第13章非平稳时间序列模型

1、前言,在前面的章节中，所阐述的有关时间序列数据模型,的内容都假定数据是平稳的，那么，实际经济中的,数据有没有可能是,非平稳,的？如何检验时间序列数,据的非平稳性,特别是,如果我们面对的是非平稳的数据，原有的,基于平稳数据而建立的分析方法是否仍然适用？如,果不适用，我们就应该针对非平稳数据的特征，提,出新的分析方法。本章我们将系统阐述,非平稳性的,概念、估计与检验方法,13.1,认识非平稳的数据特征,我们以中国国内生产总值,GDP,经济增长率,g,的,数据为基础分析相关概念，具体数据如图,图,13.1.1GDP,数据图,图,13.1.2,经济增长率数据图,从图,13.1.2,可以发现，我国经济增

2、长率数据既没有,上升趋势，也没有下降趋势，而是围绕在某个均值,附近上下波动。一旦某年度的经济增长率偏离均值,它会随后较快地向均值回复，也就是说，经济增长,率具有,均值回复特征,经济增长率的数据特征与上,一章中所介绍的,平稳数据特征,很相似,与之不同的是，我国的,GDP,虽有一定的波动，但存,在一个,明显的上升趋势,如果我们把每年的,GDP,看,成是一个随机变量，那么，这种上升的趋势就使得,每年,GDP,的均值发生变化。类似,GDP,这样的数据变化,特征就是本章将要介绍的,非平稳数据,的一个典型特,征,13.2,非平稳时间序列与单位根过程,定义：如果一个时间序列的均值或方差随时间而,变化，那么，

3、这个时间序列数据就是,非平稳的时,间序列数据,如果一个序列是非平稳的序列，常,常称这一序列具有,非平稳性,如果时间序列,X,t,不满足如下平稳性定义中的一条,或几条，则,X,t,是,非平稳的序列,平稳性定义,X,t,的均值不随时间变化,1,E,X,t,2,X,t,的方差不随时间变化,var,X,t,E,X,t,2,2,3,任何两期的,X,t,与,X,t,k,之间的协方差仅依赖于这,两期间隔的距离或滞后长度,k,，而不依赖于其他,变量（对所有的,k,，即,X,t,与,X,t,k,的协方差表述为,k,E,X,t,X,t,k,所谓时间序列的,随机游走,random walk,即指下一期,的值等于当期

4、的值加上随机误差项。我们把随机游走划,分为,带漂移的随机游走,和,不带漂移的随机游走,非平稳性和随机游走的关系,假设,Y,t,由一阶自回归过程所生成,Y,t,Y,t,1,t,13.2.1,将,1,代入方程,13.2.1,Y,t,Y,t,1,t,t,13.2.2,这样定义的,Y,被称为,随机游走,假定时间序列从第,0,期,开始，我们就有,13.2.3,Y,Y,t,0,i,i,1,E,Y,t,E,Y,0,i,Y,0,i,1,t,13.2.4,13.2.5,var,Y,t,t,2,方程,13.2.2,中没有截距项,这里称为漂移项,和时间趋势项，若在方程中分别加入漂移项,和时间趋势项，可得到另外两种随

5、机游走方,程,Y,t,Y,t,1,t,Y,t,t,Y,t,1,t,13.2.6,13.2.7,方程,13.2.6,称为带漂移的,单位根过程,方程,13.2.7,称为带漂移和时间趋势的,单位根过程,认识数据特征：平稳数据和几种单位跟数据,图,13.2.1,Y,t,0.6,Y,t,1,t,图,13.2.3,Y,t,1,Y,t,1,t,图,13.2.2,Y,t,Y,t,1,t,图,13.2.4,Y,t,1,0.3,t,Y,t,1,t,13.3,趋势平稳和差分平稳过程,一、趋势平稳和差分平稳的数据生成过程,图,13.1.1,中我国的名义,GDP,表现出很强的趋势，这,种趋势是随机性的还是确定性的呢？还

6、是两者兼而,有之呢？为清楚理解这一问题的含义，考虑如下模,型,Y,t,0,1,t,2,Y,t,1,t,13.3.1,1,在模型,13.3.1,中，若,可以得到,Y,t,Y,t,1,t,0,0,1,0,2,1,则,13.3.2,模型,13.3.2,是一个,不带漂移和时间趋势项的,随机游,走,是非平稳的单位根过程，对其取差分的形式,得到,Y,t,Y,t,Y,t,1,t,13.3.3,t,是平稳的，因此,Y,t,是平稳的,由于随机误差项,换言之，一个不带漂移的随机游走是一个,差分平稳,过程,2,在模型,13.3.1,中，若,可以得到,Y,t,0,Y,t,1,t,0,0,1,0,2,1,则,13.3.

7、4,这是一个,带漂移的,随机游走过程,是非平稳的单位,根过程，将其写成差分的形式,Y,t,Y,t,Y,t,1,0,t,13.3.5,Y,t,除了受,0,的影响外,这意味着时间序列的变化,还受误差项,t,的影响，并且,Y,t,将把以前时期的,t,值,累积起来，随机误差项对,Y,t,的这种累积效应被称为,随机趋势,带漂移的单位根过程也是差分平稳的,3,在模型,13.3.1,中，若,0,0,1,0,2,0,则,可以得到,Y,t,0,1,t,t,13.3.6,模型,13.3.6,所生成的数据，其均值不是常数而是时,间的函数（等于,0,1,t,，其方差恒定,等于,t,的方,的值，就可以准确预测,Y,t,

8、的均,差,一旦知道了,值及其趋势,一旦从中减去其均值，所得到的序列就是平稳的,因此，由,13.3.6,生成的,Y,t,称为,趋势平稳过程,这种,除去确定性趋势的过程称为,除趋势,0,1,4,在模型,13.3.1,中，若,0,0,1,0,2,1,则,可以得到,Y,t,0,1,t,Y,t,1,t,13.3.7,这是一个,带漂移和时间趋势的,随机游走,将模型,13.3.7,转化成差分的形式,Y,t,0,1,t,t,13.3.8,Y,t,含有时间趋势，因此,Y,t,的均值随时间而,可以看出,变化,Y,t,是非平稳的。要使,Y,t,变成平稳，需要对其,Y,t,是,趋势平稳过程,进行,除趋势处理,也就是说

9、,二、趋势平稳的检验方法,实际研究中一个简单的区分趋势平稳和差分平稳的,方法，就是从数据中去除其所含有的确定性部分,然后检验其剩余部分是单位根过程还是平稳过程,如果剩余部分是单位根过程，则说明该数据本身是,差分平稳,否则该数据就是趋势平稳过程,例如，对如下模型做回归,13.3.9,Y,t,0,1,t,t,t,再检验,t,的平稳性,t,Y,得到回归残差,t,0,1,基于检验结果判断,Y,t,是否趋势平稳,13.4,单位根检验,一、迪基富勒,DF,检验,数据的非平稳性可能归因于一个确定性时间趋,势，也可能是源自于数据生成过程中的随机游,走，也许两者兼而有之，区分非平稳数据的这,两种特征非常重要,N

10、elson,Plosser(1982,等认为很多,经济时间序列,都是由单位根而不是由确定性时间趋势,来更好,地近似描述。因此，近期广受欢迎的一种非平,稳性检验就是所谓的,单位根检验,回忆我们曾讨论方程,13.2.1,中的,值，它帮,助我们确定,Y,是平稳还是非平稳,Y,t,Y,t,1,t,13.4.1,Y,t,是,平,我们已在,13.2,节中定义,如果,1,时,Y,t,趋于以更快的速度爆炸性,稳的,当,1,时,Y,t,是,增长，此时,Y,t,称为,发散过程,但当,1,非平稳的且被称为单位根过程,因此，迪基富勒,DF,单位根检验的原理,估计方程,13.4.1,，并确定是否有,1,从,而判定,Y,

11、t,是否是平稳的,首先，在方程,13.4.1,两边同时减去,Y,t,1,得到,Y,t,Y,t,1,Y,t,1,Y,t,1,t,1,Y,t,1,t,13.4.2,定义,Y,t,Y,t,Y,t,1,我们就得到迪基富勒,DF,检验最简单的表达式,Y,t,Y,t,1,v,t,13.4.3,这里,1,因此，检验,Y,t,是否为单位根过,程就转而检验原假设,0,Y,t,为一个,单位根过程,若,若,0,则,1,Y,t,是,平稳的,于是我们构造原,0,则,1,假设,H,0,=0,备择假设,H,1,0,如何检验模型,13.4.3,的原假设是否成立,在原假设,H,0,下，估计的,Y,t,1,的回归系数的,t,统计

12、值即,使在大样本下也不服从,t,分布，因此，使用通常的,t,检验无法检验原假设是否成立,迪基富勒的解决办法,在原假设,0,下，使用模,型,13.4.3,中系数,的通常,t,型统计量，但,极限分布,不同于,t,分布，将这时的,t,统计量,称之为,统计量,迪基富勒使用蒙特卡罗仿真实验计算了,统计量,极限分布的临界值,麦金农,MacKinnon,计算了更,为全面的极限分布临界值表，常用的计量软件都,带有,与三种随机游走时间序列相对应的三种形式的,DF,检验形式,Y,t,Y,t,1,u,t,13.4.4,Y,t,0,Y,t,1,u,t,Y,t,0,1,t,Y,t,1,u,t,13.4.5,13.4.6

13、,不论我们采用哪种形式的迪基富勒检验，判,断法则都是基于,的估计,注意,检验原假设,0,的,检验随,DF,检验形式,的不同而不同，所对应统计量的临界值也不相,同，认识这点非常重要,二、扩展的迪基富勒,ADF,检验,考虑误差项存在序列相关，对迪基富勒检验方程的设定形,式进行相应修正,将,Y,t,若干阶差分的滞后项作为迪基富,勒检验方程中的解释变量,这种情形的,DF,检验被称为,增广的,迪基富勒,ADF,检验,对应三种不同形式的,DF,检验,ADF,检,p,验为,13.4.7,Y,t,Y,t,1,i,Y,t,i,u,t,i,1,Y,t,0,Y,t,1,i,Y,t,i,u,t,i,1,p,13.4.

14、8,13.4.9,Y,t,0,1,t,Y,t,1,i,Y,t,i,u,t,上述检任然是都是基于,p,的估计,i,1,三,ADF,检验的实例,一）我们选择了,1978,2007,年江西省的商品零售价格,指数,P,和,1989,2007,年江西省净出口总额,EX,数,据，数据图形如图,13.4.1,和,13.4.2,图,13.4.1,商品零售价格指数,图,13.4.2,净出口总额,针对商品零售价格指数,没有明显确定趋势的数据特征,设定,ADF,检验模型为,q,p,t,p,t,1,i,p,t,i,u,t,i,1,13.4.10,使用,Eviews5,对,P,进行,ADF,检验，其中滞后期,q,是根据

15、最小,AIC,准则,确定为,0,检验方程估计得到,P,t,0.24,P,t,1,u,t,t = (-1.946,Eviews5,检验结果输出表为,系数,0.24,所对应的,t,统计量,值为大于,ADF,的,5,显著性水,平下对应的临界值,1.953,而小于,10,显著水平下的临,界值,1.610,因此，不能,在,5,的显著性水平下拒绝单,位根的原假设，但可在,10,的显著性水平下拒绝单位根,的原假设,针对,EX,的数据图形的趋势，我们选择,带漂移项，不带时间趋势,项的,ADF,检验,EX,t,EX,t,1,i,EX,t,i,u,t,i,1,q,13.4.11,使用,Eviews5,对,EX,进

16、行,ADF,检验，其中滞后期,q,是根据最小,AIC,准,则确定为,1,检验方程估计得到,t,EX,t,126034.9,0.166,EX,t,1,0.044,EX,t,1,u,t,1.15,0.68,0.14,Eviews5,检验结果输出表为,所对应,t,统计量,值为,0.679,大于,5,显著性水平对应,的临界值,3.05,不,能拒绝为单位根的,原假设,二）我国季度,GDP,的数据特征,我们选择,1995Q1,2008Q2,的季度,GDP,数据来自中,经网统计数据库。使用消费者价格指数,1994=100,换算成实际,GDP,后，再使用,X12,进行季节调整，去除,季节趋势。去季节趋势后的实

17、际,GDP,取自然对数值,Ln(RGDP,见图,13.4.3,图,13.4.3,实际,GDP,季度数据,从图形可以看出,RGDP,含有明显的确定性趋势，它很可能是,带,漂移项、时间趋势项的单位根过程,因此，我们设定检验方程,RGDP,t,0,1,t,RGDP,t,1,i,RGDP,t,i,u,t,i,1,q,13.4.12,使用,Eviews5,对进行,ADF,检验，滞后期是根据最小,AIC,准则确定为,0,对检验方程估计得到,t,ln,RGDP,t,0.513,0.54ln,RGDP,t,1,0.002,T,u,t =(1.19) (-1.16) (1.54,Eviews5,检验结果输出表为

18、,所对应,t,统计量值为,1.16,大于,5,显著性水平对应的临,界值,3.50,不能拒绝原假设,13.5 ARIMA,模型,如何使用,ARMA,模型来考察非平稳单位根过,程数据的动态性呢,一种简单的方法就是：首先对单位根变量,比如,进行,差分,使之变为,平稳数据,然后,对差分后的平稳数据使用上一章的,ARMA,模型,进行分析,这种情形下的,ARMA,模型,就成为,ARIMA,模型,如,ARIMA(2,1,3,其中,2,表示自回归的阶,数,3,表示移动平均的阶数,1,则表示差分的,数次,为说明,如何使用,ARIMA,模型考察时间序列数据的动,态调整过程,我们来看一下,我国通货膨胀的动态调,整行

19、为,P,表示通胀率，数据来,以年度商品零售价格指数,源于新中国,60,周年统计资料汇编，见图,13.5.1,图,13.5.1,我国年度通胀率,从数据波动特征看，我国的通胀率没有明显上升趋,势，也没有明显的下降趋势，意味着数据生成过程,中不包括确定性趋势，因此,我们使用不含漂移项,和时间趋势项的单位根检验,使用,AIC,准则确定滞,后期,检验结果为,13.5.1,p,t,0.001,p,t,1,0.09,p,t,1,0.34,p,t,2,u,t,t = (-0.175) (0.736) (-2.79,输出结果,可以判定,P,为,I,1,考察,P,的自相关图,AC,和偏自相关图,PAC,它们具有一

20、定,拖尾”的特征,因此使用,ARMA,模,型分析,结合最小,AIC,准则，最终确定的短期动态调整行为,由,ARIMA(2,1,2,所表述即,P,t,0.166,0.09,P,t,1,0.25,P,t,2,t,0.36,t,1,0.17,t,2,u,t,t = (0.54) (0.54) (2.82) (-2.08) (-7.05,输出结果,13.5.2,13.6,谬误回归,一个谬误回归的例子,考虑两个不相关的随机游走过程,Y,t,Y,t,1,t,13.6.1,13.6.2,X,t,X,t,1,u,t,u,t,这里的随机误差项,和,t,都是独立同正态分,布的随机变量，且,u,t,和,t,互不相关

21、,将由,13.6.1,和,13.6.2,所生成的,X,t,和,Y,t,做,回归，即,Y,t,0,1,X,t,v,t,13.6.3,Y,t,不相关，对模型,13.6.3,X,t,由前面的假设，与,2,回归的,R,应趋于,0,且,0,和,1,不应该显著不为,0,但,Granger (1974,的仿真实验表明,13.6.3,2,0,和,1,的,t,统计值绝大多,回归所得到的,R,很高,数是统计显著的，且,DW,值很低,2,于是，这一回归产生了虚的,R,和,DW,值，以及虚,的,t,统计值,类似这种回归称为,虚回归或谬误回,归,spurious regression,一般而言,如果回归方程中的被解释变

22、量或至,少一个解释变量是非平稳的，或者回归的残差,是非平稳的,OLS,回归的结果就可能是谬误回归,一个现实中谬误回归的例子,假设以上海市的名义,GDP,作为被解释变量,以江西省的人口数量,RK,作为解释变量进行,回归,数据是,1978,2006,年的年度数据,从经济理论看,江西省的人口数量对上海市,的名义,GDP,应无显著的影响,因此，回归模,型估计的斜率系数在统计上不应该显著不为,零。我们做了如下回归,GDP,t,0,1,RK,t,t,13.6.5,检验结果表明,GDP,和,RK,都是单位根过程,结,果略,回归结果如下,t,GDP,t,21749.4,0.0006,RK,t,u,t = (-

23、6.53) (7.37,输出结果,回归系数统,计检验显著,不为零,R,0.67,DW=0.08,2,13.7,协整与误差校正模型,一、协整的概念,1,理解经济学中的均衡,经济学中的均衡是指对于由,n,个变量,X,1,X,n,组成的系统，若对于反映这些变量之间关系,的函数,f,.,有,f,X,1,X,n,0,成立，则称这个系,统处于均衡状态,现在的问题是,长期来看，由于受到外在冲,击，致使经济系统偏离均衡转向非均衡，那,么，这种非均衡是继续维持下去，还是经过,一段时间调整，再次回复到均衡状态,2,协整的概念及含义,1,货币需求函数的例子,经济理论认为，个人持有的名义货币数量，取决于,实际收入、物

24、价水平与利息率,因此，用计量经济,模型所表述的货币需求方程可写为,m,t,0,1,p,t,2,y,t,3,r,t,t,13.7.1,m,t,为货币需求,p,t,为物价水平,y,t,为实际收入,其中,r,t,为利息率,在货币市场均衡的假定下，货币需求等,于货币供给，因此，货币需求理论的一个关键的假,t,定就是序列,是平稳过程,将模型,13.7.1,重新表,述为,t,m,t,0,1,p,t,2,y,t,3,r,t,13.7.2,2,协整的定义,Engel,和,Granger(1987,提出了如下的协整定义,对于随机向量,X,t,X,1,t,X,2,t,X,nt,如果,X,t,是,I,1,单位根向量

25、，即,X,t,中每一个分量都,是单位根过程,0,使,X,t,I,0,存在一个,n,1,阶列向量,也就是说，存在一组不全为零的常数,使,得线性组合,X,t,是平稳的,则称非平稳变量,X,1,t,X,2,t,X,nt,存在,协整关系,向量,称为,协整向量,注意：这里是针对,I,1,变量，简化了,Engel,Granger(1987,的定义,在货币需求模型中，如果货币供给、物价水,平、实际收入和利率都是,I,1,并且线性组,合,t,m,t,0,1,p,t,2,y,t,3,r,t,是平稳的，则变量间,存在协整关系,在这个例子中，向量,X,t,为,m,t,1,p,t,y,t,r,t,协整,向量,为,1,

26、0,1,2,3,因此有,X,t,t,I,0,所以货币需求函数中的货币供给、物价水平,实际收入和利率是协整的，其中,t,称为,协整,误差,基于上述对协整的定义，实践中检验协整是,否存在的方法就是,首先检验模型中的变量,是否是,I,1,然后再检验残差是否是,I,0,二、协整检验,恩格尔,格兰杰两步法,一）应用研究中的典型问题,假设有两个变量,X,t,和,Y,t,它们都是,I,1,的单位根,过程，要,确定它们之间是否存在协整关系,可分三,步进行,1,确认变量是否为单位根过程,2,估计协整关系,如果变量,X,t,和,Y,t,都是,I,1,则用如下模型,Y,t,0,1,X,t,t,13.7.3,3,检验

27、协整关系,如果,t,是平稳的，则单位根变量,X,t,和,Y,t,具有协整关,系，判断,t,是否平稳的简单方法就是,使用,ADF,检验,二,EG,检验和,AEG,检验,判断,t,是否平稳所使用的,ADF,检验形式如下,t,t,1,i,t,i,u,t,i,1,p,13.7.4,如果残差,t,没有自相关,则上述,ADF,检验中,不应含有,t,的滞后项，此时通常的,ADF,检验,称为,EG,检验,当残差,t,表现出自相关时,就应该加入,t,的,滞后项，此时的,ADF,检验称为,增广的,EG,检验,或,AEG,检验,Mackinnon(1991,给出了不同情形下,EG,或,AEG,统计量的临界值，见表,

28、13.4,麦金农的临界值计算方法为,C,p,K,K,1,K,T,1,2,K,T,2,13.7.5,13.7.5,被称为响应面函数,其中,为渐进临,p,界值的估计,1,2,为系数,为检验显著性,T,为时间序列样本容量,K,为回归模型,水平,中变量的个数,指解释变量和因变量的总数,如果,K,1,检验的对象只有一个变量，协整,检验就退化为,单整检验,所以,K,1,所对应的,是,ADF,检验,K1,对应的是,协整检验,三、我国进出口总额的协整分析,作为协整检验的一个例子，我们来分析我国,进口总额,IM,和出口总额,EX,数据，数据来,源于新中国,55,年统计资料，见图,13.7.2,图,13.7.2,

29、我国进口总额和出口总额数据,一）对,Ln(EX,和,Ln(IM,做回归,ADF,检验表明，变量,Ln(EX,Ln(IM,都是一阶,单整的单位根过程，基于此，对,Ln(EX,和,Ln(IM,做回归得到,t,Ln,EX,t,0.036,1.010,Ln,IM,t,u,13.7.6,二,对残差进行单位根检验,t,进行单位根检验,AIC,准则选择最,对残差,u,优滞后期为,0,结果为,t,0.364,u,t,1,e,t,u,t = -3.43,13.7.7,查表,13.4,计算协整检验临界值,C,0,10,3,046,4,069,55,5,73,55,3,118,2,由于,13.7.7,式单位根检验计

30、算的,t,统计量值,为,3.43,小于计算的临界值,3.118,因此,在,10,的显著性水平下，可以拒绝回归残差,u,为单位根的原假设，所以,Ln(EX,和,Ln(IM,存在协整关系,四、误差校正模型,如果使用,EG,或,AEG,检验证实了若干个单位根,变量存在协整关系，则意味着这些变量存在,长期均衡，但在短期中，各变量不可能永久,停留在长期均衡上，而是可能会偏离长期均,衡，围绕均衡波动,由于协整关系的存在，变量一旦偏离均衡又,将会逐步回复到长期均衡,这种向长期均衡,的动态调节过程就是,误差校正模型,Error,Correct Model,简称,ECM,所要阐述的内容,r,1,t,和短期利率,

31、r,2,t,都是,I,1,它,假定长期利率,们的协整关系为,r,1,t,0,1,r,2,t,t,13.7.8,则用于利率期限结构的简单误差校正模型为,r,1,t,10,11,t,1,u,1,t,r,2,t,20,21,t,1,u,2,t,13.7.9,13.7.10,由格兰杰表述定理，一个完备的误差校正模,型可写为,r,1,t,10,11,t,1,1,i,r,1,t,i,2,i,r,2,t,i,u,1,t,p,p,13.7.11,13.7.12,r,2,t,20,21,t,1,1,i,r,1,t,i,2,i,r,2,t,i,u,2,t,i,1,i,1,i,1,p,i,1,p,将上述内容扩展至协

32、整方程中包括,k,个变量,的情形,如果向量,x,t,x,1,t,x,2,t,x,kt,为,I,1,且存在协,整关系,x,t,I,0,则向量,x,t,有一个误差校,正模型表达式,x,t,0,1,x,t,1,1,x,t,1,2,x,t,2,p,x,t,p,u,t,13.7.13,因为,13.7.13,的误差校正模型是使用向量形,式表述,因而被称为,向量误差校正模型,Vector Error Correct Model,简称,VECM,13.8,我国商业银行利率的协整分析,本节我们将使用本章介绍的知识，研究,长期利率和,短期利率的长期均衡和短期动态调节,以,表示长期利率,表示短期利率，其中长期利率是指我,国商业银行,90,天同业拆借利率的月度加权平均值，短期利,r,1,t,r,2,t,率是我国商业银行,7,天同业拆借利率的月度加权平均值。数,据来自中国人民银行网站提供的统计数据，见图,13.8.1,图,13.8.1,我国同业拆借利率,一、对变量进行单位根检验,ADF,检验,由于,r,1,t,和,r,2,t,的数据图形都没有表现出明显的,确定性趋势，因此，