敛半径.设，由于所以，当，即时，幂级数绝对收敛；当，即或时，幂级数发散.因此，收敛半径，收敛区间为.当时，幂级数成为，显然是收敛的；当时，幂级数成为，也是收敛的，所以收敛域为 .3、将函数展开成的幂级数。解：因为所以4、将函数展开成的幂级数。

6、解：因为所以5、将函数展开成的幂级数。解：因为 所以，（）6、求幂级数的和函数。解：幂级数的收敛半径为，收敛域为 设，则当时，对上式两边从到积分，得 ，即幂级数的和函数在收敛域上连续，所以有因此八、求一阶微分方程的通解或特解1、求微分方程的通解。解：这是一个线阶非齐次线性方程，因为代入通解公式，得 2、求微分方程的通解。解：，由通解公式得3、求微分方程的通解。解：方程可化为，这是一个一阶齐次微分方程，设，得 原方程化为 ，分离变量得，两边积分，得用代入并化简得4、求微分方程的通解。解：方程可化为，因为代入通解公式，得 5、求微分方程满足初始条件的特解。 解：，由通解公式得由初始条件，得所以特解

7、为6、求微分方程的通解。解：，由通解公式得九、求二阶微分方程的特解1、求微分方程在初始条件下的特解。解：特征方程为，解得特征根为所以方程的通解为 由初始条件得，解得。特解为2、求微分方程在初始条件下的特解。解：由特征方程，解得 ，所以方程的通解为 由初始条件，得 ，解得 ，因此特解为3、求微分方程在初始条件下的特解。解：由特征方程，解得 ，所以方程的通解为 由初始条件，得 ，解得 ，因此特解为4、求微分方程在初始条件下的特解。解：方程两边积分一次得由得，所以再两边积分得由得，所以5、求微分方程在初始条件下的特解。解：特征方程为，解得特征根为所以方程的通解为由初始条件得，解得。特解为6、求微分方

8、程在初始条件下的特解。解：特征方程为，解得特征根为所以方程的通解为由初始条件得，解得。特解为十、求平面图形的面积和旋转体的体积1、设平面区域由曲线与直线所围成，求（1）区域的面积； （2）区域绕轴旋转一周所成的旋转体的体积。解：面积 旋转体的体积 2、设平面区域由曲线与直线所围成，求（1）区域的面积； （2）区域绕轴旋转一周所成的旋转体的体积。解：曲线与直线的交点为 (1) 区域D的面积为 (2) 旋转体的体积 3、设平面区域由曲线与直线所围成，求（1）区域的面积； （2）区域绕轴旋转一周所成的旋转体的体积。解：所求面积为 所求旋转体的体积为4、设平面区域由曲线与直线所围成，求（1）区域的面积

9、； （2）区域绕轴旋转一周所成的旋转体的体积。解：面积 旋转体的体积5、设平面区域由曲线与直线及所围所，求（1）区域的面积； （2）区域绕轴旋转一周所成的旋转体的体积。解：曲线与直线的交点为 (1) 区域D的面积为 (2) 旋转体的体积 6、设平面区域由曲线与直线所围成，求（1）区域的面积； （2）区域绕轴旋转一周所成的旋转体的体积。解：面积 旋转体的体积十一、 多元函数极值应用题1、面积为（平方单位）的钢板，适当裁剪后，焊接成一个长方体形的无盖水箱（不计耗），问尺寸如何设计，做成的水箱的容积最大.解： 设容器的长、宽、高分别为，则目标函数为约束条件为作拉格朗日函数由(7-12)可得方程组将上

10、述方程组中的第一个方程乘，第二个方程乘，第三个方程乘，再两两相减，得 ，代入第四个方程得唯一驻点 ，由问题本身可知最大值一定存在，因此，当容器的长，宽均为4米，高为2米时容积最大。2、某企业在雇用名技术工人，名非技术工人时，产品的产量，如果企业只能雇用人，那么该雇用多少技术工人，多少非技术工人才能使产量最大？ 解：由题意得约束条件为 ， 作拉格朗日函数 可得方程组。解得，驻点唯一，实际问题有最优解，所以企业雇用技术工人、非技术工人分别为名时，能使产量达到最大。3、某企业生产某产品的产量，其中为劳动力人数，为设备台数，该企业投入5000万元生产该产品，设招聘一个劳动力需要15万元，购买一台设备需

11、要25万元， 问该企业应招聘几个劳动力和购买几设备时，使得产量达到最大？解：由题意得约束条件为 ，即作拉格朗日函数 可得方程组。解得，驻点唯一，实际问题有最优解，所以企业招聘250个劳动力，购买50台设备时，能使产量达到最高。4、某工厂生产甲、乙两种产品，当主量分别为 （千件）和（千件）时，销售收入为（万元）如果工厂每月只能生产千件产品，问两种产品各生产多少件时，这个月的销售收入最大。解 总产量为2千件时的最佳的生产方案就是在的条件下，求的最大值问题。设拉格朗日函数为解方程组 ， 得唯一可能极值点。由问题本身可知最大值一定存在，所以当甲产品为0.5千件，乙产品为千件时，销售收入达到最高，最高销

12、售收入为万元5、设有一球面，方程为，求该球内接长方体的最大体积。解 设长方体的边长分别为，则体积为而应满足的条件为作拉格朗日函数解方程组 ， 得唯一可能极值点。由问题本身可知最大值一定存在，所以当长宽高分别为时，长方体的体积最大，最大体积为6、用钢板做一个容量为立方米的长方体形无盖水箱，问长、宽、高各为多少时，所用的材料最省？解： 设水箱的长、宽、高分别为，则目标函数为 约束条件为 作拉格朗日函数 可得方程组将上述方程组中的第一个方程乘，第二个方程乘，第三个方程乘，再两两相减，得 代入第四个方程得唯一驻点 ，由问题本身可知最大值一定存在，因此当容器的长，宽均为4米，高为2米时用料最省。十二、综合题1、已知函数在上连续且满足方程，求。解：等式两边积分得，由此得，所以，因此。2、设连续函数满足：，求。解：等式两边积分得，由此得，所以，因此。3、设连续函数满足：，求。解：等式两边积分得，由此得，所以，因此。4、若在上连续，且计算。解： 5、设函数连续，且满足，求。解：等式两边积分得，由此得，所以，因此6、设连续函数满足：，求。解 ：令 则，得 ，两边对求导得 ，由此得 ，令，得 ， 即十三、证明题1、证明：，其中为大于的整数。 证明：(交换积分次序)，左边=或边2、已知连续且满足，证明：。证明：令，则 由此得两边求导得，