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1、3.4 等差数列与等比数列的综合问题知识梳理(一)等差、等比数列的性质1.等差数列an的性质(1)am=ak+(mk)d,d=.(2)若数列an是公差为d的等差数列,则数列an+b(、b为常数)是公差为d的等差数列;若bn也是公差为d的等差数列,则1an+2bn(1、2为常数)也是等差数列且公差为1d+2d.(3)下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,组成的数列仍为等差数列,公差为md.(4)若m、n、l、kN*,且m+n=k+l,则am+an=ak+al,反之不成立.(5)设A=a1+a2+a3+an,B=an+1+an+2+an+3+a2n,C=a2n+1+a2n+2+a
2、2n+3+a3n,则A、B、C成等差数列.(6)若数列an的项数为2n(nN*),则S偶S奇=nd,=,S2n=n(an+an+1)(an、an+1为中间两项);若数列an的项数为2n1(nN*),则S奇S偶=an,=,S2n1=(2n1)an(an为中间项).2.等比数列an的性质(1)am=akqmk.(2)若数列an是等比数列,则数列1an(1为常数)是公比为q的等比数列;若bn也是公比为q2的等比数列,则1an2bn(1、2为常数)也是等比数列,公比为qq2.(3)下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,组成的数列仍为等比数列,公比为qm.(4)若m、n、l、kN*,且
3、m+n=k+l,则aman=akal,反之不成立.(5)设A=a1+a2+a3+an,B=an+1+an+2+an+3+a2n,C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+a3n,则A、B、C成等比数列,设M=a1a2an,N=an+1an+2a2n,P=a2n+1a2n+2a3n,则M、N、P也成等比数列.(二)对于等差、等比数列注意以下设法:如三个数成等差数列,可设为ad,a,a+d;若四个符号相同的数成等差数列,知其和,可设为a3d,ad,a+d,a+3d.三个数成等比数列,可设为,a,aq,若四个符号相同的数成等比数列,知其积,可设为,aq,aq3.(三)用函数的观点理解等差数列、等比数列
4、1.对于等差数列,an=a1+(n1)d=dn+(a1d),当d0时,an是n的一次函数,对应的点(n,an)是位于直线上的若干个点.当d0时,函数是增函数,对应的数列是递增数列;同理,d=0时,函数是常数函数,对应的数列是常数列;d0时,函数是减函数,对应的数列是递减函数.若等差数列的前n项和为Sn,则Sn=pn2+qn(p、qR).当p=0时,an为常数列;当p0时,可用二次函数的方法解决等差数列问题.2.对于等比数列:an=a1qn1.可用指数函数的性质来理解.当a10,q1或a10,0q1时,等比数列是递增数列;当a10,0q1或a10,q1时,等比数列an是递减数列.当q=1时,是一
5、个常数列.当q0时,无法判断数列的单调性,它是一个摆动数列.点击双基1.等比数列an的公比为q,则“q1”是“对于任意自然数n,都有an+1an”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:当a10时,条件与结论均不能由一方推出另一方.答案:D2.已知数列an满足an+2=an(nN*),且a1=1,a2=2,则该数列前2002项的和为A.0 B.3 C.3 D.1解析:由题意,我们发现:a1=1,a2=2,a3=a1=1,a4=a2=2,a5=a3=1,a6=a4=2,a2001=a1999=1,a2002=a2000=2,a1+a2+a3+a4=0.a1
6、+a2+a3+a2002=a2001+a2002=a1+a2=1+2=3.答案:C3.若关于x的方程x2x+a=0和x2x+b=0(ab)的四个根可组成首项为的等差数列,则a+b的值是A. B. C. D.解析:依题意设四根分别为a1、a2、a3、a4,公差为d,其中a1=,即a1+a2+a3+a4=1+1=2.又a1+a4=a2+a3,所以a1+a4=a2+a3=1.由此求得a4=,d=,于是a2=,a3=.故a+b=a1a4+a2a3=+=.答案:D4.(2004年春季上海,12)在等差数列an中,当ar=as(rs)时,数列an必定是常数列,然而在等比数列an中,对某些正整数r、s(rs
7、),当ar=as时,非常数列an的一个例子是_.解析:只需选取首项不为0,公比为1的等比数列即可.答案:a,a,a,a(a0)5.(2002年北京,14)等差数列an中,a1=2,公差不为零,且a1,a3,a11恰好是某等比数列的前三项,那么该等比数列公比的值等于_.解析:设a1,a3,a11成等比,公比为q,a3=a1q=2q,a11=a1q2=2q2.又an是等差数列,a11=a1+5(a3a1),q=4.答案:4典例剖析【例1】 (2005年春季北京,17)已知an是等比数列,a1=2,a3=18;bn是等差数列,b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a320.(1)求数列bn的
8、通项公式;(2)求数列bn的前n项和Sn的公式;(3)设Pn=b1+b4+b7+b3n2,Qn=b10+b12+b14+b2n+8,其中n=1,2,试比较Pn与Qn的大小,并证明你的结论.剖析:将已知转化成基本量,求出首项和公比后,再进行其他运算.解:(1)设an的公比为q,由a3=a1q2得q2=9,q=3.当q=3时,a1+a2+a3=26+18=1420,这与a1+a2+a320矛盾,故舍去.当q=3时,a1+a2+a3=2+6+18=2620,故符合题意.设数列bn的公差为d,由b1+b2+b3+b4=26得4b1+d=26.又b1=2,解得d=3,所以bn=3n1.(2)Sn=n2+
9、n.(3)b1,b4,b7,b3n2组成以3d为公差的等差数列,所以Pn=nb1+3d=n2n;b10,b12,b14,b2n+8组成以2d为公差的等差数列,b10=29,所以Qn=nb10+2d=3n2+26n.PnQn=(n2n)(3n2+26n)=n(n19).所以,对于正整数n,当n20时,PnQn;当n=19时,Pn=Qn;当n18时,PnQn.评述:本题主要考查等差数列、等比数列等基本知识,考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.【例2】 (2005年北京东城区模拟题)已知等差数列an的首项a1=1,公差d0,且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列bn的第二项、第三项、第四项
10、.(1)求数列an与bn的通项公式;(2)设数列cn对任意正整数n均有+=(n+1)an+1成立,其中m为不等于零的常数,求数列cn的前n项和Sn.剖析:(1)依已知可先求首项和公差,进而求出通项an和bn;(2)由题先求出an的通项公式后再求Sn.解:(1)由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2,整理得2a1d=d2.a1=1,解得d=2(d=0不合题意舍去),an=2n1(n=1,2,3,).由b2=a2=3,b3=a5=9,易求得bn=3n1(n=1,2,3,).(2)当n=1时,c1=6;当n2时,=(n+1)an+1nan=4n+1,cn=(4n+1)mn1bn=(4
11、n+1)(3m)= 当3m=1,即m=时,Sn=6+9+13+(4n+1)=6+=6+(n1)(2n+5)=2n2+3n+1.当3m1,即m时,Sn=c1+c2+cn,即Sn=6+9(3m)+13(3m)2+(4n3)(3m)n2+(4n+1)(3m)n1. 3mSn=63m+9(3m)2+13(3m)3+(4n3)(3m)n1+(4n+1)(3m)n. 得(13m)Sn=6+33m+4(3m)2+4(3m)3+4(3m)n1(4n+1)(3m)n=6+9m+4(3m)2+(3m)3+(3m)n1(4n+1)(3m)n=6+9m+(4n+1)(3m)n.Sn=+.Sn= 评述:本题主
12、要考查了数列的基本知识和解决数列问题的基本方法.如“基本量法”“错位相减求和法”等.【例3】 (2005年北京海淀区模拟题)在等比数列an(nN*)中,a11,公比q0.设bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.(1)求证:数列bn是等差数列;(2)求bn的前n项和Sn及an的通项an;(3)试比较an与Sn的大小.剖析:(1)定义法即可解决.(2)先求首项和公差及公比.(3)分情况讨论.(1)证明:bn=log2an,bn+1bn=log2=log2q为常数.数列bn为等差数列且公差d=log2q.(2)解:b1+b3+b5=6,b3=2.a11,b1=log2a10.
13、b1b3b5=0,b5=0.解得Sn=4n+(1)=.an=25n(nN*).(3)解:显然an=25n0,当n9时,Sn=0.n9时,anSn.a1=16,a2=8,a3=4,a4=2,a5=1,a6=,a7=,a8=,S1=4,S2=7,S3=9,S4=10,S5=10,S6=9,S7=7,S8=4,当n=3,4,5,6,7,8时,anSn;当n=1,2或n9时,anSn.评述:本题主要考查了数列的基本知识和分类讨论的思想.闯关训练夯实基础1.在等比数列an中,a5+a6=a(a0),a15+a16=b,则a25+a26的值是A. B. C. D.解析:由等比数列的性质得三个和成等比数列,
14、由等比中项公式可得选项为C.答案:C2.公差不为零的等差数列an的第二、三及第六项构成等比数列,则=_.解析:设公差为d(d0),由题意a32=a2a6,即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),解得d=2a1,故=.答案:3.若数列x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y成等比数列,则的取值范围是_.解析:在等差数列中,a1+a2=x+y;在等比数列中,xy=b1b2.=+2.当xy0时,+2,故4;当xy0时,+2,故0.答案:4,+)或(,04.已知数列an中,a1=且对任意非零自然数n都有an+1=an+()n+1.数列bn对任意非零自然数n都有bn=an+1an.(1)
15、求证:数列bn是等比数列;(2)求数列an的通项公式.(1)证明:bn=an+1an=an+()n+1an=()n+1an,bn+1=()n+2an+1=()n+2an+()n+1=()n+1an()n+1=()n+1an=()n+1an,=(n=1,2,3,).bn是公比为的等比数列.(2)解:b1=()2a1=,bn=()n1=()n+1.由bn=()n+1an,得()n+1=()n+1an,解得an=6()n+1()n+1.5.设an为等比数列,a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3,分别求出an及bn的前10项的和S10及T10.解:设公差为d,公比为q,由题意知 或S10=
16、10+()=.当q=时,T10=;当q=时,T10=.培养能力6.(2003年北京高考,文16)已知数列an是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=anxn(xR),求数列bn前n项和的公式.解:(1)设数列an的公差为d,则a1+a2+a3=3a1+3d=12.又a1=2,得d=2.所以an=2n.(2)令Sn=b1+b2+bn,则由bn=anxn=2nxn,得Sn=2x+4x2+(2n2)xn1+2nxn, xSn=2x2+4x3+(2n2)xn+2nxn+1. 当x1时,式减去式,得(1x)Sn=2(x+x2+xn)2nxn+1=2nxn
17、+1.所以Sn=.当x=1时,Sn=2+4+2n=n(n+1).综上可得,当x=1时,Sn=n(n+1);当x1时,Sn=.7.数列an中,a1=8,a4=2,且满足an+22an+1+an=0(nN*).(1)求数列an的通项公式.(2)设bn=(nN*),Sn=b1+b2+bn,是否存在最大的整数m,使得任意的n均有Sn总成立?若存在,求出m;若不存在,请说明理由.解:(1)an+22an+1+an=0,an+2an+1=an+1an(nN*).an是等差数列.设公差为d,又a1=8,a4=a1+3d=8+3d=2,d=2.an=2n+10.(2)bn=(),Sn=b1+b2+bn=(1)
18、+()+()=(1)=.假设存在整数m满足Sn总成立.又Sn+1Sn=0,数列Sn是单调递增的.S1=为Sn的最小值,故,即m8.又mN*,适合条件的m的最大值为7.探究创新8.有点难度哟!(理)已知数列an的各项均为正整数,且满足an+1=an22nan+2(nN*),又a5=11.(1)求a1,a2,a3,a4的值,并由此推测出an的通项公式(不要求证明);(2)设bn=11an,Sn=b1+b2+bn,Sn=|b1|+|b2|+|bn|,求.解:(1)由a5=11,得11=a428a4+2,即a428a49=0.解得a4=9或a4=1(舍).由a4=9,得a326a37=0.解得a3=7或a3=1(舍).同理可求出a2=5,a1=3.由此推测an的一个通项公式an=2n+1(nN*).(2)bn=11an=102n(nN*),可知数列bn是等差数列.Sn=n2+9n.当n5时,Sn=Sn=n2+9n;当n5时,Sn=Sn+2S5=Sn+40=n29n+40.当n5时,=1;当n5时,=.=.(文)设f(k)是满足不等式log2x+log2(32k1x)2k1(kN*)的自然数x的个数.(1)求f(k)的表达式;(2)记Sn=f(1)+f(2)+f(n),Pn=n2+n1,当n5时试比较Sn与Pn的大小.解:(1)由不等式log2x+log2(32k1x)2
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