欧拉临界应力屈曲计算

1、第十二章,压杆稳定,12-1,压杆稳定性的概念,一、稳定与失稳,1.,压杆,稳定性,：压杆维持其自身平衡状态的能力；,2.,压杆,失稳,：压杆丧失其自身平衡状态，不能稳定地工作。,3.,压杆失稳原因：,杆轴线本身不直,(,初曲率,),；,加载偏心；,压杆材质不均匀；,外界干扰力。,二、中心受压直杆稳定性分析,1.,临界状态,：由稳定平衡向微弯平衡,(,不稳平衡,),过渡的状态；,2.,临界载荷,P,cr,：描述压杆的稳定能力，压杆临界状,态所受到的轴向压力。,PP,cr,P=P,cr,PP,cr,Q,Q,Q,Q,Q,Q,Q,Q,Q,a),直线稳态,b),微弯平衡,c),失稳,干扰力去除，恢复直

2、线,干扰力去除，保持微弯,干扰力去除，继续,变形，直至倒塌,12-2,细长中心受压直杆临界力的欧拉公式,一、两端铰支压杆的临界力,1.,思路,：求,P,cr,临界状态,(,微弯,),弯曲变形,挠曲线微分方程；,2.,推导,：,3.,两端铰支压杆的临界力,(,欧拉公式,),：,P,cr,?,?,2,EI,L,2,4.,注意,：,（,1,）弯矩以最终平衡位置,（,2,）,I,应为压杆横截面的最小惯性矩,x,P,cr,x,P,cr,M(x)=Py,y,x,x,y,失,稳,模,式,如,图,L,挠曲线微分方程：,EIy,?,?,M,(,x,),?,?,Py,引用记号：,k,2,?,P,，得：,y,?,k

3、,2,y,?,0,EI,该微分方程的通解为：,y,?,A,sin,kx,?,B,cos,kx,式中,A,、,B,为积分常数,?,x,?,0,y,?,0,杆的边界条件：,?,?,x,?,L,y,?,0,?,B,?,0,代入通解得：,?,?,A,sin,kL,?,0,?,sin,kL,?,0,kL,?,P,L,?,n,?,(,n,?,0,，,1,，,2,?,),EI,2,2,n,P,?,?,2,EI,(,n,?,0,，,1,，,2,?,),L,临界力为最小压力：,2,?,P,cr,?,EI,欧拉公式,2,L,11-3,不同杆端约束下细长压杆临界力的,欧拉公式,.,压杆的长度系数,欧拉公式的统一形式

4、,2,EI,?,P,cr,?,2,(,?,L,),?,L,：,相当长度,?,称为,长度系数,表,11,?,1,压杆的长度系数,?,压杆约束条件,长度系数,?,两端铰支,一端固定，另一端自由,?,=1,?,=2,一端固定，另一端铰支,两端固定,?,=0.7,?,=0.5,3.,例题：,例,12,?,1,一端固定，另一端,自由的细长压杆如图所示。试导,出其临界力的欧拉公式。,例,12,?,2,导出一端固定、另,一端铰支压杆临界力的,欧拉公,式。,P,2,cr,?,?,EI,(,0,.,7,L,),2,例,12,?,3,试导出两端固定压杆,的欧拉公式。,B,d,P,cr,L,A,P,cr,B,L,A

5、,P,cr,L,边界条件：,M,A,P,cr,d,2,?,?,x,?,0,：,y,?,0,，,y,?,0,，,y,?,?,EI,?,EI,?,k,d,?,M,(,L,),?,失,x,?,L,：,y,?,d,，,y,?,?,?,0,?,EI,稳,将边界条件代入统一微,分方程的通解得：,L,模,0,1,0,1,0,?,?,C,?,?,L,式,1,?,?,k,0,1,0,0,?,C,2,?,如,A,?,?,?,?,图,0,?,k,2,0,0,?,k,2,?,?,C,3,?,?,0,?,?,?,?,C,?,cos,kL,L,1,?,1,?,4,y,A,?,sin,kL,?,?,2,2,d,?,L,?,

6、?,k,sin,kL,?,k,cos,kL,0,0,0,?,?,?,?,M,A,=P,cr,d,P,有非零解的充要条件为,：系数行列式值为零；,cr,解得压杆失稳特征方程,为：,cos,kL,?,0,C,P,cr,?,kL,?,L,?,n,?,(,n,?,0,，,1,，,2,?,),EI,2,2,?,取,n,?,1,，得一端固定一端自由,压杆临界力的欧拉公式,为：,P,cr,?,EI,(,2,L,),2,x,P,cr,P,cr,B,B,d,相当于,2L,长两端铰支压杆的临界力,x,A,端,Q,A,、,M,A,及,B,端,Q,B,不为零。,边界条件：,Q,B,B,x,?,0,：,y,?,0,，,

7、y,?,0,失,?,?,稳,M,(,L,),?,x,?,L,：,y,?,0,，,y,?,?,?,0,?,模,?,EI,0.7L,式,将边界条件代入统一微,分方程的通解得：,y,L,如,0,1,0,1,?,?,C,1,?,?,图,?,?,k,0,1,0,?,?,C,?,2,?,?,?,?,?,?,0,x,cos,kL,L,1,?,?,C,3,?,?,sin,kL,?,2,?,?,A,2,?,y,?,?,k,sin,kL,?,k,cos,kL,0,0,?,?,C,4,?,Q,A,利用系数行列式值为零,，解得：,tgkL,?,kL,M,A,P,P,cr,cr,?,kL,?,L,?,4,.,4,P,?

8、,?,EI,0,.,7,2,?,EI,一端固定一端铰支压杆,临界力的欧拉公式为：,P,cr,?,(,0,.,7,L,),2,P,cr,相当于,0.7L,长两端铰支压杆的临界力,x,P,cr,M,失,稳,模,式,如,图,y,M,两端,M,均不为零。,?,x,?,0,：,y,?,0,，,y,?,0,边界条件：,?,?,x,?,L,：,y,?,0,，,y,?,0,将边界条件代入统一微,分方程的通解得：,1,0,1,?,?,C,1,?,?,0,?,k,?,0,1,0,?,?,C,?,2,?,?,?,?,?,?,0,cos,kL,L,1,?,?,C,3,?,?,sin,kL,?,?,?,?,C,?,?,

9、4,k,cos,kL,?,k,sin,kL,1,0,?,?,L,?,1,?,cos,kL,?,0,利用系数行列式值为零,，解得：,?,P,cr,?,sin,kL,?,0,P,cr,?,kL,?,L,?,2,?,EI,2,?,EI,?,两端固定压杆临界力的,欧拉公式为：,P,cr,?,(,0,.,5,L,),2,相当于,0.5L,长两端铰支压杆的临界力,0,.,5,L,12-4,欧拉公式的应用范围,.,临界应力总图,一、欧拉临界应力公式及使用范围,1,.,临界应力,：临界力除以压杆横截面面积得到的压应力，,用,s,cr,表示；,2,2,P,cr,?,EI,?,E,s,cr,?,?,?,2,2,A

10、,(,?,L,),A,(,?,L,/,i,),I,i,?,横截面对微弯中性轴的,惯性半径,；,A,柔度,(,细长比,),：,?,?,?,L,i,欧拉临界应力公式：,s,cr,?,2,?,E,2,?,2,.,欧拉公式应用范围：,?,E,s,线弹性状态：,s,cr,s,p,，即,p,2,?,2,E,2,E,?,?,?,，则,?,?,p,s,p,s,p,2,?,?,p,细长杆,(,大柔度杆,),，欧拉公式的适用范围；,对于,A3,钢，,E=200GPa,，,s,p,=200MPa,：,2,?,200,?,10,9,?,?,p,?,?,100,200,?,10,6,用柔度表示的临界压力：,?,E,P,

11、cr,?,2,?,A,?,2,二、中柔度杆临界应力的经验公式,1.s,s,s,cr,s,p,时采用经验公式：,s,cr,?,a,?,b,?,直线公式：,a,?,s,s,?,0,?,1),s,cr,s,s,，,s,s,?,a,?,b,?,，得到：,b,2)?,p,?,?,0,中粗杆,(,中柔度杆,),；,a,?,s,s,304,?,240,3),对于,A3,钢：,?,0,?,?,?,60,b,1,.,12,2,抛物线公式：,s,cr,?,a,1,?,b,1,?,a,1,和,b,1,是与材料有关的常数。,2.,s,cr,=,s,S,时,:,强度破坏，采用强度公式。,三、临界应力总图,s,cr,s,

12、cr,=,s,s,s,s,A,s,p,粗,短,杆,s,cr,s,cr,=a,?,b,?,B,s,s,s,cr,=a,1,?,b,1,?,2,C,中,粗,杆,2,?,s,cr,?,2,E,?,0.57,s,s,2,?,s,cr,?,2,E,?,细长杆,D,?,O,?,c,采用抛物线经验公,式的临界应力总图,?,O,?,o,?,p,采用直线经验公式,的临界应力总图,2.,压杆按柔度分类：,?,?,?,p,细长杆,(,大柔度杆,),?,p,?,?,?,?,0,中粗杆,(,中柔度杆,),?,?,?,0,粗短杆,(,小柔度杆,),12-5,压杆的稳定条件,.,提高稳定性的措施,一、安全系数法作稳定校核,

13、1.,压杆稳定条件：,(,逼近法,),；,确定,n,st,，除考虑确定安全系数的一般原则外，还应考虑压,杆初挠度、荷载偏心等因素影响，故,n,st,n,。,2,、稳定条件可写成：,s,?,N,s,cr,s,?,?,?,s,st,A,n,st,三方面工作,：确定许可载荷、稳定性校核、截面尺寸设计,s,cr,n,st,?,s,st,?,?,s,即,s,?,?,s,s,st,稳定许用应力,；,s,许用压应力,；,?,1,折减系数,，与柔度和材料有关，可查规范。,例,12,?,4,确定图示,连杆的许用压力,P,cr,。已知连杆横截面面,积,A=720mm,2,，,惯,性,矩,I,z,=6.5,10,4

14、,mm,4,，,I,y,=3.8,10,4,mm,4,，,s,p,=240MPa,，,E=2.1,10,5,MPa,。,连,杆用硅钢制成，稳定,安全系数,n,st,=2.5,。,x,P,x,P,580,700,580,L,y,y,z,z,P,P,解：,(1),失稳形式判断,：,1,?,700,若在,x,?,y,面内失稳，,?,=1,，,?,z,?,?,L,?,?,L,?,?,73,.,7,4,/,720,i,I,/,A,6,.,5,?,10,z,柔度为：,若,在,x,-,z,平,面,内,失,稳,，,?,y,?,?,L,?,?,L,?,0,.,5,?,580,?,39,.,9,4,/,720,i

15、,I,/,A,3,.,8,?,10,y,?,=0.5,，柔度为：,所以连杆将在,x,y,平面内失稳，其许用压力应由,?,z,决定。,(2),确定许用压力,：,由表,11-2,查得硅钢：,a=578MPa,，,b=3.744MPa,，,s,s,=353MPa,，计算有关的,?,p,和,?,0,为：,2,E,2,?,2,.,1,?,10,5,?,?,?,?,p,?,?,?,93,?,s,p,240,?,?,?,?,?,a,?,s,s,?,578,?,353,?,60,?,b,3,.,744,?,0,可见连杆为中柔度杆。其临界载荷为：,P,cr,?,A,(,a,?,b,?,),?,218,kN,由此得连杆的许用压力为：,P,cr,218,P,cr,?,?,?,87,.,3,kN,n,w,2,.,5,(3),讨论：在此连杆中：,?,z,=73.7,，,?,y,=39.9,，两者相差较大,。最理想的设计是,?,y,=,?,z,，以达到材尽其用的目的。,二、提高稳定性的措施,（一）、从材料方面考虑,1.,细长压杆：,提高弹性模量,E,2.,中粗压杆和粗短压杆