第六章广义逆矩阵

1、.第六章 广义逆广义逆矩阵的概念是方阵逆矩阵概念的推广，广义逆矩阵的基本知识是矩阵理论的重要组成部分，其在数理统计、数值分析、博弈论、控制论、计量经济、电网理论等中有重要的应用。本章首先给出各种广义逆矩阵的概念，重点介绍矩阵-逆及矩阵moore-penrose逆的性质、计算方法及这两种广义逆矩阵在线性方程组求解中的应用，最后给出方阵的群逆与drazin逆的基本性质。6.1 广义逆矩阵的概述 广义逆矩阵的概念渊源于线性方程组的求解问题。设为复维向量空间，为复矩阵全体。设矩阵，考虑线性方程组 （6-1）其中，为给定的维向量，为待定的维向量。定义1 若存在向量满足线性方程组（6-1），则称线性方程组

2、（6-1）是相容的；否则称线性方程组（6-1）是不相容的。众所周知，当为可逆矩阵时，线性方程组（6-1）有唯一解，其中是的逆矩阵。当为不可逆矩阵或长方矩阵时，相容线性方程组（6-1）有无数解；不相容线性方程组（6-1）无解，但它有最小二乘解，即求，使得 （6-2）成立，其中代表任意一种向量范数，。上述两种情况的解是否也能表示成一种紧凑的形式，其中，是某个矩阵？ 这个矩阵是通常逆矩阵的推广。1920年，e.h. moore 首先提出广义逆矩阵的概念，由于moore的方程过于抽象，并未引起人们的重视。1955年，r. penrose 给出如下比较直观和实用的广义逆矩阵的概念。定义2 设矩阵，若存在

3、矩阵满足下列penrose方程（1）；精品.（2）；（3）；（4）则称为的moore-penrose 逆，记为。例1 由moore-penrose逆的定义不难验证（1） 若，则；（2） 若，则，其中；（3） 若，其中是可逆矩阵，则；（4） 若是可逆矩阵，则。定理1 对于任意矩阵，其moore-penrose逆存在并且唯一。证明 存在性。设矩阵有奇异值分解，其中，为酉矩阵，的正奇异值为，。容易验证满足定义2中的四个penrose方程，所以，总是存在的。唯一性。设均满足定义2中的四个penrose方程，则所以是唯一的。更一般的，为了不同的目的，人们定义了满足penrose方程中任意若干个方精品.程

4、的广义逆。定义3 设矩阵，若矩阵满足penrose方程中的（），（），（）等方程，则称为的-逆，记为。由定义3与定义1可知，。因为对于任意都有为的-逆，所以利用定理1可知总是存在的。但是除了是唯一确定的之外，其余各种-逆矩阵都不是唯一确定的，因此将的-逆全体记为。如果按照满足penrose方程个数进行分类，-逆矩阵共有种。但应用较多的是以下5种：，其中，最为基本，最为重要。称为自反广义逆，称为最小二乘广义逆，为极小范数广义逆。例2 设矩阵，其中为可逆矩阵，且，则容易验证。例3 设矩阵。（1）若，此时为可逆矩阵，容易验证;（2）若，此时为可逆矩阵，容易验证。除了以上广义逆矩阵之外，还有群逆、dr

5、azin逆等另外一些广义逆矩阵。1967年，erdelyi给出如下群逆的概念。定义4 设矩阵，若矩阵满足（1）；精品.（2）；（3）；则称为的群逆，记为。从定义4可以看出，群逆是一个特殊的，虽然总是存在的，但是这种群逆未必存在。为了介绍drazin逆的定义，下面先给出方阵指标的概念。定义5 设矩阵，称满足的最小非负整数为的指标，记作。若矩阵是非奇异的，则，若矩阵是奇异的，则。1958年，drazin给出如下drazin逆的概念。定义6 设矩阵，其指标为，若存在矩阵满足（1）；（2）；（3）；则称为的drazin逆，记作。易见，若矩阵的指标为，则的drazin逆就是群逆。6.2 -逆的性质与计算

6、由于-逆是最基本、最重要的一种广义逆，本节将给出-逆的基本性质与计算方法。6.2.1 -逆的存在性定理1设矩阵，其秩为。若矩阵的等价标准形为，其中分别为阶和阶可逆矩阵，则矩阵的所有-逆的集合为。证明 设矩阵为的任意一个-逆，则其满足精品.。于是，。因为分别为阶和阶可逆矩阵，上式等价于。令，则由上式可以推出，而是任意的，故，即。因此，此定理结论成立。由此定理的证明过程可知矩阵的-逆一定存在，但由于的任意性得矩阵的-逆不唯一。6.2.2 -逆的基本性质关于-逆的基本性质，有如下定理。定理2 设矩阵，则（1）；（2）若矩阵，则，并且的-逆是唯一的；（3），其中；（4）设分别为阶和阶可逆矩阵，则；（5

7、）；精品.（6）与都是幂等矩阵，且。证明 利用6.1节定义3，可以直接验证此定理的（1）-（4）成立。（5） 由于，所以结论成立。（6） 由于，所以，与都是幂等矩阵。又由于，所以，同理，因此，结论成立。6.2.3 -逆的计算定理1给出利用等价标准形求-逆的方法。例1 已知矩阵，求，并具体给出一个。解答 由于精品.，现令，所以矩阵的等价标准形为，利用定理1可得；令均为零矩阵时，得到一个最简单的-逆如下：。6.3 moore-penrose广义逆的性质与计算由于moore-penrose广义逆在研究线性方程组解的表达式问题中起着重要作用，因此本节将介绍moore-penrose广义逆的基本性质与计

8、算方法。6.3.1 moore-penrose广义逆的计算利用6.1节定理1可知，moore-penrose广义逆总是存在的，并且给出了利用奇异值分解计算moore-penrose广义逆的方法。下面给出利用满秩分解计算moore-penrose广义逆的方法。定理1设矩阵，其满秩分解为精品.，其中为列满秩矩阵，为行满秩矩阵，则。证明 因为，所以与皆为可逆矩阵。令，不难验证满足penrose的四个方程，所以。推论1 设矩阵，则（1）若，则；（2）若，则；（3）若有满秩分解，其中为列满秩矩阵，为行满秩矩阵，则。例1 已知矩阵，利用矩阵奇异值分解求矩阵的moore-penrose逆。解答 由于，所以的

9、特征值为，因此，的正奇异值为，。特征值、对应的单位特征向量分别为，所以。令精品.，则令，则的奇异值分解为，于是。例2 设矩阵，利用满秩分解求矩阵的moore-penrose逆。解答 因为矩阵的满秩分解为 ，并且，于是精品.，故。6.3.2 moore-penrose广义逆的基本性质利用6.1节定理1可知，moore-penrose广义逆是唯一的，因此，它具有与通常逆矩阵相似的性质。下面给出moore-penrose广义逆的一些基本性质，其证明可以利用moore-penrose广义逆的定义或定理1直接推出。定理2 设矩阵，则（1）；（2），；（3），其中，；（4）；（5）；（6），；（7）若，均

10、为酉矩阵，则精品.；（8）若，则，若，则；尽管与有一些相近的性质，但它毕竟是广义逆矩阵，因此逆矩阵的一些性质对并不成立。例3 举例说明对moore-penrose广义逆矩阵，下列结论未必正确。（1）；（2），其中为正整数；（3）若为可逆矩阵，。解答 （1）设，则，因此。因为，所以利用推论1的（1）可知；因为，所以利用推论1的（2）可知；于是，可见。（2）取，其满秩分解为，其中，。利用推论1可得，于是，由推论1的（3）可得精品.，因此，而，由此可见。（3）取，。由于，所以。于是，利用推论1的（2）可得，而，于是，由此可见。6.4 广义逆矩阵与线性方程组广义逆矩阵与线性方程组有着极为密切的关系。本

11、节将分别介绍-逆及moore-penrose逆在线性方程组求解问题中的应用。6.4.1 -逆在线性方程组求解问题中的应用定理1 线性方程组（6-1）相容的充分必要条件是；且在线性方程组相容的情况下，其通解为 ， （6-3）其中为任意向量。精品.证明 必要性。设线性方程组（6-1）有解，且为其解，则。充分性。令，则满足等式（6-1），因此线性方程组（6-1）相容。下面首先证明在线性方程组（6-1）相容的情况下，等式（6-3）是其解。由于线性方程组（6-1）是相容的，所以存在使得。于是其次证明，对于线性方程组（6-1）的任意一解，都存在，使得解表示成（6-3）的形式。现取，则所以此定理的结论成立。

12、例1 利用矩阵-逆判断线性方程组是否相容，如果相容，求其通解，其中，。解答 由于精品.现令，则系数矩阵的等价标准形为，由6.3节定理1得系数矩阵的一个-逆为，容易验证等式成立，所以利用定理1可知此线性方程组是相容的；并且其通解为，其中为任意常数。6.4.2 moore-penrose逆在线性方程组求解问题中的应用利用-逆可以解决判定线性方程组（6-1）是否相容及在线性方程组相容情况下给出通解的问题。由于精品.moore-penrose逆是一种特殊的-逆，所以相应可得下述定理。定理2 线性方程组（6-1）相容的充分必要条件是；且在线性方程组相容的情况下，其通解为 ， （6-4）其中为任意向量。由

13、等式（6-4）可知，如果线性方程组（6-1）相容，则当且仅当，即时，其解是唯一的。在实际问题中，常需要求出线性方程组的无穷多个解中范数最小的解，即给出如下定义。定义1 设线性方程组（6-1）有无穷多个解，则称无穷多个解中范数最小的解，即为线性方程组（6-1）的极小范数解（本节所涉及的范数均指2-范数）。定理3 相容线性方程组（6-1）的唯一极小范数解为。证明 对于等式（6-4）给出的线性方程组（6-1）的通解，有由此可见，即是相容线性方程组（6-1）的极小范数解；唯一性。设是相容线性方程组（6-1）的极小范数解，则，且存在精品.，使得，与前面推导过程类似，有，从而可得，即，从而。当线性方程组无

14、解时，通常希望求出它的最小二乘解（见等式（6-2）。利用moore-penrose逆可以解决这一问题。定理4 不相容线性方程组（6-1）的全部最小二乘解为 （6-5）其中为任意向量。证明 由等式（6-5）可求得。对任意的，有 ，于是精品.由此说明等式（6-5）给出的都是的最小二乘解。又设是的任一最小二乘解，则有从而，即。可见是线性方程组的解。由于，利用定理2可知，线性方程组相容，且通解为其中为任意向量。故其中为任意向量。可见等式（6-5）给出了的全部最小二乘解。由定理4的证明过程可得如下结论。推论1 是不相容线性方程组（6-1）的最小二乘解的充分必要条件是是线性方程组的解。推论2 是不相容线性

15、方程组（6-1）的最小二乘解的充分必要条件是是线性方程组的解。证明 若是的最小二乘解，利用推论1可知，是的解，于是，即是线性方程组的解。反之，若是线性方程组的解，则有可见是线性方程组的解，从而是的最小二乘解。由定理4可见，不相容线性方程组的最小二乘解一般不是唯一的。定义2 设矩阵，为不相容线性方程组的最小二乘解，如果对精品.的任意一个最小二乘解均有，则称为的极小范数最小二乘解。定理5 不相容线性方程组（6-1）的唯一极小范数最小二乘解为。证明 由推论1可知，的极小范数最小二乘解就是的唯一极小范数解，利用定理3可得。综上所述，可以得到利用moore-penrose逆求解线性方程组的如下结论：（1

16、）相容的充分必要条件是；（2） 设为任意向量，是相容线性方程组的通解，或是不相容线性方程组的全部最小二乘解；（3）是相容线性方程组的唯一极小范数解，或是不相容线性方程组的唯一极小范数最小二乘解。例2 利用moore-penrose逆方法判断线性方程组是否相容？如果相容，求通解及极小范数解；如果不相容，求全部最小二乘解的通式和极小范数最小二乘解。解答 设，于是线性方程组为。矩阵的满秩分解为其中，。于是精品.。因为，所以线性方程组是不相容的。于是，最小二乘解的通式为其中为任意的。极小范数最小二乘解为。6.5 方阵的谱广义逆前面介绍的-逆与moore-penrose逆保留了非奇异矩阵之逆矩阵的若干性

17、质，它们在表示线性方程组解的结构时起着逆矩阵的作用。但这两种广义逆不具备逆矩阵的另外一些性质，例如逆矩阵的某些谱性质。本节讨论具有一般非奇异矩阵之逆矩阵的某些谱性质的群逆和drazin逆。6.5.1 群逆定理1 设矩阵，则存在的充分必要条件是，即；若存在，则是唯一的。证明 若为零矩阵，则命题显然成立，以下假定不可逆且为非零矩阵。充分性。由的若当标准形分解为精品.，因为，所以，。故的零特征值对应的若当块都是1阶的，故存在可逆阵使得，不难验证。必要性。设存在，则，故所以，即。下面证明唯一性。设为的群逆，则故是唯一的。推论1 设矩阵，则存在的充分必要条件是存在可逆矩阵，使得；此时。证明 由定理1的证

18、明易得。定理2 设矩阵，其满秩分解为，其中，则存在的充分必要条件是是非奇异矩阵；若存在，则。精品.证明 由于，其中，且，于是；因此，的充分必要条件是是非奇异矩阵；利用6.1节的定义4，可直接验证。群逆的一些基本性质罗列如下（证明留给读者）。定理3设，且，则（1）；（2）;（3）为任意正整数。6.5.2 drazin逆下面定理指出，矩阵的drazin逆是唯一存在的，并且它可以表示为矩阵的多项式。定理4 设矩阵，且的最小多项式为其中，为常数，为多项式，则有唯一的drazin逆，它可以表示为关于的多项式。证明 唯一性。设与为的两个drazin逆。令，则与皆为幂等矩阵。此时，。因此，又由于，所以。存在性。由可得，精品.。令，显然其满足，并且，因此，利用6.1节定义5，为的drazin逆，即。drazin逆有如下简单的若当标准形表示。定理5 设矩阵，其若当标准形分解为，其中分别对应特征值为零与特征值非零的若当子块，为可逆矩阵。则。 证明 利用6.1节定义5容易验证此定理结论成立。drazin逆的一些基本性质罗列如下（证明留给读者）。定理6 设矩阵，且，则（1）;（2）为任意正整数。（3）当，则且；（4），且。例1 利用若当标准形分解求矩阵的drazin逆，其中。解答 矩阵的若当标准形为精品.于是，利用定理5，。习 题 六1. 设矩阵，