四川大学数值分析期末总复习ppt课件.ppt

1、,数值分析,程复习,课,1,Gauss消元法,解线性代数方程组的直接法,列主元素消去法,全主元素消去法,矩阵三角分解法,范数、条件数,平方根法,LU分解法,追赶法,列主元素三角分解法,2,第四章 解线性代数方程组的直接法 （适用于中等规模的n阶线性方程组）,范数、条件数,Gauss消去法,LU分解法,平方根法,3,了解几个基本概念：,顺序主子式Di：方阵前i行、前i列元素矩阵的行列式； 非奇异矩阵：对方阵A而言， 即可证明A非奇异，涉及特征值时，全部 特征值均不等于0可证明A非奇异. 对称正定矩阵：充要条件：A的全部特征值大于0；顺序主子式全大于0； 性质：行列式为正； 严格对角占优矩阵：详见

2、书P173.,4,Gauss消去法,线性代数方程组：,用矩阵及向量形式表示：AX = b （PS:A为非奇异矩阵，即 ）,5,消元过程：,实质上是用,去乘以第一个方程，得到一个新的方程，然后用,第二个方程减去这个新的方程，使其第一项为0，最终变成：,同样取,乘以第一个方程，得到一个新的方程，然后用第三个,方程减去这个新的方程，使其第一项为0，最终变成：,上标(2)实际上表示经过消去法一步，以此类推(3)表示经过消去法两,步。,6,重复此步骤n-1次最终得到等价方程组：,经过消元法n-1步后，可以得到一个等价的上三角形方程组： （PS：经过初等变换得到的矩阵与原矩阵等价）,即：,已为 0,0,7

3、,经过回代可得到方程组的解：,此时必须满足条件：,n阶线性方程组消元过程所需要的总运算量为：,消元乘法运算量：,消元除法运算量：,回代乘除法运算量：,8,消元公式（4.1.1）,回代公式 （4.1.2）,9,10,因此可以采用全主元素消去法或列主元素消去法。,全主元素消去法： 实质上是在消元法进行了k（k=0,1,2,.,n-1）步之后，选取系数矩阵A第k+1行到第n行中绝对值最大的元作为主元，并利用初等行变换和列变换交换其位置，使其置于对角线上，成为对角元，以减小误差。,列主元素消去法： 实质上是在消元法进行了k（k=0,1,2,.,n-1）步之后，选取系数矩阵A第k+1列中绝对值最大的元作

4、为主元，并利用初等行变换使主元其置于对角线上，成为对角元，以减小误差。,11,典型题目1、概念题、消元及回代公式； 2、用全主元素消去法或列主元素消去法解方程组； 3、相关定理、定义或变形证明题(详见书本证明过程).,例1：分别用全主元素消去法和列主元素消去法解方程组，并由此计算系数行列式的值.,第一步：消元法进行了0步后，选出前三行的主元素4，经交换得：,全主元素消去法：,经Gauss消元得,12,第二步：消元法进行了1步后，选出前两行的主元素2，经交换得：,经Gauss消元得,回代求解得：,13,列主元素消去法：,第一步：选出第一列的主元素2，经交换得：,经Gauss消元得,14,第二步：

5、选出第二列的主元素3，经交换得：,经Gauss消元得,回代求解得：,结果相同！,15,例2：矩阵A的元素 ，经过Gauss消去法1步后，A变为,证明若A 对称，A2也对称.,证明：,Guass消元法第一步,16,17,矩阵三角分解法,原理：对矩阵进行一次初等变换，相当于用相应的初等矩阵去左乘原来的矩阵。从这个观点来考察Gauss消去法，用矩阵乘法表示，即可得到求解线性方程组的另一种直接法：矩阵的三角分解。,矩阵分解：ALU,18,第一步为：,LU分解法,19,第k步为：,相当于左乘矩阵Lk,20,总体有：,易证：,21,其中L为单位下三角阵，U为上三角阵。,所以有：,22,注：分解理论由Gau

6、ss消去法得出，因此能够进行分解的条件与Gauss消去法结果一样。 *（实际使用时也需要选主元，即列主元素三角分解法）,由此，解线性方程组Ax=b等价于解两个三角形方程组：,关键在于能否对矩阵A直接进行LU分解,23,定理3.1： A的所有顺序主子式均不为零，则A存在唯一的分解式A=LU.,元素求解公式,定理3.2：对非奇异矩阵A，存在排列阵P，以及元素值全不大于1的单位下三角阵L和上三角阵U，使,24,25,元素求解公式,定理3.5：若线性代数方程组 的系数矩阵A对称正定，则用平方 根法进行求解是稳定的.（证明过程详见P172）,PS：平方根法约需 次乘法，大约为直接LU分解计算量的一半.,

7、26,三对角方程组的追赶法,27,如果A存在LU分解，则有：,其中,28,则：求解Ax=f,29,再由,解得,以上称为解三对角方程组的追赶法。,30,典型题目1、利用LU方法、平方根法或追赶法对矩阵进行求解； 2、判断LU分解是否存在且唯一.,例1：判断下述矩阵的LU分解是否存在？若存在，是否唯一？,已知,A有唯一的LU分解（LU存在且唯一）,可从这两方面对问题进行考虑,31,？,以从判断矩阵的顺序主子式为例,对于A1,所以不存在LU分解,对于A2,所以不存在LU分解,对于A2,所以存在唯一的LU分解,32,33,常用的几种范数：,向量的2-范数：,向量的1-范数：,向量的 -范数：,绝对值之

8、和,模,最大值,34,35,36,定义4.4： 算子范数：,且,常见的矩阵范数：,谱范数,列范数,行范数,F-范数,算子范数,37,38,定理4.4：设任意n阶矩阵F满足 ，则 非奇异，且：,定理4.5：,条件数（ 非奇异 ）：,矩阵条件数的性质：,为任意非0常数。,若 则,4）若A是正交矩阵，则A的谱条件数等于1（相应的谱范数也为1），为最小值.,39,典型题目1、范数的证明与判断(较难)，求常见范数(易)； 2、相关定理、定义证明(详见书本证明过程)； 3、基于定理、定义证明的变形证明题.,例1：设 为对称正定阵，定义,试证 为 上向量的一种范数.,证：,正定性：,(正定矩阵的定义).当 时, 等号,成立,齐次性：,40,41,即 对任意 t 成立.,二次曲线开口向上，与X轴有一个或没有交点.,则判别式,即,代入上面的表达式