理论力学第十二章压杆稳定

1、第十二章,压杆稳定,12,1,概述,一、引言,第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为,max,F,N,max,?,?,A,例如：一长为,300,mm,的钢板尺，横截面尺寸为,20,mm,?,1,mm,.,钢的许用应力为,?,=196,MPa,.,按强度条件计算得钢板尺所,能承受的轴向压力为,F, =,A,?, = 3.92 kN,实际上，其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度，而是,与受压时变弯有关,.,当加的轴向压力达到,40N,时，,钢板尺,就突然,发明显的弯曲变形，丧失了承载能力,.,(a):,木杆的横截面为矩形,（,1,?,2cm),高为,3cm,，,当荷载重量为,6kN,时杆还不致破坏,。

2、,(b):,木杆的横截面与,(a),相同，高为,1.4m(,细长压杆），当压力为,0.1KN,时杆被压弯，导致破坏。,(a),和,(b),竟相差,60,倍，为什么？,细长压杆的破坏形式：突然产生显著的弯,曲变形而使结构丧失工件能力，并非因强度不,够，而是由于压杆不能保持原有直线平衡状态,所致。这种现象称为稳定性破坏。,(a),(b),强度,构件的承载能力,刚度,稳定性,工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安,全可靠地工作,.,二、工程实例,翻斗车液压杆,内燃机、空气压缩机的连杆,高层建筑,高架铁路桥,三、失稳破坏案例,案例,1,上世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏（在圣劳伦斯,河上建

3、造魁比克大桥,1907,年,8,月,29,日，发生稳定性破坏，,85,位工,人死亡，成为上世纪十大工程惨剧之一,.,案例,2 2000,年,10,月,25,日上午,10,时南,京电视台演播中心由于脚手架失稳,造成屋顶模板倒塌，死,6,人，伤,34,人,.,研究压杆稳定性问题尤为重要,四、平衡的稳定性,平衡物体在其原来平衡状态下抵抗干扰的能力。,1,、小球平衡的三种状态,稳定平衡,随遇平衡,（,临界状态,）,不稳定平衡,稳定平衡,不稳定的平衡,临界状态,2,、对于细长压杆：,（,1,）,当,F,小于某一临界值,F,cr,，撤去横向力后，杆的轴线,将恢复其原来的直线平衡状态，压杆在直线状态下的平衡

4、,是,稳定平衡,。,（,2,）当,F,增大到一定的临界值,F,cr,，撤去横向力后，杆的轴线,将保持微弯的平衡状态，而不再恢复其原来的直线平衡状态，,压杆在原来直线形态下的平衡是,不稳定平衡。,压杆丧失其直线状态下的平衡而过度为曲线平衡，称为丧失,稳定，简称,失稳,，也称,屈曲,。,（,3,）当轴向压力超过临界压力时，压杆将失稳破坏。,受压直杆平衡的三种形式,稳定平衡,随遇平衡,（,临界状态,）,不稳定平衡,结,论,F,?,F,cr,F,?,F,cr,F,?,F,cr,稳定平衡状态,临界平衡状态,关键,确定压杆的,临界力,F,cr,不稳定平衡状态,临界状态,稳,对应的,不,定,稳,平,过,度,

5、定,衡,平,衡,压力,临界压力,:,F,cr,其它构件失稳,12,1,压杆临界荷载的欧拉公式,1,、两端铰支细长压杆的临界力,假定压力以达到临界值，杆已经处于微弯状态且服从虎克定律，,如图，从挠曲线入手，求临界力。,、,弯矩：,w,x,Fcr,Fcr,M,(,x,),?,?,F,cr,w,L,w,Fcr,M,Fcr,、,挠曲线近似微分方程：,EI,w,?,?,?,M,(,x,),w,x,?,?,F,cr,w,F,cr,w,?,?,?,w,?,0,EI,令,:,k,2,F,cr,?,EI,w,?,?,?,k,w,?,0,2,、,微分方程的解：,w,?,A,sin,kx,?,B,cos,kx,、,

6、确定微分方程常数：,w,(,0,),?,w,(,L,),?,0,sin,kL,?,0,.,(,w,?,sin,kx,),B,?,0,Kl,?,n,?,（,n=0,、,1,、,2,、,3,）,n,?,?,k,?,?,L,F,cr,EI,n,?,EI,F,cr,?,2,L,2,2,临界力,F,c r,是微弯下的最小压力，故，只能取,n=1,；且,杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。,?,F,cr,?,?,EI,m,in,L,2,2,两端铰支细长压杆的临界载荷,的计算公式：欧拉公式,挠曲线方程为,kl,?,时，,w,?,?,sinkx,?,A,g,sinkx,sin,kl,2,w,?,?,sin,x,l,挠曲

7、线为半波正弦曲线,.,当,2,其他支座条件下细长压杆的临界压力,其他约束类型：,两端铰支,一端自由，一端固定,一端铰支，一端固定,两端固定,两端铰支,F,cr,l,F,cr,?,?,EI,l,2,2,一端自由，一端固定,F,cr,l,2l,F,cr,?,?,EI,(,2,l,),2,2,两端固定,F,cr,l/,4,l/,2,l,l,l/,4,2,F,cr,?,?,EI,(,l,/,2,),2,一端铰支，一端固定,F,cr,0.7,l,l,0.3,l,?,EI,F,cr,?,2,(,0,.,7,l,),2,:,2,一端自由，一端固定,F,?,EI,一端铰支，一端固定,cr,?,(,?,l,),

8、2,两端固定,两端铰支,?,2.0,?,0.7,?,0.5,?,1.0,临界载荷欧拉公式的一般形式,:,:,:,:,表,9-1,各种支承约束条件下等截面细长压杆,临界力的欧拉公式,支承情况,两端铰支,一端固定，另一端铰支,临界力的欧拉公式,长度系数,?,EI,F,cr,?,2,(,0,.,7,l,),EI,F,cr,?,2,l,2,2,?,= 1,?,= 0.7,?,= 0.5,?,= 2,两端固定,一端固定，另一端自由,2,EI,F,cr,?,(,0,.,5,l,),2,2,EI,F,cr,?,(,2,l,),2,综上所述：其它杆端约束条件下细长压杆的临,界压力的一般形式,:,5.,讨论,E

9、I,F,cr,?,2,(,?,l,),2,?,为长度系数,?,l,为相当长度,（,1,）相当长度,?,l,的物理意义,压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长,度,?,l,.,?,l,是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于,半波正弦曲线的一段长度,.,（,2,）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩,I,若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则,I,应取最小的形心主惯性矩,.,取,I,y,，,I,z,中小的一个计算临界力,.,若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱,形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临,界压力,.,I,为其相应中性轴的惯性矩,.,即分别用,I,y,，,I

10、,z,计算出两个临界压力,.,然,x,y,z,后取小的一个作为压杆的临界压力,.,?,EI,m,in,中的,I,如何确定,？,欧拉临界力公式,F,cr,?,min,2,(,?,l,),2,F,y,z,l,h,b,例,图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承受,的压力最大，,哪一根的最小？,P,P,a,3,.,1,a,(1),(2),?,l,),1,?,2,a,(,?,l,),2,?,1,.,3,a,(,?,l,),3,?,0,.,7,?,P,a,6,.,1,(3),（,1,）杆承受的压力最小，最先失稳；,（,3,）杆承受的压力最大，最稳定。,.,6,a,?,1,.,12,a,因为,?,?,l

11、,?,1,?,?,?,l,?,2,?,?,?,l,?,3,又,2,F,cr,?,?,EI,?,?,l,?,2,可知,F,cr1,?,F,cr2,?,F,cr3,(,1,例：,图示细长圆截面连杆，长度,l,?,800,mm,，直径,d,?,20,mm,材,料为,Q235,钢，,E,200GPa,.,试计算连杆的临界载荷,F,cr,.,解,：,1,、细长压杆的临界载荷,?,EI,?,?,E,?,?,d,F,cr,?,2,2,l,l,3,9,2,B,A,l,4,F,cr,2,4,64,y,z,?,?,?,200,?,10,?,0,.,02,0,.,8,?,64,2,?,24,.,2,(,kN,),2

12、,、从强度分析,?,s,?,235,MPa,0,.,02,2,?,?,235,?,10,6,?,73,.,8,(,kN,),F,s,?,A,?,s,?,4,12-3,临界应力与临界应力总图,一、临界应力,1.,欧拉公式临界应力,压杆受临界力,F,cr,作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平,衡时，横截面上的压应力可按,?,=,F,/A,计算,.,按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面,上的应力为,F,cr,EI,cr,?,?,2,A,(,?,l,),A,2,令,i,?,F,cr,EI,E,2,E,I,则,cr,?,?,?,2,2,?,i,?,2,A,(,?,l,),A,(,?,l,)

13、,(,?,l,/,i,),A,2,2,2,令,?,?,?,l,i,则,cr,?,E,2,?,2,F,cr,?,A,?,cr,i,为压杆横截面对中性轴的惯性半径,.,?,称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度,l,和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响,.,?,越大，相应的,?,cr,越小，压杆越容易失稳,.,若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别,计算在各平面内失稳时的柔度,?,，并按较大者计算压杆的临界应,力,?,cr,。,二、欧拉公式的适用范围,?,?,?,p,?,?,cr,?,?,p,?,E,?,?,?,p,2,?,?,cr,?,E,?,2,?,?,p

14、,.,?,2,?,2,E,?,p,?,?,p,（细长压杆临界柔度）,?,?,?,p,，称大柔度杆（细长压杆,）,欧拉公式的适用范围,:,例：,Q235,钢,，,E,?,200,GPa,?,p,?,200,MPa,.,2,3,?,E,?,200,?,10,?,p,?,?,?,p,200,2,?,99,.,35,?,100,1,、大柔度杆（细长压杆）采用欧拉公式计算。,2,2,?,EI,?,E,?,cr,?,2,?,?,?,p,(,?,?,?,p,),临界压力：,F,cr,?,2,临界压应力：,(,?,l,),?,2,：中柔度杆（中长压杆）采用经验公式计算。,?,s,?,?,?,?,p,(,?,p

15、,?,?,?,?,s,),?,cr,?,a,?,b,?,a,b,是与材料性,能有关的常数。,直线型经验公式,材料,硅钢,a,?,?,s,?,s,?,b,?,p,a(MPa),b(MPa),577,3.74,?,s,60,100,铬钼钢,直线公式适合合,金钢、铝合金、铸,铁与松木等中柔度,压杆。,980,372,331.9,39.2,5.29,2.14,1.453,0.199,55,50,59,0,0,硬铝,铸铁,松木,3,：小柔度杆（短粗压杆）只需进行强度计算。,?,cr,?,?,s,F,N,?,?,?,?,?,?,A,?,?,?,s,(,?,?,?,s,),三、临界应力总图,：,临界应力与柔

16、度之间的变化关系图。,?,cr,?,S,?,P,?,cr,?,a,?,b,?,直线型经验公式,?,E,?,cr,?,2,?,粗短杆,2,细长压杆。,中柔度杆,大柔度杆,o,?,s,?,P,?,?,?,l,i,粗短杆,中长杆,细长杆,细长杆,发生弹性屈曲,(,?,p,),中长杆,发生弹塑性屈曲,(,?,s,?,?,?,p,),粗短杆,不发生屈曲，而发生屈服,(,?,?,s,),中柔度杆,抛物线型经验公式,四、注意问题,1,、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。,2,、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时，,?,2,cr,?,a,1,?,b,1,?,a,1,b,1,是与材料

17、性能有关的常数。,抛物线公式适合于结构钢与低合金钢等制做的,中柔度压杆。,：,其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。,但进行强度,计算时需按削弱后的尺寸计算。,例：,如图所示圆截面压杆，,E=210GPa,，,p=200MPa,，,s,=235MPa ,cr=310,-,1.12(MPa),1.,分析哪一根压杆的临界载荷,比较大；,2.,已知：,d,=160 mm,。,求：二杆的临界载荷,解：,1,、判断临界荷载大小,?,=,?,l / i ,?,a,=,（,1,5,）,/,（,d/4,）,=,20,/d ,?,b,=,（,0.5,9,）,/,（,d/4,）,=,18,/d .,?,a,?,b

18、,F,cra,F,crb,9,m,2,、计算各杆临界力的大小,?,2,E,?,2,210,?,10,3,?,P,?,?,?,101,?,P,200,310,?,235,?,s,?,?,61.6,1.12,?,a,=,20,/d,20/0.16=125,p,属于细长杆,?,b,=,18,/d,18/0.16=112.5p,，属于细长杆,?,EI,?,E,?,206,?,10,1,2,F,cra,?,?,2,A,?,?,?,160,?,2661(,kN,),2,2,(,?,L,),?,125,4,?,E,?,d,3.14,?,(206,?,10,),3.14,?,160,6,F,cr,?,?,cr

19、,A,?,2,?,?,?,?,3.21,?,10,N,2,?,4,112.5,4,2,2,2,3,2,2,2,2,3,12-4,压杆稳定计算与合理设计,压杆的稳定计算通常采用,安全因数法,和,折减系数法,。稳定性,校核和确定许可荷载用安全因数法比较方便，截面设计用折,减系数法比较方便,1,、安全系数法,:,F,cr,压杆的临界压力,n,st,压杆的稳定安全系数,压杆稳定条件：,F,实际,工作压力,F,cr,F,?,n,st,F,cr,n,?,?,n,st,F,n,工作安全因数,n,st,规定安全因数,稳定计算步骤,（,1,）计算最大的柔度系数,（,2,）根据,（,3,）根据稳定性条件，判断压杆

20、的稳定性或确定许可载荷,?,max,；,?,max,选择公式计算临界应力；,.,例题,9-4,：空压机活塞杆由,45,制成。,?,s,350MPa,，,?,p,280MPa,，,E,210GPa,。,L,703mm,，,d,45mm,，,F,max,41.6kN,，规定安全系数,n,st,8,10,。试校核其,稳定性。,I,i,?,?,A,?,4,64,?,2,4,d,d,?,d,4,活塞杆两端为铰支，,?,1,。,a,?,?,s,461,?,350,?,E,?,?,43.2,?,P,?,?,86,?,s,?,b,2.568,?,p,?,l,703,?,?,?,?,62,.,5,45,i,4,

21、2,?,?,?,P,中柔度杆，所以用直线公式，,查表,a,461MPa,，,b,2.568MPa,。,?,cr,?,a,?,b,?,?,461,?,2,.,568,?,62,.,5,?,301,MPa,F,cr,?,A,?,cr,?,478,kN,F,cr,n,?,?,11.5,?,n,st,F,max,因此，稳定符合要求,2,、折减系数法,:,?,?,F,A,?,?,?,cr,?,?,?,(,?,),?,?,?,.,?,许用应力；,?,(,?,),?,1,?,?,cr,?,?,?,(,?,),?,?,?,.,材料有关。,此方法涉及规范较多，需查表。,折减系数，与压杆的柔度和,例：,一等直压杆

22、长,L=3.4 m,，,A=14.72 cm,2,，,I=79.95 cm,4,，,E=210 GPa,，,F=60 kN,，材料为,A3,钢，两端为铰支座。,试进行稳定校核。,1,、,n,st=2,；,2,、,=140 MPa,解：,1,、安全系数法：,?,l,1,?,3.4,?,100,?,?,?,?,145.9,?,?,p,?,100,i,79.94,14.73,?,2,EI,?,2,E,?,2,210,?,10,3,2,F,cr,?,?,2,A,?,14,.,73,?,10,?,143,.,3,(,kN,),2,(,?,L,),?,145,.,9,F,cr,143.1,?,?,71.7

23、(,kN,),?,F,?,60,kN,n,st,2,2,、折减系数法,?,l,1,?,3,.,4,?,100,?,?,?,?,145,.,9,i,79,.,94,14,.,73,查表, =140,，,=0.349,；,=150,，,=0.306,。,0,.,349,?,0,.,306,?,?,145,.,9,?,?,?,0,.,349,?,?,5,.,9,?,0,.,33,10,F,60,?,10,?,?,?,?,40.7(,MPa,),2,A,14.73,?,10,?,?,?,?,?,0.33,?,140,?,46.2(,MPa,),3,?,?,?,?,?,?,例,：,图示起重机，,AB,杆

24、为圆松木，长,L= 6,m,，,?, =11MPa,，直,径为：,d = 0.3m,，试求此杆的许用压力。（,xy,面两端视为铰,支；,xz,面一端视为固定，一端视为自由）,木杆,:,?,?,80,时,?,?,3000,?,x,B,2,解：,折减系数法,1,、最大柔度,x,y,面内,，,?,z,=,1.0,y,F,1,F,2,A,y,o,z,x,W,1,?,6,?,4,?,z,?,?,?,80,i,0,.,3,z,y,面内,，,?,y,=,2.0,2,?,6,?,4,?,y,?,?,?,160,?,?,max,i,0,.,3,?,L,?,L,2,?,6,?,4,?,y,?,?,?,160,?,

25、?,max,i,0,.,3,?,L,2,、求折减系数,查表：木杆,?,?,160,时,?,?,0,.,1,1,7,3,、求许用压力,?,?,cr,?,?,?,?,?,?,?,?,?,cr,?,?,1,.,287,2,(,MPa,),?,F,?,BC,?,A,BC,?,?,cr,?,?,?,?,300,4,?,1,.,287,?,91,(,kN,),例,一连杆尺寸如图，材料为,A3,钢，承受的轴向压力,为,P=120KN,，取稳定安全系数,n,w,=2,，校核连杆的稳定性。,在,xy,面内失稳连杆两端为绞支，长度,l,=940,。,在,xz,面内失稳近似两端固定，长度,l,1,=880,。,y,

26、z,x,h=60,解：,(1),求柔度,?,?,?,?,?,l,i,在,xy,面内失稳连杆两端为绞支，,长度,l,=940,。,bh,3,z,12,h,z,?,I,A,?,bh,?,2,3,?,1,.,732,cm,?,?,?,?,l,z,i,?,1,?,94,z,1,.,732,?,54,.,3,y,z,x,h=60,i,在,xz,面内失稳近似两端固定，,长度,l,1,=880,。,?,y,?,3,?,?,l,i,h=60,z,x,i,?,y,I,hb,y,A,?,12,?,b,?,0,.,722,cm,bh,2,3,?,?,y,?,?,l,i,y,0,.,5,?,88,?,?,61,?,?,z,?,54,.,3,0,.,722,杆在,xz,面内先失稳，应用,?,y,计算临界力。,（,2,）求临界力，作稳定校核,因为,?,y,= 61 123,，用经验公式计算,y,z,x,?,235,?,0