高中数学总复习教案10G：空间向量及运算、用空间向量解决线面位置关系

1、膈弘宇教育个性化辅导授课罿教师：学生时间 ： 2014月日段第 次课羂 10.7空间向量及运算、用空间向量解决线面位置关系袅课题莇蕿考点分析蚄重点难点肂羀授课内容：聿蒃新课标要求膂经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 了解空间向量的概念； 掌握空间向量的加、 减、数乘、及数量积的运算；了解空间向量共面概念及条件；理解空间向量的基本定理。掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，掌握空间向量线性运算、数量积及其坐标表示；能运用向量数量积判断向量的共线与垂直；能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直与平行关系莁重点难点聚焦薆重点： 掌握空间向量的加、减、数乘、及数量积的运算；理解空间向量的基本定理；掌

2、握空间向量的坐标运算。蒆难点：灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题节薇高考分析及预策芈向量由于具有几何形式和代数形式的“双重身份” ，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介。空间向量是处理空间问题的重要方法，通过将空间元素间的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，化复杂为简单，是一种重要的解决问题的手段和方法。芄在空间向量部分的基本要求是根据题目特点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，通过向量计算解决问题，即求有向线段的长度，求两条有向线段的夹角（或其余弦） ，证明直线和直线垂直等。莂 预测今年的立体几何大题是：一题

3、多问 ( 证明位置关系、求角与距离或体积 ) 、一题多解 ( 可用空间向量做，也可不用空间向量做 ) ，一般情况下，应优先考虑用空间向量的方法。利用空间向量解决立体几何问题，主要有两种策略，一是建立空间直角坐标系，通过向量的坐标运算解决问题；二是不建立坐标系，直接利用空间向量的基本定理，即将有关向量用空间的一组基底表示出来，然后通过向量的有关运算求解。羈题组设计蚆再现型题组羃uuur莂 1. abc的边 ab上的中点，则向量 cd（）aa.uuur1uuuruuur1uuurd荿bc2bab. bc2bacuuur1 uuuruuur 1 uuurbd.蒈 c. bcbabcba22肆 2.

4、若 a=（2x，1，3）， b=（1， 2y，9），如果 a 与 b 为共线向量，则a .x， y=1 b.x=1y 1c.x=1，y 3d.x 1，y=3蒁=12， =26=2=62螀 3. (2007 四川文 ) 如图， abcd-a1b1c1 d1 为正方体，下面结论错误 的是袆 (a） bd平面 cb1d1螅 (b) ac1bd薁 (c) ac1平面 cb1d1膁 (d) 异面直线 ad与 cb所成的角为 60 abac且abac 1, 则 abc为( )薈4. 已知非零向量 ab与 ac满足 ( + ) bc=0 = 2|ab|ac|ab|ac|薄 a. 三边均不相等的三角形b. 直

5、角三角形蚁 c.等腰非等边三角形d.等边三角形芈巩固型题组肆 5.如果平面和这个平面外的一条直线l 同时垂直于直线m， 求 证： l.莃螁虿 6. 如图， m, n 是平面内的两条相交直线。如果lm, ln,求证： l。膅羁螈蒀袁 g肀羇袃羁袁莅 7. 如下图，直棱柱 abc a1 b1c1 的底面 abc中， ca=cb=1， bca=90，棱 aa1 =2，m、n 分别是 a1b1、 a1a 的中点 .葿 （1）求 bn的长；b衿 （2）求异面直线 ba 与 1 cb1 的余弦值；蒄 （3）求证： a1bc1m.芀袀芇芃莀芁罿芆蒀莈 8 如图，在四棱锥 p abcd 中，底面 abcd是正

6、方形，侧棱 pd底面 abcd，蒇pd dc ， e 是 pc的中点，作 efpb 交 pb于点 f.（1）证明 pa 平面 edb ；肅薀蝿（2）证明 pb平面 efd；膈（3）求二面角 c - pb - d 的大小袄袄腿提高型题组蚆 9. 如右图，在四边形 abcd中，| ab | bd | dc |4 ，蚅 | ab | | bd | bd | | dc |4 ， ab bdbddc0 ，肄 则 ( abdc)ac 的值为（）羁a 、2b、 2 2c、 4d、 4 2螆 10. 如图，正三棱柱 abca1b1c1 的所有棱长都为 2 ， d 为 cc1 中点莄 a薈（）求证： ab1 平

7、面 a1 bd ；羆a1蕿 c膃膈 d（）求二面角 a a1 db 的大小膆c1膄b芃 b1芃羀课堂小结蚈 运用向量基本定理或建立空间坐标系坐标法求解，立体几何中的平行与垂直的问题, 利用向量解决 ,书写较长 , 但思维力度不大，充分显示出代数化方法研究几何图形的优越性 . 两个向量共线、垂直的充要条件，直线方向向量与平面的法向量，考题形式往往是客观题，而通过坐标法计算数量积去证平行、垂直，求夹角、距离，往往是高考的解答题。羅 一般情况下求法向量用待定系数法. 由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把 n 的某个坐标设为1，再求另两个坐标 . 平面法向量是垂直于平面的向量，故

8、法向量的相反向量也是法向量莃反馈型题组莁 11.若 l的方向向量为（ 2， 1， m），平面的法向量为（ 1，1/2 ，2），若 l ，则 m=膆 12. 已知向量 a=（1，1，0）， b=（ 1，0，2），且 kab 与 2a b 互相垂直，则 k 值是螄 a.1b.1c. 3d. 7555uuuruuur蒃 13. 已知点 a（1，2，1）、 b（ 1，3， 4）、d（1，1，1），若 ap2pb ，蒈 则| pd | 的值是 _.袇 14. 如果四面体的两组对棱互相垂直，求证第三组对棱也互相垂直蒃薃 15. 已知 ab =（2，2，1）， ac =（4，5，3），求平面 abc的单位法

9、向量 .袈 16. 如下图，在正方体 abcda1b1c1d1 中， e、f 分别是 bb1 、cd的中点 .d1c1a 1b1edfc芅 ab薅 （1）证明 add1f；蚃 （2）求 ae与 d1f 所成的角；艿 （3）证明面 aed面 a1d1f.肇 10.7空间向量及运算、用空间向量解决线面位置关系芄再现型题组螃 【 提示或答案 】a.蚀【基础知识聚焦 】考查相反向量概念与向量运算蒅 【提示或答案 】 c肃【基础知识聚焦 】考查用坐标表示共线向量的条件.袃 3. 【提示或答案 】d肁【基础知识聚焦 】空间坐标系的建立，用向量处理平行、垂直与夹角问题.膇 4. 【提示或答案 】d肆【基础知

10、识聚焦 】考查单位向量以及向量的加法、数量积运算.袂巩固型题组膈 5. 【证法一】：设 m=a,过 a 和直线 l 作平面，罿 设=a , m, m a肂 l 和 a 的位置关系有相交和平行两种情况，羀 若 l和 a 相交， ma， ml ，则 m 聿又 m, 且 和 同过点 a，蒃 和 重合 l， l， 与已知 l矛盾膂 la， 又 l， a， l莁注：由 m a，m l ，不能直接推出 l a，尽管 l 和 a 同在平面内，但 m不一定在内“两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行” ，此结论只有当这三条直线都在同一平面内时才成立芈【证法二】：在直线 l 上任取一点 p，过 p 作直

11、线 n m芄 m,m l , n, n l 莂过 l 和 n 作平面 ，设= a ，羈 n, n a, 又 nl , 且 l 、a、n都在平面 内蚆 la又 l,a, l,羃注：此证法中，先将直线m平移到与直线 l 相交，然后再过两条相交直线作平面，这样所得交线 a、直线 l 以及直线 n 都在同一平面内，且 l 和 a 都与直线 n 垂直，便可得 l a将两条异面直线中的一条平移，得到两条相交直线，是对异面直线的常见处理方式，请同学们结合此例仔细体会证法二的妙处莂 【证法三】：设 a，b 是平面 内的一组基底， l 、m分别是 l 、 m上的一个非零向量，荿 m， m a=mb=0，又 m

12、l ， m l =0 蒈 以 a、 b、m为空间基底，则存在实数x，y，z，使得 l=xayb z m+肆 m l =m ( xa +y b+zm)= xm a+ym b+z m2 =0+0+ zm2 =0蒁 m20，=0， 则=+，与 、 共面zybla bl xa螀 又已知直线 l不在平面内， l袆【点评】灵活选择运用向量方法与综合方法， 从不同角度解决线面平行、 垂直问题。要证明线面平行，只要证明直线与平面的法向量垂直，即证两个向量数量积为零。螅【变式与拓展】如图 , 在平行六面体 abcda1 b1c1 d1 中, o 是 b1d1 的中点 .薁芈 d 1蚁 c1螈求证 : b1c 面

13、 odc 1 .虿 o莆肆 a1莃 b1袁螁 d薄 c膁 a薈 b肀芅膅羁分析 : 要证明 b1c 面 odc 1 , 只需证明 b c 面 odc 1 , 进一步只需证明 b c 与面 odc1 中的一组基向11量共面 .证明 : 设c1 b1,c, 因为b1bcc 1为平行四边形,蒀羇袃b1c c a , 又 o是 b1d1 的中点 ,羁co 1(ab),odc dco 1(b a)1111122袁d1 d cc1 , d1 d cc1 , d1 d c1c,莅od od1d1d1 (b),2ac羆若存在实数 x, y, 使 b1 cxod yoc1 (x, y r) 成立 , 则1y11

14、1肁 c a x (b a) c( a b)( x y) a( x y)b xc22221 ( xy)12x11( xy)肈因为 a, b, c 不共线 ,0 ,.2y1x1膇b1cod0c1 , 所以 b1c, od, oc1 是共面向量 ,蚅 因为 b1 c 不在 od,oc1 所确定的平面内 ,膀b1c 面 odc 1 , 又 b1c面 odc 1 ,葿 b1c 面 odc 1 .衿 6 证明：在内作任一直线 g ，分别在 l , m, n, g 上取非零向量 l ,m,n, g 。蒄因为 m与 n 相交，所以向量 m, n 不平行。由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对（x,y

15、）,使 gxmyn莀芇袀 g罿 将上式两边与向量 l 作数量积，得芆l g xl m yl n ，蒀 因为l m0, l n0莈 所以lg0所以 lg即lg 。这就证明了直线l 垂直于平面内的任意一条直线，所以l.蒇【点评】本题是课本唯一用向量法证明线面平行、垂直定理的题目。本题用综合法构造三角形全等和线段中垂线性质证很麻烦，充分显示了向量解决垂直运算的优越性.肅 7.【解法】： ac bc,cc1面 abc，薀 可以建立如图所示的坐标系zc1b 1a1nm蝿（ 1）依题意得 b（0， 1 ， 0），n（1，0，1）， x膈 bn = (1 0) 2( 0 1) 2(1 0) 2 = 3 .c

16、bya袄 （2）a1（ 1， 0，2），b（0，1，0）， c（ 0， 0， 0），b1（0，1，2），袄 ba1 =(1,-1,2)， cb1 =（0，1，2）， ba1 cb1 =3， ba1 =6 ， cb1 =5 .ba1 cb1=30.腿cos ba1 ， cb1 =10| ba1 | cb1 |30蚆 所以，异面直线 ba 与 1cb1 的余弦值为1011袆 （3）证明： c1（0，0，2），m（，2），11羄 a1 b =(-1,1,-2)， c1 m =（， 0）， a1 b c1 m =0， a1bc1m.薀【点评】底面有直角的直棱柱适合建立坐标系的条件，可以用两点间的距离公

17、式， 数量积的夹角公式，用坐标法求点点距、向量夹角。特别注意异面直线角的范围(0, 而向量角的范围为 0, 。2莈 【变式与拓展】在三棱锥sabc中， sab= sac=acb=90， ac=2，bc= 13 ， sb=29 .莄 （1）求证： sc bc；膄 （2）求 sc与 ab所成角的余弦值 .膈薈膃【解法一】：如下图，取 a 为原点， ab、as分别为 y、z 轴建立空间直角坐标系，则有ac=2，bc= 13 ，sb 29，得 b（ ，17 ， ）、 s（ ， ，3 ）、c（213， 4， ）， sc=（213，4 ，23），=000 0 2171701717cb =（ 213 ， 1

18、3 ， 0） .1717zsaby芃xc蕿 （1） sc cb =0， scbc.羆 （2）设 sc与 ab所成的角为 ， ab =（0，17 ，0）， sc ab =4， | sc |ab |=417 ， cos=17 ，即为所求 .17膆【解法二】：（1）sa面 abc，acbc，ac是斜线 sc在平面 abc内的射影， scbc.芃 （2）如下图，过点c 作 cd ab，过点 a 作 ad bc交 cd于点 d，连结 sd、sc，则 scd为异面直线 sc与 ab所成的角 . 四边形 abcd是平行四边形， cd= 17 ，sa=23 ， sd= sa2ad2= 12，13 =5在 sd

19、c中，由余弦定理得cosscd=1717，即为所求 .膆螄蒃蒈袇 8. 【解法】：如图所示建立空间直角坐标系，d 为坐标原点 . 设 dca.zpfedcygabx蒃薃 证明：连结 ac，ac交 bd于 g.连结 eg.袈依题意得 a(a,0,0),p(0,0, a), e(0,a,a)22芅q 底面 abcd是正方形，g 是此正方形的中心，故点 g的坐标为 (a,a,0)uuuruuura ).薅22且 pa ( a,0,a), eg ( a ,0,22uuuruuur蚃 pa 2eg . 这表明 paeg .艿而 eg平面 edb且 pa平面 edb，pa平面 edb。uuur(a, a,

20、uuur(0, a , a),肇 证明：依题意得 b( a, a,0), pba) 。又 de2222芄 故 pb de0aa022螃pb de ,由已知 efpb ，且 ef i dee, 所以 pb平面 efd.uuuruuura)(a, a,a)蚀(3) 解：设点 f 的坐标为 ( x0 , y0 , z0 ), pfpb, 则 (x0 , y0 , z0蒅从而 x0a, y0a, z0(1) a. 所以 feuuur(x0 , ay0, az0 )(a,( 1) a,(1) a).2222肃由条件 efpb 知，pepb0 即a2(1)a2(1)a20,解得1322袃aa2auuur(

21、a,aauuur(aa2a点 f 的坐标为 ( ,),且 fe3,6), fd,3).333633肁pb fda 2a 22a 20 , 即 pbfd ，333膇故efd 是二面角 cpbd 的平面角 . pe fda 2a 2a 2a2肆且91896a2a2a26a2a24a26袂 pe36366a, fd99a993uuur uuura21膈cosefdfe.fd6efd,uuuruuur.| fe | fd |6 a.236 a63罿 所以，二面角 c pcd 的大小为.3袅【点评】考查空间向量数量积及其坐标表示，运用向量数量积判断向量的共线与垂直，用向量证明线线、线面、面面的垂直与平行

22、关系。羂 【变式与拓展】如图，已知矩形abcd所在平面外一点p， pa平面 abcd，蕿 e、 f 分别是 ab、 pc的中点蚄（1）求证： ef平面 pad；肂（2）求证： efcd；羀（ ）若pda45，求 ef与平面 abcd所成的角3聿证明：如图，建立空间直角坐标系a xyz ，莇设ab a，bc b，pa c，则： a，蒃222(0, 0, 0)z膂 b(2 a, 0,0)， c(2 a, 2b, 0)，d(0, 2b, 0) ，pc e 为 ab的中点， f 为 pc的中点莁(0, 0, 2)薆ea，f(abc)(, 0, 0),(1)ef (0,b c， ap (0,c， ad

23、(0,b蒆ef1 ef 与 ap 、 ad 共面节2 (apad)薇又 e平面 pad ef平面 pad芈 (2) 2a, 0, 0)cd ( -pfadyebcx0)ab c cdefcd ef( -(0,0罿2 , 0, 0), )肇蚃 (3) 若 pda45 ，则有 2b2c，即 b c， ef (0, b, b) ，2b22蒁ap (0, 0, 2 b) cos ef ， ap 2bb22螈 ef， ap 45膇ap 平面 ac，ap 是平面 ac的法向量 ef 与平面 ac所成的角为： 90 肄ef， ap 45膃提高型题组薀 9. 【解法】如右图，在四边形 abcd中，莆 acab

24、bddc袆 ab bdbddc0莃 又 | ab | bd | dc |4| ab| | bd| bd| | dc| 4荿 ( 4bd)bd4 ,( bd2 ) 20bd2蒆 ( abdc ) ac =( abdc ) ( abbddc )肃 =| ab |22ab bd bd dc| dc | 2 | ab | dc cos 00螁 =(| ab | | dc |) 2(4 bd ) 2=4肈【点评】本题考查向量的模、夹角的概念，向量的加法、数量积运算及其运算法则螆 10. 解法：（）取 bc 中点 o ，连结 ao z薆aa1蚆 q abc 为正三角形， ao bc c袅膀 q 在正三棱柱

25、 abc a1 b1c1中，od蚈c1 yb羀蚁平面 abc 平面 bcc1b1 ，xb1袆 ao 平面 bcc1b1 uuuruuuuruuur螃取 b1c1 中点 o1 ，以 o 为原点， ob ， oo1， oa 的方向为 x， y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则b(10，0)， d (11，0) ， a1 (0，2，3) ， a(0，0，3)， b1 (12，0) ，uuuruuuruuur袂ab1，3)， bd( 2，1，0)，ba1(，3)(1212uuur uuuruuur uuur1 4 3 0 ，qab bd2 2 0 0 ， ab ba蒀uuuruuuruuuruuu

26、r羅 ab1 bd ， ab1 ba1 膄 ab1 平面 a1bd 薄（）设平面 a1 ad 的法向量为 n(x， y， z) uuur( 11，3) ，uuur艿 ad，aa1 (0 2 0)uuuruuur肅 q n ad ， n aa1 ，薅 n aa10 且 n ad0xy3z 0， y0，肂3z2y0，x羈肅令 z1得 n (3，0，1) 为平面 a1 ad 的一个法向量羆 由（）知 ab1 平面 a1bd ，uuur螄 ab1 为平面 a1bd 的法向量肁 cos n, ab1n ab1336n ab12 224二面角 a a1d6膅b 的大小为 arccos4膃【点评】解立体几何题最常用的思想方法是化归与转化，主要体现在： （ 1）线线、线面、面面的位置转化，如本例第（ 1）问；（ 2）空间角向平面角转化，如本例第（ 2）问。膂反馈型题组螀 11.54膀 12.d袆 13.773薄 14. 已知：四面体 abcd中， ab cd，ad bc；袁 求证： ac bd；证明：设 ab=a， acb， adc，芀=则bcb a， bdca， cd cb，芇= -= -= -肂ab cd，ad bc， ac b，cb a，则 a c a b，a c c b( - )=0( - )=0=a b c b，即 a bc b ，从而有 b(ca，故 ac bd 蚀