九年级数学上册 26.3 解直角三角形专题讲座素材 （新版）冀教版

1、解直角三角形专题讲座 解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，是在深入研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量。1、明确解直角三角形的依据和思路在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的。因此，锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础。如图1，在RtABC中，C90，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（以下字母同），则解直角三角形的主要依据是（1）边角之间的关系：sinAcosB， cosAsinB，tgActgB，ctgAtgB。（2）两锐角

2、之间的关系：AB90。（3）三条边之间的关系：。以上每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形的思路，就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。2、解直角三角形的基本类型和方法我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形，而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？事实上，解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形，即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解

3、的。由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边。这样，解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。四种基本类型和解法列表如下：已知条件 解法 一边及一锐角 直角边a及锐角A B90A，bactgA， 斜边c及锐角A B90A，acsinA，bccosA 两边 两条直角边a和b ，B90A， 直角边a和斜边c ，B90A， 例1、如图2，若图中所有的三角形都是直角三角形，且A，AE1，求AB的长。分析一：所求AB是RtABC的斜边，但在RtABC 中

4、只知一个锐角A，暂不可解。而在RtADE中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解RtADE入手。解法一：在RtADE中，且A，AE1，在RtADC中，在RtABC中，。分析二；观察图形可知，CD、CE分别是RtABC和RtACD斜边上的高，具备应用射影定理的条件，可以利用射影定理求解。解法二：同解法一得，在RtACD中，在RtABC中，。说明：本题是由几个直角三角形组合而成的图形。这样的问题，总是先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解。值得注意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，因而在解直角三角形时经常要用到。在解直角三角形的问

5、题中，经常会遇到这样的图形（图3），它是含有两个直角三角形的图形。随着D点在BC边上位置的变化，会引起直角三角形中有关图形数量相应的变化，从而呈现许多不同的解直角三角形的问题，下面举例加以说明。例2、如图3，在RtABC中，C90，AD是BC边上的中线。（1）若BD，B30，求AD的长；（2）若ABC，ADC，求证：tg2tg。（1）分析：由AD是BC边的中线，只知DC一条边长，仅此无法直接在RtADC中求解AD。而在RtABC中，由已知BC边和B可以先求出AC，从而使RtADC可解。解：在RtABC中，BC2BD2，B30，ACBC tgB2，在RtADC中，DCBD，。（2）分析：和分别为

6、RtABC和RtADC中的锐角，且都以直角边AC为对边，抓住图形的这个特征，根据直角三角形中锐角三角比可以证明tg2tg。证明：在RtABC中，,在RtADC中，,又BC2DC, tg2tg。例3、如图3，在RtABC中，C90，AD是BAC的平分线。（1）若ABBD，求B；（2）又若BD4，求。分析：已知AD是BAC的平分线，又知两条线段的比ABBD,应用三角形内角平分线的性质定理，就能把已知条件集中转化到RtADC 中，先求出DAC即可求得B。解：（1）AD是BAC的平分线，,即,在RtADC中，,DAC30, BAC2DAC60, B90BAC30。（2）,BD4，ABBD4，B30，A

7、CAB2，又BCABcosB6，BCAC626。说明：解直角三角形时，要注意三角形中主要线段的性质，利用平面几何的有关定理，往往能够建立已知与未知的联系，找到解决问题的突破口。例4、如图3，在RtABC中、C90，D为BC上一点，ABC45,ADC60，BD1，求AB。分析：已知的角度告诉我们，RtABC 和RtADC都是特殊的直角三角形，抓往这个特点设未知数，根据线段间的数量关系，可以列出一元一次方程求解。解：在RtADC中，设DCx，ADC60，AD2x，ACx，在RtABC中，ABC45，BD1，1xx，x，ABACx。说明：解直角三角形时，要注意发掘图形的几何性质，利用线段和差的等量关

8、系布列方程。还要熟练地掌握特殊锐角的三角比值，以使解答过程的表述简洁。例5、如图4，在ABC中、D、F分别在AC、BC上，且ABAC，AFBC，BDDCFC1，求AC。分析：由数形结合易知，ABC是直角三角形，AF为斜边上的高线，CF是直角边AC在斜边上的射影，AC为所求，已知的另外两边都在BDC中，且BDDC1，即BDC是等腰三角形。因此，可以过D作DEBC，拓开思路。由于DE，AF同垂直于BC，又可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得AC。解：在ABC中，设AC为x，ABAC，AFBC，又FC1，根据射影定理,得：，即BC。再由射影定理, 得：，即。在BDC中，过D作DEBC于E，BDD

9、C1，BEEC，又AFBC，DEAF，。在RtDEC中，即，整理得。说明：本题体现了基本图形基本性质的综合应用。还应该注意，作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法。3、解直角三角形在实际问题中的应用借助解直角三角形解决实际问题，包括度量工件、测量距离、工程技术等许多方面。解决问题的关键是要从实际问题中抽象出几何图形，把实际问题中的数量关系转化为直角三角形的边角之间的关系，从而通过解直角三角形使实际问题得到解决。例6、某型号飞机的机翼形状如图5，根据图示尺寸计算AC、BD和AB的长度（保留三个有效数字）。分析；飞机机翼形状为四边形ABDC，要求其中三条边的长度，一方面应使所求线段成为直角

10、三角形的元素，另一方面，要设法将已知条件与未知量集中在某个三角形中以求解，这就需要恰当地构造直角三角形。解：过C作CEBA，交BA的延长线于E。在RtACE中，ACE45，CE5，ACCE1.41457.07。过D作DFBA，交BA的延长线于F，且与AC交于G，在RtBDF中，BDF30，DF5，BD，ABBFAFBFFGBF（DFDG）BF（DFCD）2.885（53.4）1.29（米）。说明：解决实际问题时，计算常有精确度的要求，应注意近似计算的法则和规范表述。例7、某勘测队在山脚测得山顶的仰角为38，沿倾斜角为25的山坡前进800米后，又测得山顶的仰角为62，求山的高度（精确到0.1米）

11、。分析：先根据题意画出示意图（如图6），BC为山高，AD为山坡，DAC25，因为仰角为视线与水平线的夹角，所以BAC38，AD800米，BDE62，要直接在RtABC中求BC不够条件，必须设法先求出AB，这就需要根据已知条件，构造直角三角形。解：过D作DFAB于F，在RtADF中，DAF382513，AFADcosDAF8000.9744779.5，DFADsinDAF8000.2250180.0。在RtBDF中，DBF623824，BFDFctgDBF180.02.246404.3，ABAFBF779.5404.31183.8，在RtABC中，BCABsinBAC1183.80.6157728.8（米）。答：山高为728.8米。说明：在学过解斜三角形以后，解答本题会有更简捷的方法。说明：应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形。例8、如图7所示，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D处分别用测角仪器测得塔顶B的仰角为30，60。已知测角仪器高为1.5米，CD20米，求铁塔的高。（精确到0.1米）。解：设BGx，在RtBGF中，ctgBFG，FGBGctgBFGxctg60x，在RtBGE中，EGBGctgBEGx。EGFGEF，且EFCD20，xx20，解得x10，ABBGAG101.518.8（米）答：铁塔的高