数学思想与数学文化第四讲数学分支介绍分析学 课件

1、数学分支介绍,-,分析学,数学思想与数学文化第四讲,内,容,0.,前言,1.,微积分学及其发展道路,2.,分析学的分支,0.,前,言,在一切理论成就中，未必再有什么像,19,世纪下半叶,微积分的发明那样被看做人类精神的最高胜利了。,-,恩格斯自然辩证法,微积分，或者数学分析，是人类思维的伟大成果之,一。它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它,成为高等教育的一种特别的有效工具。遗憾的是，,微积分的教学方法有时流于机械，不能体现出这门,学科乃是一种撼人心灵的智力奋斗的结晶。,-R,柯朗,1.,微积分学及其发展道路,?,微积分学,-,是研究函数微分与积分性质与,应用的一个数学分支。,?,微积分的出

2、现，是由初等数学向高等数学,转变的一个具有划时代意义的大事。,?,但是，在微积分发展的过程中也曾产生过,一些“混乱”或者说“神秘性”。这种,“神秘性”主要集中在“无穷小量”上。,?,16,世纪的欧洲向自然科学提出两个基本,问题：,（,1,）已知路程求速度；,（,2,）已知速度求路程。,在等速运动的情况下，这两个问题可以,用初等数学来解决，但在变速的情形，,只用初等数学就无法解决了。,?,由于笛卡尔（,R,Descartes,，,1596-1650,）,等人创立了解析几何学，开始有了变量的概,念，并把描述运动的函数关系和几何中曲线,或曲面问题的研究统一了起来。,?,前面所讲的力学中两个最基本的问

3、题正好与,初等几何一直未解决的两类问题完全一致。,这两个问题是：,（,1,）求任意曲线的切线；,（,2,）求任意曲线所围成的面积（或求任意曲面,所围成的体积）。,Kepler,在于,1615,年写的酒桶的立体几何学,一书中，求出了,87,种旋转体的体积；,1635,年，意大利数学家卡瓦列利（,B.Cavalieri,，,1598-1647,）出版了不可分连续,量的几何学，书中引入了所谓,“,不可分量,”,，并,提出了卡瓦列利原理，它是计算面积和体积的,有力工具；,1656,年，英国人沃里斯（,.,allis, 1616-,1703,）把卡瓦列利方法系统化，使,“,不可分量,”,更,接近于定积分

4、的计算，在无穷算术中明确,提出了极限思想；,费马于,1638,年在求最大值和最小值的方法,中给出了求曲线的切线和函数极值的方法；,牛顿在剑桥大学的老师巴罗（,I. Barrow,，,1630-1677,）不仅给出了求曲线切线的方法，而,且也揭示了求曲线的切线和求曲线所围成面积这,两个问题的互逆性。,中国古代数学家刘徽和祖冲之的儿子祖暅对体,积的计算也做过重要的贡献。祖暅于,5,世纪提出,并证明了“幂势既同，则积不容异”这个原理，,即空间体积，若其底、高分别相等，等高处的截,面积均相等，则两空间体的体积必相等（卡瓦列,利原理）,。,牛顿和德国数学家莱布尼兹（,G. W. Leibniz,1646

5、-1716,）在前人工作的基础上，分别从力,学和几何学独立地创立了微积分学。,牛顿侧重于力学研究，突出了速度的概念，考,虑了速度的变化，建立了微积分的计算方法。,他于,1665,年创造了“流数法”，并利用这个方,法从行星运动三大定律推出了万有引力定律，,再根据万有引力定律解决了许多力学和天文学,的问题。,莱布尼兹则突出了切线的概念，从变量的有限,差出发引入微分概念，他特别重视运算符号和法,则。,恩格斯说过：“微积分是牛顿和莱布尼兹大体,上完成的，但不是由他们发明的。”,牛顿,（英，,1642-1727,）,莱布尼茨,（德，,1646-1716,）,微积分刚一形成，就在解决实际问题中显示出,强大

6、的威力。例如，在天文学中，它能够精确,地计算行星、彗星的运行轨道和位置。,英国天文学家哈雷（,E. Halley, 1656-1742,）就,通过这种计算断定,1531,年、,1607,年、,1682,年出,现过的彗星是同一颗彗星，并推测它将于,1759,年再次出现，这个预见后来果然被证实。,虽然微积分的应用愈来愈丰富，但当时的微分,和积分并没有确切的数学定义。特别是一些定,理的证明和公式的推导，在逻辑上前后矛盾，,不好理解，使人感到可疑，但推出的结论往往,是正确无误的。这样，微积分就具有了一种,“神秘性”。,?,这种“神秘性”集中体现在当时对“无穷小,量”的认识上。牛顿在一些经典的推导中，他

7、,既用无穷小量作分母进行除法，这意味着无穷,小量不是零；然而他又把被无穷小量所乘的项,当做没有而去掉，这说明他又认为无穷小量是,零。奇怪的是，这样所推导的公式在力学和几,何学的应用中证明了它们都是正确的。,附：牛顿在,1704,年发表了“曲线的求积”，,其中他确定了,x,3,的导数（当时他称之为流数）。,牛顿所用方法意译如下：当,x,增长为,x+0,时，,幂,x,3,变为,(x+0),3,或者,x,3,+3x,2,0+3x,0,2,+0,3,，它们,的增量分别是,0,和,3x,2,0+3x,0,2,+0,3,。这两个增,量与,x,的增量,0,的比分别为,1,与,3x,2,+3x,0+0,2,，

8、然,后让增量消失，则它们最后比将为,1,比,3x,2,。从,而,x,3,对,x,的变化率为,3x,2,。,这种用逻辑上自相矛盾的方法推导出正确,结论的事实，使微积分运算表面看来有很大,的随意性。正如马克思所说：“这种新发现,的计算方法，就是通过数学上肯定是不正确,的途径而得出了正确的（而且在几何学应用,上简直是惊人的）结果。”,人类进入,19,世纪后，埋藏在数学内部的逻辑基,础问题最终还是由科技领域提出的“热传导”这,一大课题的研究为导火线而爆发出来。,1811,年，法国数学家傅里叶（,Fourier,）发表了,一篇名为关于热传导问题的研究的论文。文,中他提出了对数学物理具有普遍意义的方法，即

9、,将任意函数表示为无穷项三角函数之和，简称为,三角级数。,这种表达函数的方式与函数的传统表达方式相,违背，给数学带来了新的混乱，即什么叫“无穷,项求和问题”？这个问题不解决，解决热传导问,题的方法就缺乏理论依据。其实，这个问题仍然,归结为如何认识无穷小量的问题。至此，微积分,中逻辑上的混乱，即对无穷小量的理解，已经到,了必须澄清的时候了。也就是说，必须给微积分,建立严格的理论基础。,在为微积分作奠基性工作方面，瑞士数学家约,翰伯努里（,Johann Bernoulli,，,1667-1748,）,和欧拉、奥地利数学家波尔查诺（,B,Bolzano,，,1781-1848,）、德国数学家狄内赫利

10、（,Dirichlet,，,1805-1851,）等都做过贡献。,起决定作用的是法国数学家柯西（,Cauchy,，,1789-1857,），他于,1821,年在分析教程中给,出了极限概念比较精确的分析定义，并以极限概,念为基础，给出了无穷小量、无穷级数的“和”,等许多概念的较明确的定义。,德国数学家韦尔斯特拉斯（,K,Weierstrass,，,1815-1897,）总结了前人的工作，于,1855,年给,出了极限的严格定义，即今天教材上通用的定,义，并把分析基础归结为对实数理论的研究。,他与德国数学家戴德金（,R,Dedekind,，,1826-,1866,）、康托（,G,Cantor,，,1

11、845-1918,）一,起创立了实数理论，这是分析学的逻辑基础发,展史上的重大成就。至此，人们才知道,无穷小,量只不过是在某个变化过程中以零为极限的变,量,。,柯西,（法，,1789-1857,）,魏尔斯特拉斯,(,德，,1815,1897),从,1665,年牛顿创造的流数法到,1855,年韦尔斯,特拉斯给出极限的严格定义，经历了,190,年。,如果从我国魏晋时代就有微积分计算方法的萌,芽,-,割圆术算起，大约经历了,1600,多年，若再,从阿基米德于公元前,3,世纪提出“穷竭法”算,起，则经历了,2000,多年。,微积分这个漫长的发展史，给我们的重要启,示就是：一个新的理论（或新的学科）的诞生，,需要许多人付出艰辛的劳动，甚至要经过几代,人的努力，科学研究的道路从来就不是平坦的。,另外，也告诉我们：人们对客观世界中数量关,系的认识是逐步深化的，需要从感性认识能动,地跃进到理性认识，又要从理性认识能动地指,导实践，并取得进一步