文科数学1.1回归分析的基本思想及其初步应用.ppt

1、1.1回归分析的基本思想及其初步应用,必修3(第二章 统计)知识结构,收集数据 (随机抽样),整理、分析数据估计、推断,简单随机抽样,分层抽样,系统抽样,用样本估计总体,变量间的相关关系,用样本的频率分布估计总体分布,用样本数字特征估计总体数字特征,线性回归分析,1、两个变量的关系,不相关,相关关系,函数关系,线性相关,非线性相关,现实生活中两个变量间的关系有哪些呢？,相关关系：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。,思考：相关关系与函数关系有怎样的不同？,函数关系中的两个变量间是一种确定性关系 相关关系是一种非确定性关系,函数关系是一种理想的关系模

2、型 相关关系在现实生活中大量存在，是更一般的情况,2、最小二乘估计(使得样本数据的点到回归直线的距离的 平方和最小的方法叫最小二乘法),最小二乘估计下的线性回归方程：,回归直线必过样本点的中心,线性回归方程 中， 的意义是x每增加一个单位，y就平均增加 个单位,C,3、回归分析的基本步骤:,画散点图,求回归方程,预报、决策,这种方法称为回归分析.,回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计 分析的一种常用方法.,回归分析知识结构图,比数学3中“回归”增加的内容,数学统计 画散点图 了解最小二乘法的思想 求回归直线方程 ybxa 用回归直线方程解决应用问题,选修1-2统计案例 引入线性回归模型

3、了解模型中随机误差项e产生的原因 了解相关指数 R2 和模型拟合的效果之间的关系 了解残差图的作用 利用线性回归模型解决一类非线性回归问题 正确理解分析方法与结果,选修1-2统计案例 引入线性回归模型 了解模型中随机误差项e产生的原因 了解相关指数 R2 和模型拟合的效果之间的关系 了解残差图的作用 利用线性回归模型解决一类非线性回归问题 正确理解分析方法与结果,例题：某设备的使用年限和所支出的维修费用（万元） 如下表：,（1）求根据使用年限预报维修费用的回归方程， 并预报使用年限为10年时，维修费用的多少； （2）求残差、残差平方和，并进行残差分析； （3）求相关指数R，并说明回归模型拟合效

4、果的好坏.,解：（1）选取使用年限为自变量x，维修费用为因变量y，作散点图,（2）残差表如下,由残差表中的数据可看出第三和第五个样本点的残差比较大，需确认在采集这两个数据时是否有人为的错误，若有，需纠正数据重新建立回归模型；由表中数据可看出残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适.由以上分析可知，使用年限与维修费用成线性关系.,所以回归模型的拟合效果很好,探究：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？,答：用这个回归方程不能给出每个身高为 172cm的女大学生的体重的预测值，只能给出她们平均体重的估计值。,由于所有的样本点不共

5、线，而只是散布在某一直线的附近，所以身高和体重的关系可以用线性回归模型来表示：,其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差.,函数模型与“回归模型”的关系,函数模型：因变量y完全由自变量x确定 回归模型： 预报变量y完全由解释变量x和随机误差e确定,注：e 产生的主要原因： 1、忽略了其它因素的影响：影响身高 y 的因素 不只是体重 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素； 2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差； 3、身高 y 的观测误差。,思考:产生随机误差项e的原因是什么？,在线性回归模型中，e是用 预报真实值y的随机误差,它是一个不可观测的量，那么应如何研究随机误差呢？,

6、残差：一般地，对于样本点 它们的随机误差为 其估计值为 ， 称为相应于点 的残差,如何发现数据中的错误？如何衡量随机模型的拟合效果？,残差图的制作和作用： 制作： 坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择. 横轴为编号：可以考察残差与编号次序之间的关系， 常用于调查数据错误. 横轴为解释变量：可以考察残差与解释变量的关系， 常用于研究模型是否有改进的余地. 作用： 判断模型的适用性若模型选择得正确， 残差图中的点应该分布在以横轴为中心的带形区域.,下面表格列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。,身高与体重残差图,几点说明： 第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集

7、过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。,误差与残差，这两个概念在某程度上具有很大的相似性， 都是衡量不确定性的指标，可是两者又存在区别。 误差与测量有关，误差大小可以衡量测量的准确性，误差越大则表示测量越不准确。误差分为两类：系统误差与 随机误差。其中，系统误差与测量方案有关，通过改进测量方案可以避免系统误差。随机误差与观测者，测量工具，被观测物体的性质有关

8、，只能尽量减小，却不能避免。 残差与预测有关，残差大小可以衡量预测的准确性。残差越大表示预测越不准确。残差与数据本身的分布特性，回归方程的选择有关。,显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好,在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率,我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是:,注：相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标， 在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力.,R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1， 表示解释变量和预报变量的线性相关性越强）,如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行 回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择， 即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。,下面我们用相关指数分析一下例1：,预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即,结合例1思考：用回归方程预报体重时应注意什么？,1.回归方程只适用于我们所研究的样本的总体； 2.我们建立的回归