求极限的常用方法

1、?,一、,x,?,?,时，,型（方法：用最大项除分子分母）,?,(2,x,?,3),(,x,?,2),例,lim,5,x,?,(2,x,?,1),解：分子、分母除以,x,5,3,例,2,lim,4,x,?,x,?,1,?,x,?,1,x,?,sin,x,2,2,x,?,.,解：分子、分母除以,-,x,，,得,1,2,3,(2,?,),(1,?,),x,x,=,lim,原式,x,?,1,5,(2,?,),x,1,=,8,原式,?,lim,1,=,2,x,?,1,1,1,4,?,?,2,?,1,?,x,x,x,sin,x,1,?,2,x,首页,上页,返回,下页,结束,?,二、利用无穷小的性质,例,

2、3,lim,sin,ln(,x,?,1,),?,sin,ln,x,x,?,?,解：原式,例,4,lim,n,?,?,解：原式,n,sin,n,!,n,?,n,3,1,1,1,2,?,lim,2sin,ln(1,?,)cos,ln(,x,?,x,),x,?,2,x,2,?,0.,注：有界量无穷小,=,无穷小,lim,n,?,n,n,?,n,=0,3,sin,n,!,首页,上页,返回,下页,结束,?,三、通过代数变形求极限,例,5,lim,x,?,0,x,2,2,2,1,?,x,?,1,?,x,2,e,?,e,例,6,lim,x,?,0,x,?,sin,x,解：原式,x,sin,x,解：原式,x,

3、(,1,?,x,?,1,?,x,),?,lim,2,x,?,0,2,x,?,1,注：如果出现根式差，先通过,有理化化简，再求极限,2,2,?,lim,x,?,0,e,sin,x,?,lim,x,?,0,e,sin,x,(,e,?,1),x,?,sin,x,x,?,sin,x,(,x,?,sin,x,),?,1,x,?,sin,x,注：如果出现指数差，先提出,一个因子，再寻求求极限的,方法,首页,上页,返回,下页,结束,?,四、利用两个重要极限求极限,例,7,lim(1,?,2,x,),x,?,0,x,?,0,2,sin,x,1,2,x,4,x,sin,x,例,8,tan,x,?,sin,x,l

4、im,3,x,?,0,sin,x,解：原式,?,lim(1,?,2,x,),?,e,4,注：两个重要极限,sin,x,?,sin,x,原式,?,lim,cos,x,3,x,?,0,sin,x,1,?,cos,x,?,lim,2,x,?,0,sin,x,cos,x,1,x,(2),lim(1,?,),?,e,x,?,x,首页,上页,返回,sin,x,(1),lim,?,1,x,?,0,x,?,.,2,x,2sin,2,?,lim,x,?,0,2,x,2,x,4sin,cos,2,2,1,2,下页,结束,?,五、利用无穷小量等价代换求极限,1,?,x,?,1,例,9,lim,2,x,?,0,sin

5、,2,x,1,2,(,?,x,),1,2,解：原式,?,lim,?,?,2,x,?,0,8,(2,x,),tan,x,?,sin,x,例,10,lim,3,x,?,0,sin,x,tan,x,(1,?,cos,x,),?,lim,3,x,?,0,x,1,2,x,?,x,1,2,?,lim,?,3,x,?,0,x,2,首页,上页,返回,2,3,?,1,例,11,lim,x,?,0,1,?,cos,x,解：原式,x,2,x,ln,3,?,lim,?,2ln,3,x,?,0,1,2,x,2,注：常用等价无穷小量,2,sin,x,x,ln(1,?,x,),x,a,?,1,x,ln,a,下页,x,n,t

6、an,x,x,x,1,?,cos,x,2,2,x,1,?,x,?,1,n,?,结束,六、利用罗比达法则求极限,tan,x,?,x,.,例,12,lim,2,x,?,0,x,tan,x,tan,x,?,x,解：原式,?,lim,3,x,?,0,x,sec,x,?,1,?,lim,2,x,?,0,3,x,2,1,x,?,).,例,13,lim(,x,?,1,ln,x,x,?,1,x,?,1,?,x,ln,x,解：原式,?,lim,x,?,1,(,x,?,1)ln,x,1,?,ln,x,?,1,x,ln,x,?,lim,?,?,lim,x,?,1,x,ln,x,?,x,?,1,x,?,1,x,?,1

7、,ln,x,?,x,tan,x,1,?,lim,?,x,?,0,3,x,2,3,0,?,，,型不定式极限可直,注：,0,?,接使用罗比达法则,首页,上页,2,ln,x,?,1,1,?,?,lim,?,?,x,?,1,ln,x,?,1,?,1,2,注：,型不定式极限可,0,?,，,之一,通过通分变为,0,?,下页,结束,?,?,返回,六、利用罗比达法则求极限,x,ln,x,例,14,lim,?,x,?,0,例,15,?,1,x,?,0,lim,x,?,x,x,?,1,x,(,x,x,ln,x,解：原式,?,lim,e,解：原式,?,lim,?,lim,?,?,2,?,1,x,?,0,?,?,x,

8、?,0,?,x,x,?,0,x,(,e,x,ln,x,?,1)ln,x,?,1)ln,x,?,lim,?,(,?,x,),?,lim,e,?,x,?,0,?,0,x,?,0,0,?,型不定式极限可通,注,(1),过把一项的倒数放到分母上变,0,?,，,之一,为,?,e,x,?,0,?,lim,(,e,x,ln,x,?,1)ln,x,?,e,x,?,0,?,lim,x,ln,x,lim,2ln,x,2,?,e,x,?,0,?,lim,ln,x,x,?,1,2,0,?,(2),lim,?,x,?,1.,x,?,0,x,?,e,?,1,?,x,?,0,?,x,?,e,?,2,lim,x,ln,x,x,?,0,?,?,e,?,1,上页,返回,下页,结束,?,0,首页,六、利用罗比达法则求极限,例,16,lim,(cot,x,),?,x,?,0,1,ln,x,.,例,17,lim(,x,?,e,),x,?,0,1,x,x,1,ln(,x,?,e,x,),x,解：原式,?,e,1,lim,ln,cot,x,x,?,0,?,ln,x,解：原式,?,lim,e,x,?,0,1,而,lim,?,ln(cot,x,),x,?,0,?,ln,x,1,1,?,?,2,cot,x,sin,x,?,lim,x,?,0,?,1