量子理论基础

1、第一章量子理论基础1设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000 A（可见光）， 1 A （ x 射线）以及 0.001 A （ 射线）时，加速电子所需的电势差是多少？解 电子在电势差 V 加速下， 得到的能量是1 m 2eV 这个能量全部转化为一个光2子的能量，即1 m 2eVhhc2hc6.6310 3431081.24104V1.6 1019（伏）e( A)当 1235 0 0 A0 时，V12.48 （伏）1 A 时V21.24104 （伏）0.001 A时V31.24107 （伏）2利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能

2、量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。解 普朗克公式为8 hv3dvvdc3ehv / kT1单位体积辐射的总能量为Uvdv3 hv3 dv0c30 ehv /T1hv令 y，则kTU8 k 4y 3 dy4T4（）h3 c30 eyT1其中8k 4y3 dy（）h3 c30 e y1（）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。这个公式就是斯忒蕃玻耳兹曼公式。其中是比例常数，可求出如下：因为1e y (1e y ) 1e y (1 e ye 2 y)e y1e nyn 11y3dyy3enydy0ey10n 1令 xny ，上式成为y3dy13xdxey1n 1 n4x e0

3、0用分部积分法求后一积分，有0x3 e xdxx3e x03x2e xdx3x2 e x032xe xdx006xe x06 e xdx6e x06014又因无穷级数1 n490n故y3 dy44ey6901501因此，比例常数8 k 4y3 dy85 k47.56 101534h3c30 ey1 15 h3 c3尔格 /厘米度3求与下列各粒子相关的德布罗意波长：（ 1）能量为 100 电子伏的自由电子；（ 2）能量为 0.1 电子伏的自由中子；（ 3）能量为 0.1 电子伏，质量为 1 克的质点；（ 4）温度 T =1k 时，具有动能解 德布罗意公式为3E kT （ k 为玻耳兹曼常数）的氦

4、原子。2hp因为上述粒子能量都很小，故可用非相对论公式p2E2代入德布罗意公式得h2 E（ 1） E1100eV1.610 10 尔格，19 10 28 克1h6.6310 271.23 108厘米 =1.23A2 1 E129 10 281.610 10（ 2） E20.1eV1.610 13 尔格，21840 1 18409 10 28 克2 0.92 A（ 3） E3 0.1eV 1.6 10 13尔格， 3 1克3 1.17 10 12 A2（ 4） E43 kT31.38 10 16 1 2.04 10 16 尔格，44 1.66 10 24 克224 12.6 A4利用玻尔索末菲的

5、量子化条件求：（ 1）一维谐振子的能量；（ 2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。解 （ 1）方法一：量子化条件pdqnh ，一维谐振子的能量为Ep212q222可化为p22q2212 E2E2上式表明，在相平面中，其轨迹为一椭圆。两半轴分别为a2 E，b2E2这个椭圆的面积为pdqab2 E2E2 EEnh2v故Enhv上式表明，一维谐振子的能量是量子化的。方法二：一维谐振子的方程为q2q0其解为qAsin(t)dqAcos(t)dt而pqAcos(t)A2TA22A22pdq)dtTnh20cos2 ( t22vp2A2 2 2 c o 2s( t而E12q2) 12 22)22

6、22As i n( t12 A2nhv2（ 2）设磁场方向垂直于电子运动方向，电子受到的洛仑兹力作为它作圆周运动的向心力，于是有e H2cR3故cReH这时因为没有考虑量子化，因此R 是连续的。应用玻耳索末菲量子化条件pdqnh这时，我们把电子作圆周运动的半径转过的角度作为广义坐标， 则对应的广义动量为角动量PH1R 2 2R2RP d2R d2R2 eH R 2nh20cnhcn cReH2 eH其中h2可见电子轨道的可能半径是不连续的。讨论：由本题的结果看出， 玻尔索末菲轨道量子化条件和普朗克能量量子化的要求是一致的。求解本题的（ 1）时，利用方法（一）在计算上比方法（二）简单，但方法（一）只在比较简单的情况，例如能直接看出相空间等能面的形状时才能应用。而方法（二）虽然比较麻烦，但更有一般性。本题所得的谐振子能量，与由量子力学得出的能量Enn1 hv 相比较，我们2发现由玻尔索末菲量子化条件不能得出零点能E01 hv 。但