方向导数 课件

1、第,8,章,8.7,方向导数与梯度,第,1,页,1.,空间曲线的切线与法平面,1),参数式情况,.,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,),(,),(,:,t,z,t,y,t,x,?,?,?,空间光滑曲线,切向量,知识回顾,),(,),(,),(,(,0,0,0,t,t,t,T,?,?,?,?,?,?,?,空间光滑曲线,?,?,?,?,?,?,0,),(,0,),(,:,z,y,x,G,z,y,x,F,切向量,2),一般式情况,.,),(,),(,M,z,y,G,F,?,?,),(,),(,M,x,z,G,F,?,?,M,y,x,G,F,),(,),(,?,?,?,?,?,?,?,?,

2、?,T,第,8,章,8.7,方向导数与梯度,第,2,页,空间光滑曲面,0,),(,:,?,?,z,y,x,F,曲面,?,在点,1),隐式情况,.,的,法向量,),(,0,0,0,z,y,x,M,2.,曲面的切平面与法线,),(,),(,),(,(,0,0,0,0,0,0,0,0,0,z,y,x,F,z,y,x,F,z,y,x,F,n,z,y,x,?,空间光滑曲面,),(,:,y,x,f,z,?,?,2),显式情况,.,法向量,),1,(,y,x,f,f,n,?,?,?,第,8,章,8.7,方向导数与梯度,第,3,页,?,?,?,?,(0,0),(,),(0,0),(0,0),3,(0,0),1

3、,_.,|,3,(,),(0,0,(0,0),3,1,1,(,(01,),(0,0,(0,0),1,0,3,0,(,),0,),x,y,z,f,x,y,f,f,A,dz,dx,dy,B,z,f,x,y,f,z,f,x,y,C,f,y,z,f,x,y,D,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,设函数,在,附近有定义，且,则,(,),(,),曲面,在点,的法向量为,(,),曲线,在点,的切向量为,(,),曲线,在点,?,?,(0,0,(0,0),3,0,1,f,的切向量为,C,5,2,a,b,?,?,?,?,2,2,0,:,30,(,1,2,5,),(,9,7

4、,),xyb,L,xa,yz,z,x,y,ab,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,设,直,线,在,平,面,上,，,且,平,面,又,与,曲,面,相,切,于,点,，,求,，,值,.,第,8,章,8.7,方向导数与梯度,第,4,页,第八章,第七节,一、方向导数,二、梯度,三、物理意义,方向导数与梯度,第,8,章,8.7,方向导数与梯度,第,5,页,l,),(,z,y,x,P,一、方向导数,定义,:,若函数,),(,z,y,x,f,?,?,f,?,?,0,lim,则称,l,f,?,?,l,f,?,?,?,?,?,?,),(,),(,),(,2,2,2,z,y,x,?,?,?,

5、?,?,?,?,cos,?,?,?,?,x,cos,?,?,?,?,y,?,?,cos,?,?,z,?,?,?,为函数在点,P,处沿方向,l,的,方向导数,.,?,?,),(,),(,lim,0,z,y,x,f,z,z,y,y,x,x,f,?,?,?,?,?,?,?,?,?,在点,),(,z,y,x,P,处,沿方向,l,(,方向角为,?,?,?,),存在下列极限,:,P,?,?,记作,第,8,章,8.7,方向导数与梯度,第,6,页,),(,),(,处可微,在点,若函数,z,y,x,P,z,y,x,f,),(,z,y,x,P,l,定理,:,则函数在该点,沿任意方向,l,的方向导数存在,?,?,f

6、,l,f,?,?,?,?,?,0,lim,?,?,?,cos,cos,cos,z,f,y,f,x,f,l,f,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,.,的方向角,为,其中,l,?,?,?,证明,:,由函数,),(,z,y,x,f,),(,?,o,z,z,f,y,y,f,x,x,f,f,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,cos,cos,cos,z,f,y,f,x,f,?,?,?,?,?,?,?,?,且有,),(,?,o,?,在点,P,可微,得,?,P,?,故,?,?,?,cos,cos,cos,z,f,y,f,x,f,?,?,?,?,?,?

7、,?,?,?,第,8,章,8.7,方向导数与梯度,第,7,页,对于二元函数,),(,y,x,f,为,?,?,),的方向导数为,方,处沿方向,在点,(,),(,l,y,x,P,?,?,),(,),(,lim,0,y,x,f,y,y,x,x,f,l,f,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,cos,),(,cos,),(,y,x,f,y,x,f,y,x,?,?,),(,),(,(,2,2,y,x,?,?,?,?,?,),co,.,cos,?,?,?,?,?,?,?,?,y,x,P,l,x,y,o,x,f,l,f,?,?,?,?,?,特别,:,?,当,l,与,x,轴同向,?,?,有,时,2,0

8、,?,?,?,?,?,?,当,l,与,x,轴反向,?,?,有,时,2,?,?,?,?,?,?,x,f,l,f,?,?,?,?,?,?,l,向角,第,8,章,8.7,方向导数与梯度,第,8,页,例,1.,求函数,在点,P,(1, 1, 1),沿向量,z,y,x,u,2,?,1,2,(,?,?,l,3),的方向导数,.,14,2,cos,?,?,?,?,?,?,?,?,?,P,l,u,),1,1,1,(,14,6,?,14,1,cos,?,?,?,14,3,cos,?,?,14,2,2,?,z,y,x,14,1,2,?,?,z,x,?,?,?,?,?,14,3,2,y,x,解,:,向量,l,的方向

9、余弦为,第,8,章,8.7,方向导数与梯度,第,9,页,例,2.,求函数,在点,P,(2, 3),沿曲线,2,2,3,y,y,x,z,?,?,1,2,?,?,x,y,朝,x,增大方向的方向导数,.,解,:,将已知曲线用参数方程表示为,2,),2,1,(,?,x,x,?,?,?,?,?,?,P,l,z,它在点,P,的,切向量为,17,1,cos,?,?,?,17,60,?,x,o,y,2,P,?,?,?,?,?,?,1,2,x,y,x,x,17,1,6,?,xy,17,4,),2,3,(,2,?,?,?,y,x,),3,2,(,?,?,?,),4,1,(,?,17,4,cos,?,?,1,?,第

10、,8,章,8.7,方向导数与梯度,第,10,页,例,3.,设,是曲面,n,在点,P,(1, 1, 1 ),处,指向外侧的法向量,解,:,方向余弦为,14,2,cos,?,?,14,3,cos,?,?,14,1,cos,?,?,而,P,x,u,?,?,14,8,?,?,?,P,y,u,14,?,?,?,?,P,z,u,?,?,?,?,P,n,u,同理得,),1,3,2,(,2,?,6,3,2,2,2,2,?,?,?,z,y,x,方向,的方向导数,.,P,z,y,x,),2,6,4,(,14,6,?,7,11,?,?,?,1,14,3,8,2,6,14,1,?,?,?,?,?,P,y,x,z,x,

11、2,2,8,6,6,?,?,z,y,x,u,2,2,8,6,?,?,在点,P,处沿,求函数,?,n,n,第,8,章,8.7,方向导数与梯度,第,11,页,二、梯度,方向导数公式,?,?,?,cos,cos,cos,z,f,y,f,x,f,l,f,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,令向量,这说明,方向：,f,变化率最大的方向,模,:,f,的最大变化率之值,方向导数取最大值：,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,z,f,y,f,x,f,G,),cos,cos,(cos,0,?,?,?,?,l,),cos(,0,l,G,G,?,),1,(,0,?,l,0,l,G,l,f,?

12、,?,?,?,0,方向一致时,与,当,G,l,:,G,?,?,G,l,f,?,?,?,max,第,8,章,8.7,方向导数与梯度,第,12,页,1.,定义,f,ad,r,g,即,f,ad,r,g,同样可定义二元函数,),(,y,x,f,),(,y,x,P,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,y,f,x,f,j,y,f,i,x,f,f,?,?,grad,称为函数,f,(,P,),在点,P,处的梯度,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,z,f,y,f,x,f,k,z,f,j,y,f,i,x,f,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,记作,(

13、gradient),在点,处的梯度,G,说明,:,函数的,方向导数,为梯度在该方向上的投影,.,向量,2.,梯度的几何意义,第,8,章,8.7,方向导数与梯度,第,13,页,函数在一点的梯度垂直于该点等值面,(,或等值线,) ,面上的,在,曲线,xoy,C,z,y,x,f,z,?,?,?,?,?,),(,C,y,x,f,L,?,),(,:,*,影,称为函数,f,的,等值线,.,不同时为零,设,y,x,f,f,则,L,*,上点,P,处的法向量为,P,y,x,f,f,),(,P,f,grad,?,o,y,x,1,c,f,?,2,c,f,?,3,c,f,?,),(,3,2,1,c,c,c,?,?,设

14、,P,同样,对应函数,),(,z,y,x,f,u,?,有等值面,(,等量面,),),(,C,z,y,x,f,?,当各偏导数不同时为零时,其,上,点,P,处的法向量为,.,grad,P,f,),(,y,x,f,z,?,对函数,指向函数增大的方向,.,第,8,章,8.7,方向导数与梯度,第,14,页,3.,梯度的基本运算公式,0,grad,(1),?,?,C,u,C,u,C,grad,),(,grad,(2),?,v,u,v,u,grad,grad,),(,grad,(3),?,?,?,u,v,v,u,v,u,grad,grad,),(,grad,(4),?,?,u,u,f,u,f,grad,),

15、(,),(,grad,(5),?,?,第,8,章,8.7,方向导数与梯度,第,15,页,例,4.,),(,可导,设,r,f,),(,2,2,2,z,y,x,P,z,y,x,r,为点,其中,?,?,?,证,:,x,r,f,?,?,),(,?,),(,r,f,?,?,?,?,?,y,r,f,),(,),(,grad,r,f,?,),(,1,),(,k,z,j,y,i,x,r,r,f,?,?,?,?,?,?,?,r,r,r,f,?,1,),(,?,?,r,z,r,f,z,r,f,),(,),(,?,?,?,?,0,),(,r,r,f,?,?,?,j,y,r,f,?,?,?,?,),(,k,z,r,f

16、,?,?,?,?,),(,x,r,r,f,?,?,?,?,),(,2,2,2,z,y,x,x,?,?,P,x,o,z,y,),(,r,y,r,f,?,i,x,r,f,?,?,?,?,),(,试证,r,x,r,f,),(,?,?,.,),(,),(,rad,g,0,r,r,f,r,f,?,?,处矢径,r,的模,r,第,8,章,8.7,方向导数与梯度,第,16,页,三、物理意义,函数,(,物理量的分布,),数量场,(,数性函数,),场,向量场,(,矢性函数,),可微函数,),(,P,f,梯度场,),(,grad,P,f,(,势,),如,:,温度场,电位场等,如,:,力场,速度场等,(,向量场,),

17、注意,:,任意一个向量场不一定是梯度场,.,第,8,章,8.7,方向导数与梯度,第,17,页,例,5.,已知位于坐标原点的点电荷,q,在任意点,),(,4,2,2,2,z,y,x,r,r,q,u,?,?,?,?,?,?,),(,z,y,x,P,试证,证,:,利用例,4,的结果,这说明场强,:,处所产生的电位为,垂直于等位面,且指向电位减少的方向,.,E,u,?,?,grad,),4,(,0,2,r,r,q,E,?,场强,?,?,0,4,grad,r,r,q,u,?,?,?,?,0,2,4,r,r,q,?,?,?,?,E,?,?,0,),(,),(,grad,r,r,f,r,f,?,?,第,8,

18、章,8.7,方向导数与梯度,第,18,页,内容小结,1.,方向导数,?,三元函数,),(,z,y,x,f,在点,),(,z,y,x,P,沿方向,l,(,方向角,),?,?,?,为,的方向导数为,?,?,?,cos,cos,cos,z,f,y,f,x,f,l,f,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,二元函数,),(,y,x,f,在点,),(,y,x,P,),?,?,的方向导数为,?,?,cos,cos,y,f,x,f,l,f,?,?,?,?,?,?,?,?,沿方向,l,(,方向角为,y,f,x,f,?,?,?,?,?,?,?,cos,?,sin,第,8,章,8.7,方向导数与梯度,第

19、,19,页,2.,梯度,?,三元函数,),(,z,y,x,f,在点,),(,z,y,x,P,处的梯度为,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,z,f,y,f,x,f,f,grad,?,二元函数,),(,y,x,f,在点,),(,y,x,P,处的梯度为,),(,),(,(,grad,y,x,f,y,x,f,f,y,x,?,3.,关系,方向导数存在,偏导数存在,?,?,可微,0,grad,l,f,l,f,?,?,?,?,梯度在方向,l,上的投影,.,第,8,章,8.7,方向导数与梯度,第,20,页,思考与练习,1.,设函数,z,y,x,z,y,x,f,?,?,2,),(,(1),求函

20、数在点,M,( 1, 1, 1 ),处沿曲线,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,3,2,t,z,t,y,t,x,在该点切线方向的方向导数,;,(2),求函数在,M,( 1, 1, 1 ),处的梯度与,(1),中切线方向,的夹角,?,.,2. P73,题,16,第,8,章,8.7,方向导数与梯度,第,21,页,),(,2,z,y,x,z,y,x,f,?,?,曲线,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,3,2,t,z,t,y,t,x,1. (1),在点,),3,4,1,(,1,d,d,d,d,d,d,?,?,?,?,?,?,?,?,?,t,t,z,t,y,t,x,?,?,),1,1

21、,1,(,cos,cos,cos,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,z,y,x,M,f,f,f,l,f,26,6,?,解答提示,:,函数沿,l,的方向导数,l,M,(1,1,1),处切线的方向向量,第,8,章,8.7,方向导数与梯度,第,22,页,),0,1,2,(,grad,),2,(,?,M,f,M,M,f,l,f,grad,?,?,?,130,6,?,130,6,arccos,?,?,?,?,M,f,grad,l,cos,?,?,M,f,grad,l,4,2,0,4,2,0,4,2,0,2,0,0,2,0,0,2,0,0,2,2,2,2,2,2,2,0,c,z,b,y,a,x,c,z,z,b,y,y,a,x,x,n,u,M,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,4,2,0,4,2,0,4,2,0,2,c,z,b,y,a,x,?,?,?,2. P73,题,16,第,8,章,8.7,方向导数与梯度,第,23,页,P5