导数及其应用

1、1设f0(x)=sinx,f1(x)=f0(x),f2(x)=f1(x),fn+1(x)=fn(x),nN,则f2005(x) ( )A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx2已知函数f(x)在x=1处的导数为3，f（x）的解析式可能为 （ ）Af（x）=(x-1)3+32(x-1) Bf(x)=2x+1 Cf(x)=2(x-1)2 Df(x) = -x+33.曲线y=x3在点(1,1)的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形面积为_.4设t0,点P（t,0）是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx3+c的图像的一个公共点，两函数的图像在P点处有相同的切线。1）用t表示a、b

2、、c；（2）若函数y=f(x)-g(x)在（-1，3）上单调递减，求t的取值范围。5已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a. (1)求f(x)的单调递减区间；（2）若f(x)在区间-2，2上最大值为20，求它在该区间上的最小值。6已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。7已知aR,讨论函数f(x)=e (x2+ax+a+1)的极值点的个数。8设函数f(x)=x-ln(x+m)其中常数m为整数。（1）当m为何值时，f(x)0;(2)定理：若g(x)在a、b上连续，且g(a)与g(b)异号，则至少存在一点x0(a、b),使g(x0)=0.试用上述定理证明：当整数

3、m1时，方程f(x)=0，在e-m-m,e2m-m内有两个实根。例2已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=1处有极值。（1）讨论f(1)和f(-1)是函数的极大值还是极小值。（2）过点A（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。又因为f(x)、g(x)在（t,0）处有相同的切线，所以f(t)=g;(t).即3t2+a=2bt, a=-t2, b=t.因此c=ab=-t2t=-t3. (2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(x)在-1，2因为在（-1，3）上f(x)0,所以f(x)在-1，2上单调递增，又由于f(x)在-

4、2，-1上单调递减，因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间-2，2上的最大值和最小值，于是22+a=20,解得a=-2.故f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此,f-1=1+3-9-2=-7即函数f(x)在区间-2，2上的最小值为-7。【正确解答】f(x)=ex(a2+ax+a+1)+ex(2x+a)=exx2+(a+2)x+(2a+1)令f(x)=0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.故当整数m1时，方程f(x)=0在e-m-m,e2m-m内有两个实根。易错起源1、导数的概念与运算 例1已知f(3)=2f(3)=-2，则的值为 （ ）A-4 B0 C8 D不存在1理解导数的概念时

5、应注意导数定义的另一种形式：设函数f(x)在x=a处可导，则 的运用。2复合函数的求导，关键是搞清复合关系，求导应从外层到内层进行，注意不要遗漏3求导数时，先化简再求导是运算的基本方法，一般地，分式函数求导，先看是否化为整式函数或较简单的分式函数；对数函数求导先化为和或差形式；多项式的积的求导，先展开再求导等等。易错起源2、导数几何意义的运用 例2已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=1处有极值。（1）讨论f(1)和f(-1)是函数的极大值还是极小值。（2）过点A（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。设函数y=f(x),在点(x0,y0)处的导数为f(x0)，则过此点的切线

6、的斜率为f(x0),在此点处的切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0).利用导数的这个几何意义可将解析几何的问题转化为代数问题求解。易错起源3、导数的应用 例3用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正形，然后把四边翻转90角，再焊接而成（如图，）问该容器高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【错解分析】上面解答有两处错误：一是没有注明原函数定义域；二是验算f(x)的符号时，计算错误，x0;10x36,V36,V0.1证函数f(x)在（a,b）上单调，可以用函数的单调性定义，也可用导数来证明，前者较繁，后者较易，要注意若f(x)在（a、b）内个别

7、点上满足f(x)=0(或不存在但连续)其余点满足f(x)0(或f(x)0)函数f(x)仍然在（a、b）内单调递增（或递减），即导数为零的点不一定是增、减区间的分界点。2函数的极值是在局部对函数值的比较，函数在区间上的极大值（或极小值）可能有若干个，而且有时极小值大于它的极大值，另外，f(x)=0是可导数f(x)在x=x0处取极值的必要而不充分条件，对于连续函数（不一定处处可导）时可以是不必要条件。3函数的最大值、最小值，表示函数f(x)在整个区间的情况，即是在整体区间上对函数值的比较，连续函数f(x)在闭区间a、b上必有一个最大值和一最小值，最多各有一个，但f(x)在（a、b）上就不一定有最大

8、值（或最小值）。实际应用问题利用导数求f(x)在（a、b）的最大值时,f(x)=0在（a,b）的解只有一个，由题意最值确实存在，就是f(x)=0的解是最值点。1 已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则等于 （ ）A B1 C2 D2 函数y=xsinx+cosx在下列哪个区间内是增函数 （ ）A（0，） B（-,0） C( ,) D(-,- )3 已知函数f(x)=在（1，+）上为减函数，则a的取值范围为 （ ）A0a B0ae Cae Dae4 函数y=2x3-3x2-12x+5在0，3上的最大值、最小值分别是 （ ）A5，-15 B5，-4 C-4，-15 D5，-165 设f(x)、g

9、(x)分别是定义在（-，0）（0，+）上的奇函数和偶函数，当x0时f(x)g(x)+ f(x) g(x)=0且g(3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集是 （ ）A（-3，0）（3，+） B（-3，0）（0，3） C（-，-3）（3，+ D（-，-3）（0，3） 6 函数f(x)=x3-2x+3的图像在x=1处的切线与圆x2+y2=8的位置关系是 （ ）A相切 B相交且过圆心 C相交但不过圆心 D相离7设集合A0,1)，B1,2，函数f(x)若x0A，且ff(x0)A，则x0的取值范围是() A. B(log32,1) C. D.8 函数f(x)lg(x0，xR)，有下列命题： f(x)的

10、图象关于y轴对称； f(x)的最小值是2；f(x)在(，0)上是减函数，在(0，)上是增函数；f(x)没有最大值其中正确命题的序号是_(请填上所有正确命题的序号)9设函数f(x)n1，xn，n1)，nN，则满足方程f(x)log2x根的个数是()A1个 B2个 C3个 D无数个10已知定义域为R的函数f(x)是奇函数 (1)求a，b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围11已知函数f(x)，g(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数h(x)f(x)g(x)，则()Ah(1)h(0)h(1)

11、Bh(1)h(1)h(0) Ch(0)h(1)h(1) Dh(0)h(1)h(1)11题图15题图12下列四个命题中，正确的是()A对于命题p：xR，使得x2x10，则綈p：xR，均有x2x10B函数f(x)exex切线斜率的最大值是2C已知函数f(a)sinxdx，则f1cos1D函数y32x1的图象可以由函数y2x的图象仅通过平移变换得到13设函数yf(x)是定义在R上以1为周期的函数，若g(x)f(x)2x在区间2,3上的值域为2,6，则函数g(x)在12,12上的值域为()A2,6 B20,34 C22,32 D24,2814由直线x，x，y0与曲线ycosx所围成的封闭图形的面积为(

12、)A. B. C. D115已知函数f(x)ax3bx2cx，其导函数yf(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的是_ 当x时，函数f(x)取得极小值； f(x)有两个极值点；当x2时，函数f(x)取得极小值； 当x1时，函数f(x)取得极大值16. 函数f(x)=xlnx,则f(x)的单调递减区间是_.17.曲线y=2-x2与y=x3-2在交点处的切线夹角是_.18. 已知函数f(x)=mx3+mx2+3x在R上的增函数，求实数m的取值范围。19.求函数f(x)=在，3上的最大值和最小值。20. 函数f(x)= +x+1在x=x1,及x=x2处有极值，且11）时，f(t-x) 恒成立，试求m的最大值。1 .答案： A 解析：f(x)=2 .答案： D 解析：y=sinx+cosx-sinx=xcosx,x(-,-)时，y0.9 答案：C解析：方法一：详细画出f(x)和g(x)log2x在同一坐标系中函数图象，由图中不难看出有三个交点，故选C.12 答案：A解析：本题主要考查逻辑用语和导数，函数，积分的综合运算属于基础知识、基本运算的考查对于A，存在性命题的否定为特称命题，且否定结论，所以A对；f(x)exex，f(x)exex2，故B错；f(a)cosxcosa1，ff