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文档简介

1、,4.2 方差,一、方差的概念 引例： 现有甲、乙两位射手，甲射手射击中命中的环数 用X表示，乙射手射击中命中的环数用Y表示，甲、乙两射 手射击中命中的环数分布分别为： 现在问甲、乙两位射手谁的射击水平谁更稳定些？ 易知，甲、乙两位射手每次射击命中的平均环数分别为 ， ,可见，甲、乙两位射手每次射击命中的平均环数相等，这 表明这两位射手的射击水平相当但是，谁的射击水平谁更稳 定呢？通常的想法是，看谁命中的环数 与其平均环数 的 偏差绝对值 的平均值最小,即 最小. 愈小，X的值就愈集中于 附近，表明此射手发挥愈稳定; 愈大，X的值在 附近就愈分散，表明此射手发挥 愈不稳定然而在实际中 带有绝对

2、值，在数学运算 上不方便，因而，通常用 来表达随机变量X取值的 分散程度或集中程度 据此分析，我们可以算得 ， 由于 ,因此,我们认为乙的射击水平更 稳定一些,可以看出， 是用来描述随机变量X与其平均值 偏 离程度的一种量，为此我们给出如下定义 定义4.3 设X是一个随机变量，若 存在，则称 为X的方差（Variance），记为 或 ，即 ， （412） 而称 为X的标准差（Standard Deviation）或均方差,记为 ,即 ，它与X有相同的量纲 随机变量X的方差 刻画的是X的取值关于其数学期望 的分散或集中程度， 愈小，X的取值关于 愈集中； 愈大，X的取值关于 愈分散 由定义可知，

3、随机变量X的方差是其函数 的数学 期望，因此，从计算上讲，方差与数学期望没有质的区别，通 常用下列公式计算方差： （413） 这是因为 ，所以,二、离散型随机变量的方差 设X为离散型随机变量，其分布列为 若 存在，且 收敛，则 （414） 或 （415）,三、连续型随机变量的方差 设X为连续型随机变量，其概率密度函数为 ， 存在, 若 收敛，则 （416） 或 （417） 四、方差的性质 设X是一个随机变量,c为常数，则有 性质1. ； 性质2. ；,性质3. 若 相互独立，则 ;特别地 证明1. ； 2. ； 3. 因为 相互独立，所以 与 也相互独立,于是 （418） 因此 ,此性质可以推

4、广到n维随机变量的情形. 设 相互 独立， 是常数，则 （419） 性质4. 的充分必要条件是X以概率1取常数 即 （证略） 五、几类重要随机变量的数学期望和方差 1.( 0 1 )分布 设X的分布列为 由例4.8知： ， ,2. 二项分布 设 ,由二项分布的定义,X是n重贝努里试验中事件 A发生的次数,且在每次试验中A发生的概率为p,引入随机变量 则 相互独立，且均服从分布列 显然 ，又 ， 因此 = = = ； 利用定义也可以直接求得二项分布的数学期望和方差，但 过程较繁琐，有兴趣的读者不妨一试,3 . 泊松分布 设 ,由于 ,因此， ； ， . 4. 均匀分布 设 ，则其概率密度函数 根据定义，, 5

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