02数列的极限.ppt

1、一、数列极限的定义,二、收敛数列的性质,1.2 数列的极限,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、数列极限的定义,引例,如可用渐近的方法求圆的面积S？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.,下页,A1,A2,A3,A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积, , .,显然n越大, An越接近于S.,因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势.,数列,如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为xn, 其中第n项xn叫

2、做数列的一般项.,下页,数列举例:,2, 4, 8, , 2n , ;,1, -1, 1, , (-1)n+1, .,数列xn可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x1, x2, x3, , xn , .,数列的几何意义,数列,如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为xn, 其中第n项xn叫做数列的一般项.,下页,数列xn可以看作自变量为正整数n的函数: xn=f(n), nN .,数列与函数,数列,如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1,

3、 x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为xn, 其中第n项xn叫做数列的一般项.,下页,例如,当n无限增大时, 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a, 则常数a称为数列xn的极限, 或称数列xn收敛a, 记为,下页,数列极限的通俗定义,当n无限增大时, xn无限接近于a . 当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.,分析,因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, xn无限

4、接近于常数a.,当n无限增大时, 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a, 则数列xn收敛a.,下页,数列极限的精确定义,设xn为一数列 如果存在常数a 对于任意给定的正数e 总存在正整数N 使得当nN 时 不等式 |xna |e 都成立 则称常数a是数列xn的极限 或者称数列xn收敛于a 记为,如果不存在这样的常数a 就说数列xn没有极限,下页, 0, NN 当nN时 有|xna| .,极限定义的简记形式,数列极限的几何意义, 0, NN 当nN时 有|xna| .,下页,存在 NN 当nN时 点xn一般落在邻域(a-e, a+e)外:,当nN时 点xn全都落在邻域(a-e, a+e)内:

5、,任意给定a的e邻域(a-e, a+e),分析:,例1,证明,下页, 0, NN 当nN时 有|xna| .,例2,分析:,证明,下页, 0, NN 当nN时 有|xna| .,分析:,例3 设|q|1, 证明等比数列 1, q , q2, , qn-1, 的极限是0.,对于 0, 要使 |xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1log|q|e +1就可以了.,|qn-1-0|=|q|n-1e ,当nN时, 有,因为 0,证明,下页,N= log|q|e +1N, 0, NN 当nN时 有|xna| .,对于某一正数e 0 如果存在正整数N 使得当nN时 有|xna|e 0 是否有xna (

6、n),讨论,首页, 0, NN 当nN时 有|xna| .,二、收敛数列的性质,定理1(极限的唯一性) 如果数列xn收敛 那么它的极限唯一,使当nN时, 同时有,因此同时有,这是不可能的. 所以只能有a=b.,证明,下页,注: 如果M0, 使对nN 有|xn|M, 则称数列xn是有界的; 如果这样的正数M不存在, 就说数列xn是无界的,下页,二、收敛数列的性质,定理1(极限的唯一性) 如果数列xn收敛 那么它的极限唯一,定理2(收敛数列的有界性),如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界,设数列xn收敛于a 根据数列极限的定义 e =1, NN+, 当nN 时, 有 |xn-a|N时 |xn|=

7、|(xn -a)+a| | xn-a|+|a|1+|a| 取M=max|x1| |x2| |xN | 1+|a| 那么N+, 有|xn|M 这就证明了数列xn是有界的,证明,定理2(收敛数列的有界性),如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界,1 如果数列xn收敛, 那么数列xn一定有界 发散的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛?,2 数列1, 1, 1, 1, , (1)N1, 的有界性与收敛如何？,讨论,下页,二、收敛数列的性质,定理1(极限的唯一性) 如果数列xn收敛 那么它的极限唯一,定理2(收敛数列的有界性),如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界,下页,二、收敛数列的性质,定理1

8、(极限的唯一性) 如果数列xn收敛 那么它的极限唯一,定理2(收敛数列的有界性),如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界,定理3(收敛数列的保号性) 如果数列xn收敛于a, 且a0(或a0) 那么存在正整数N 当nN时 有xn0(或xn0),返回,定理3(收敛数列的保号性) 如果数列xn收敛于a, 且a0(或a0) 那么存在正整数N 当nN时 有xn0(或xn0),就a0的情形证明,从而,证明,下页,二、收敛数列的性质,定理1(极限的唯一性) 如果数列xn收敛 那么它的极限唯一,定理2(收敛数列的有界性),如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界,定理3(收敛数列的保号性) 如果数列xn收敛于a

9、, 且a0(或a0) 那么存在正整数N 当nN时 有xn0(或xn0),推论 如果数列xn从某项起有xn0(或xn0) 且数列xn收敛于a 那么a0(或a0),返回,设数列xn从N1项起 即当nN1时有xn0 现在用反证法证明 若a0 则由定理3知 N2N, 当nN2时 有xn0 取NmaxN1 N2 当nN时 按假定有xn0 按定理3有xn0 这引起矛盾 所以必有a0,推论 如果数列xn从某项起有xn0(或xn0) 且数列xn收敛于a 那么a0(或a0) ,证明,就xn0情形证明,注: 在数列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序 这样得到的一个数列称为原数列xn的子数列.,定理4(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列xn收敛于a那么它的任一子数列也收敛 且极限也是a,下页,例如 数列xn 1 1 1 1 (1)n1 的一个子数列为x2n 1 1 1 (1)2n1 ,返回,定理3(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列xn收敛于a那么它的任一子数列也收敛 且极限也是a,证明,因为数列xn收敛于a, 所以e 0, NN+, 当nN时, 有|xna|e .,取KN, 则当kK时, nkkK=N.,1 数