2010-2011学年上海市杨浦区同济大学一附中高二(上)期中数学试卷

1、2010-2011学年上海市杨浦区同济大学一附中高二（上）期中数学试卷 2010-2011学年上海市杨浦区同济大学一附中高二（上）期中数学试卷一、填空题（每题4分，满分48分）1（4分）已知4与x的等比中项为2x，则x=_2（4分）若等差数列an中，a3+a12=2011，a9=2008，则a6=_3（4分）在平行四边形ABCD中，O在AC上且，则=_（用、表示）4（4分）计算：=_5（4分）计算=_6（4分）用数学归纳法证明：f（n）=（n+1）（n+2）（n+n）（2n）n（n2，nN*）时，f（k+1）=f（k）_7（4分）已知，则与同向的单位向量为_8（4分）已知向量，若A，B，C三点

2、共线，则k=_9（4分）若与夹角为120，则=_10（4分）（2011崇明县二模）若一个无穷等比数列an的前n项和为Sn，且Sn=，则首项a1取值范围是_11（4分）若数列an满足a1=2，an+1=3an+2（nN*），则通项公式an=_12（4分）若对于n个向量，若存在n个不全为零的实数k1，k2，kn，使得，则称为“线性相关”，k1，k2，kn分别为的“相关系数”依此规定，若线性相关，的相关系数分别为k1，k2，k3，则k1：k2：k3=_二、选择题（每小题3分，满分12分）13（3分）下列等式正确的是（）ABCD14（3分）若等差数列an，3a6=a8，且a10，则前n项和Sn取得最小

3、值时的n值为（）A第9项B第4项C第5项D第4项或第5项15（3分）若存在，则实数r的取值范围（）ABCD或0r116（3分）（2005浙江）已知向量，|=1，对任意tR，恒有|t|，则（）AB（）C（）D（+）（）三、解答题（满分40分）17（6分）已知某市2000年底人口为100万，人均住房面积为5平方米，如果该市每年人口平均增长为2%，到2001年底新增住房面积10万平方米，以后每年新增住房面积比前一年新增住房面积多10万平方米，试问到2010年底，该市人均住房面积为多少平方米？（精确到0.01）18（6分）已知等比数列an，首项a1=2，公比（1）求证：数列an2为等比数列；（2）求的

4、值19（8分）已知向量与和的夹角相等，且，（2）求的坐标；（2）求与的夹角20（8分）若，（1）若满足与平行，求实数x的值；（2）若满足与垂直，求实数x的值；（3）若满足与所成角为钝角，求实数x的取值范围21（12分）定义：数列an的前n项的“均倒数”为若数列an的前n项的“均倒数”为，（1）求数列an的通项公式；（2）已知，数列bn的前n项和Sn，求的值；（3）已知，问数列ancn是否存在最大项，若存在，求出最大项的值；若不存在，说明理由2010-2011学年上海市杨浦区同济大学一附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，满分48分）1（4分）已知4与x的等比中项为2

5、x，则x=1考点：等比数列的性质菁优网版权所有专题：计算题分析：根据等比中项的概念，列出关系式，并计算即可解答：解：根据等比中项的概念，4x=（2x）2x=0或x=1当x=0时，不合等比数列定义，应舍去x=1故答案为：1点评：本题考查等比数列的定义，等比中项的概念要注意等比数列中项的值不为0这一特点本题也考查到这一点2（4分）若等差数列an中，a3+a12=2011，a9=2008，则a6=3考点：等差数列的通项公式；等差数列的性质菁优网版权所有专题：计算题分析：利用等差数列的性质得到a9+a6=a3+a12，将已知条件代入求解解答：解：由等差数列的性质得，a9+a6=a3+a12，a3+a1

6、2=2011，a9=2008，a6=20112008=3故答案为：3点评：应用了等差数列的性质：an为等差数列，当m+n=p+q（m，n，p，qN+）时，am+an=ap+aq特例：若m+n=2p（m，n，pN+），则am+an=2ap3（4分）在平行四边形ABCD中，O在AC上且，则=（用、表示）考点：平面向量的基本定理及其意义菁优网版权所有专题：计算题分析：由已知中平行四边形ABCD中，O在AC上且，根据向量加法的平行四边形法则，则数量向量的几何意义，可得=（+），进而根据向量减法的三角形法则得到=，结合，即可得到答案解答：解：在平行四边形ABCD中，=（+）又=（+）=又，=故答案为：点

7、评：本题考查的知识点是平面向量的基本定理及其意义，其中根据向量加减法的三角形法则，将向量分解为用，表示的形式是解答本题的关键4（4分）计算：=考点：极限及其运算菁优网版权所有专题：计算题分析：直接利用极限的运算法则，化简为型，求出表达式的极限值即可解答：解：=故答案为：点评：本题是基础题，考查数列的极限的求法，考查计算能力，注意型的极限为0的应用5（4分）计算=考点：数列的极限；数列的求和菁优网版权所有专题：计算题分析：先利用裂项求和可得，=，代入可求极限=解答：解：2=故答案为：点评：本题主要考查了数列极限的求解，解题的关键是利用裂项求和，但本题裂项是考生容易出现错误的地方，由于中的容易漏掉

8、，注意此类裂项的规律6（4分）用数学归纳法证明：f（n）=（n+1）（n+2）（n+n）（2n）n（n2，nN*）时，f（k+1）=f（k）2（2k+1）考点：数学归纳法菁优网版权所有专题：计算题分析：分别求出n=k时左边的式子，n=k+1时左边的式子，用n=k+1时左边的式子，除以n=k时左边的式子，即得所求解答：解：由题意可得当n=k时，左边等于 （k+1）（k+2）（k+k）=（k+1）（k+2）（2k），当n=k+1时，左边等于 （k+2）（k+3）（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是=2（2k+1），故答案为 2（2k+1）点评：本题

9、的考点是数学归纳法，主要考查用数学归纳法证明等式，用n=k+1时，左边的式子除以n=k时，左边的式子，即得所求7（4分）已知，则与同向的单位向量为（，）考点：平面向量的坐标运算；单位向量菁优网版权所有专题：计算题分析：先用坐标运算求的坐标，进而求出其模并，从而求出与向量同向的单位向量解答：解：，=（4，4）则|=4与同向的单位向量为（，）故答案为：（，）点评：本题考查平面向量的坐标运算，解决此类问题的关键是正确表达向量与求出向量的模，并且熟悉单位向量的定义，属于基础题8（4分）已知向量，若A，B，C三点共线，则k=2考点：平面向量共线（平行）的坐标表示菁优网版权所有专题：计算题分析：利用向量的

10、坐标公式求出两个向量的坐标；将三点共线转化为两个向量共线，利用向量共线的充要条件，列出方程求出k的值解答：解：； A、B、C三点共线共线2（k3）=2解得 k=2故答案为2点评：解决三点共线问题，常转化为以三点为起点、终点的向量共线，再利用向量共线的充要条件解决9（4分）若与夹角为120，则=7考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模；平面向量数量积的性质及其运算律菁优网版权所有专题：计算题分析：先根据向量的数量积公式求出，然后计算2的值，从而求出所求解答：解：与夹角为120，=cos120=5=2=44+=4+15+25=49=7故答案为：7点评：本题主要考查了数量积以及向量的模，求模的常用

11、方法就是先求出模的平方，属于中档题10（4分）（2011崇明县二模）若一个无穷等比数列an的前n项和为Sn，且Sn=，则首项a1取值范围是（0，）（，1）考点：极限及其运算；等比数列的性质菁优网版权所有专题：计算题；分类讨论分析：分若q=1，求=不存在；q1，时，由=，可得，且1q1且q0，从而可求解答：解：设等比数列的首项为a1，公比为q，若q=1，则=不存在若q1，时，=，且1q1且q0故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，要注意对公比分q=1，1两种情况的考虑分别求解数列的和，解题的关键是要由若q1，由=得，且1q1且q0，解答本题时容易漏掉对q0的考虑11（4分）若数

12、列an满足a1=2，an+1=3an+2（nN*），则通项公式an=3n1考点：数列递推式菁优网版权所有专题：计算题分析：两边同加1，可得an+1+1=3（an+1），从而an+1是以a1+1=3为首项，q=3为公比的等比数列，故可求解答：解：由题意an+1=3an+2，可得an+1+1=3（an+1）an+1是以a1+1=3为首项，q=3为公比的等比数列 an+1=33n1=3n 故an=3n1 故答案为 3n1点评：本题以数列递推式为载体，考查等比数列，关键是运用整体思想，把an+1看成数列的通项，进行求解，也可以看成是等价转化成等比数列的一种解题方法12（4分）若对于n个向量，若存在n个

13、不全为零的实数k1，k2，kn，使得，则称为“线性相关”，k1，k2，kn分别为的“相关系数”依此规定，若线性相关，的相关系数分别为k1，k2，k3，则k1：k2：k3=4：2：1考点：平面向量的综合题；向量的加法及其几何意义；两个变量的线性相关菁优网版权所有专题：新定义分析：根据所给的新定义，看出要求的三个向量线性相关，得到关于向量的坐标和相关系数之间的关系式，根据这个关系式等于零向量，写出两个方程，把其中一个相关系数表示另外两个相关系数，求比值即可解答：解：线性相关，根据条件中所给的线性相关的定义得到，k1（1，0）+k2（1，1）+k3（2，2）=（0，0），k1+k2+2k3=0，k2

14、+2k3=0 由可得，k2=2k3，k1=4k3k1：k2：k3=（4k3）：（2k3）：k3=4：2：1故答案为：4：2：1点评：本题考查平面向量与线性相关的综合题目，本题解题的关键是理解新定义，能够利用新定义，本题是一个中档题目二、选择题（每小题3分，满分12分）13（3分）下列等式正确的是（）ABCD考点：向量的加法及其几何意义；平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：阅读型分析：根据向量加法、数乘、数量积的意义逐项判断即可解答：解：两个向量的和或差的结果仍是向量，的结果应为，不是实数0 A错 实数和向量相乘的结果仍是向量，的结果应为，不是实数0 B错 由上述分析为正确选项向量的数量积为

15、实数，的结果应为实数0，不是 D错故选C点评：本题考查向量加法、数乘、数量积的意义，零向量与实数零的比较是好题，也是易错题14（3分）若等差数列an，3a6=a8，且a10，则前n项和Sn取得最小值时的n值为（）A第9项B第4项C第5项D第4项或第5项考点：等差数列的前n项和；数列的函数特性菁优网版权所有专题：计算题分析：先根据3a6=a8，得到首项和公差之间的关系，再结合a10分析出数列递增，求出哪几项为负值即可得到结论解答：解：3a6=a8，3（a1+5d）=a1+7da1=4d0d0an=a1+（n1）d=（n5）d当n=5时，an=0；当n5时，an0；当n5时，an0当n=4或5时，

16、Sn取得最小值故选D点评：本题主要考查等差数列的前n项和以及数列的函数特性解决本题的关键在于得到首项和公差之间的关系，再结合a10分析出数列递增15（3分）若存在，则实数r的取值范围（）ABCD或0r1考点：极限及其运算菁优网版权所有专题：计算题分析：由存在可得2或，解不等式可求r的范围解答：解：由存在可得2或|2r|1+r|或2r=r+1解不等式可得，故选：B点评：本题主要考查了极限存在的条件的应用：若存在|q|1或q=1而q=1的考虑是解答中容易漏掉的地方16（3分）（2005浙江）已知向量，|=1，对任意tR，恒有|t|，则（）AB（）C（）D（+）（）考点：向量的模菁优网版权所有专题：

17、压轴题分析：对|t|两边平方可得关于t的一元二次不等式，为使得不等式恒成立，则一定有0解答：解：已知向量，|=1，对任意tR，恒有|t|即|t|2|2即故选C点评：本题主要考查向量的长度即向量的模的有关问题三、解答题（满分40分）17（6分）已知某市2000年底人口为100万，人均住房面积为5平方米，如果该市每年人口平均增长为2%，到2001年底新增住房面积10万平方米，以后每年新增住房面积比前一年新增住房面积多10万平方米，试问到2010年底，该市人均住房面积为多少平方米？（精确到0.01）考点：函数模型的选择与应用菁优网版权所有专题：应用题分析：由题意，可得从2000年开始，人口数组成首项

18、b1=100，公比q=1.02的等比数列，因此可求出到2010年底该市人口数，而从2000年开始，各年住房面积是首项a1=500，公差10的等差数列，可得到2010年底，共有住房面积，从而可求到2010年底，该市人均住房面积解答：解：依题意从2000年开始，人口数组成首项b1=100，公比q=1.02的等比数列所以到2010年底该市人口数为1001.0210=192.66（万人）2000年共有住房面积为5100=500（万平方米）设从2000年开始，各年住房面积是首项a1=500，公差10的等差数列到2010年底，该市共有住房面积为600（万平方米）故到2010年底，该市人均住房面积为6001

19、92.663.11平方米/人点评：本题考查了等差数列一等比数列的应用，及其函数模型的选择夨用等知识点，属于中档题熟练掌握有关公式，是解答本题的关键18（6分）已知等比数列an，首项a1=2，公比（1）求证：数列an2为等比数列；（2）求的值考点：数列的极限；等比关系的确定菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）根据等比数列an的首项a1与公比，可知数列an2是以2为首项，为公比的等比数列（2）利用无穷等比数列求和公式直接求解解答：证明：（1）等比数列an，首项a1=2，公比数列an2是以2为首项，为公比的等比数列（2）由（1）知，数列an2是以2为首项，为公比的等比数列，由于公比小于1，所以点评

20、：本题以等比数列为载体，考查等比数列的证明，同时考查无穷等比数列和的极限问题，正确运用公式是关键19（8分）已知向量与和的夹角相等，且，（2）求的坐标；（2）求与的夹角考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模；平面向量数量积的性质及其运算律菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）设出 的坐标，利用向量的数量积公式表示出向量的夹角余弦，通过两组的夹角相等，列出方程组，求出 的坐标（2）利用（1）求出与的坐标，利用向量的数量积公式求出与的夹角余弦，利用反三角函数求出夹角解答：解：（1）设 ，与 的夹角为 与 的夹角为2则cos1=cos2，得 ，即 或 或 （6，2）（2）当时，=（4，3），=（5

21、，0），所以cos，=，所以，=arccos当时，=（8，1），=（7，4），所以cos，=所以，=arccos点评：本题考查利用向量的数量积求向量的夹角、向量模的坐标公式计算量较大，是一道中档题20（8分）若，（1）若满足与平行，求实数x的值；（2）若满足与垂直，求实数x的值；（3）若满足与所成角为钝角，求实数x的取值范围考点：数量积表示两个向量的夹角；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的性质及其运算律；数量积判断两个平面向量的垂直关系菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）先求出与的坐标，再代入向量共线的充要条件即可；（2）利用两个向量垂直的等价结论列出方程求出x的值即可；（3）直接把与所成角是钝角转化为 且，利用向量的数量积公式列出不等式求出x的范围解答：解：（1）=（3，2x+3）；=（1，12x）因为与平行，所以3（12x）=2x+3解得（2）因为与垂直，所以3+（2x+3）（12x）=0解得x=0或x=1（3）与所成角为钝角，且即3+（2x+3）（12x）0解得x0或x1且点评：本题考查平面向量的基本运算性质，模长公式的应用，向量共线的等价结论以及等价转化思想要区分向量运算与数的运算避免类比数的运算进行错误选择利用向量的基本知识进行分析转化是