【数学】2010-2011学年同步精品学案(人教A版必修1)：第3章_函数的应用_§31_函数与

1、3.1函数与方程1函数零点的概念对于函数yf(x) (xD)，我们把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x) (xD)的零点注意以下两点：(1)方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(2)函数零点的求法：代数法：求方程f(x)0的实数根；几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点2函数零点的判断一般地，如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是f(x)0的根我们不妨

2、把这一结论称为零点存在性定理对函数零点存在性定理的理解(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y.(2)函数yf(x)如果满足：函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)0，则函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(3)对于有些函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号如函数yx2有零点x00，但显然函数值没有变号但是，对于任意一个函数，相邻的两个零点之间所有的函数值保持同号(4)函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且在区间(a，b)上单调，若f(a)f(b)0，则函数yf(x)在(a，b)内有且只有一个零点但要注意：如果函数yf(x)在a，

3、b上的图象是连续不断的曲线，且x0是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有f(a)f(b)0.3二分法所谓二分法，就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法用二分法求函数零点近似值的注意点(1)在第一步中要使：区间a，b的长度尽量小；f(a)、f(b)的值比较容易计算，且f(a)f(b)0.(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的对于求方程f(x)g(x)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)g(x)的根. 题型一判断零点所在区间根据表格中的数据，可以判定方程exx

4、20的一个根所在的区间是_.x10123ex0.3712.727.3920.09x212345解析令f(x)exx2，由图表知f(1)0.3710.630，f(0)1210，f(1)2.7230.280，f(3)20.09515.090，由于f(1)f(2)0时，f(x)2 008xlog2 008x，则函数f(x)的零点的个数为()A1B2C3D2 006解析因为函数f(x)为R上的奇函数，所以f(0)0，因为log2 0081,2 0081，所以f2 008log2 0080，所以，当x0时，f(x)2 008xlog2 008x，函数在区间内存在零点，又根据单调函数的定义可证明f(x)在

5、(0，)上为增函数，因此在(0，)内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一个零点，从而函数在R上零点的个数为3，故选C.答案C点评认识函数的性质是问题获解的关键，奇偶性保证函数的对称性，换句话说，有奇偶性的函数的零点(除原点外)是成对出现的注意到函数为奇函数且在原点有定义，因此有f(0)0.其次是函数的单调性，保证了函数零点在单调区间内的唯一性，当然零点的判定方法也是问题获解不可或缺的部分 题型三用二分法求方程的近似解求方程x22x1的一个近似解(精确度0.1)解设f(x)x22x1.f(2)10，在区间(2,3)内，方程x22x10有一解，记为x0.取2与3的平均数2.5，

6、f(2.5)0.250，2x02.5；再取2与2.5的平均数2.25，f(2.25)0.437 50，2.25x02.5；再取2.25与2.5的平均数为2.375，f(2.375)0.109 40，2.375x00.|2.3752.437 5|0.062 50.1，方程x22x1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.点评对于求形如f(x)g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)f(x)g(x)0的方程的近似解，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求之函数f(x)x的零点个数为()A0B1C2D3错解因为f(1)2，f(1)2，且x0时，f(x)0时，f(x)0，所以

7、yf(x)有一个零点，故选B.错因分析函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求定义域通过作图可知函数f(x)x的图象不是连续不断的，因而零点存在性定理不能使用正解函数的定义域为xR，且x0，当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0成立的自变量x的取值范围是_解析由表中数据可知f(2)0，f(3)0，因此函数的零点有两个是2和3.这两个零点将x轴分成三个区间(，2，(2,3，(3，)在区间(，2中取特殊值3，表中数据有f(3)60，因此根据二次函数零点的性质得：当x(，2)时，都有f(x)0；同理可得：当x(3，)时也有f(x)0.故使f(x)0的自变量x的取值范围是x(

8、，2)(3，)答案(，2)(3，)1下列函数中不能用二分法求零点的是()Af(x)3x1 Bf(x)x3Cf(x)|x| Df(x)lnx答案C解析对于选项C而言，令|x|0，得x0，即函数f(x)|x|存在零点；当x0时，f(x)0，当x0，f(x)|x|的函数值非负，即函数f(x)|x|有零点但零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点2若yf(x)在区间a，b上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是()A若f(a)f(b)0，不存在实数c(a，b)，使得f(c)0B若f(a)f(b)0，不存在实数c(a，b)，使得f(c)0D若f(a)f(b)0，有可能存在实数c(a，b)，使得f(

9、c)0答案D解析由零点存在性定理可知选项A不正确；对于选项B可通过反例“f(x)x(x1)(x1)在区间2，2上满足f(2)f(2)0，但其存在两个零点：1,1”推翻3方程2xx0在下列哪个区间内有实数根()A(2，1) B(0,1)C(1,2) D(1,0)答案D解析设函数f(x)2xx，其对应的函数值如下表：x21012f(x)136由于f(1)f(0)0，所以方程2xx0在(1,0)内有实数根4函数f(x)的零点是_答案2解析本题易认为零点有两个，即由x240求出x2，事实上x2不在函数的定义域内5设x0是方程lnxx4的根，且x0(k，k1)，求正整数k.解设f(x)lnxx4，则函数

10、f(x)lnxx4在正数范围内是单调递增的，故函数f(x)lnxx4仅有一个零点，f(1)ln1140，f(2)ln2240，f(2)f(3)0，即k2.6求方程2x33x30的一个近似解(精确度0.1)解设f(x)2x33x3，经试算，f(0)30，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x33x30在(0,1)内有实数解，取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，所以方程2x33x30在(0.5,1)内有解如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表：(a，b)(a，b) 的中点f(a)f(b)f(0,1)0.5f(0)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(

11、0.75)0(0.5，0.75)0.625f(0.5)0f(0.625) 0(0.625，0.75)0.687 5f(0.625)0f(0.687 5) 0因为|0.687 50.75|0.062 50且a1)有两个不同的零点，求a的取值范围解研究函数f(x)axxa (a0且a1)的零点，即相当于研究方程axxa的根(1)当a1时，分别画出yax与yxa的图象，如图(1)所示，由于yax恒过M(0,1)点，直线yxa过点N(0，a)，而a1，所以点N在点M的上方，此时两者有两个交点，即方程axxa有两个根，函数f(x)axxa (a0且a1)有两个不同的零点；(2)当0a1时，分别画出yax

12、与yxa的图象，如图(2)所示，指数函数yax在0a0且a1)有一个零点；综上所述，a的取值范围是(1，)31.1方程的根与函数的零点 学习目标1能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数2理解函数的零点与方程根的关系3掌握函数零点的存在性的判定方法 自学导引1对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点2函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标3方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点4函数零点的存在性的判定方法：如果函数yf(x)在a，b上的图象是连续不断的一条

13、曲线，并且有f(a)f(b)0上共有_个零点分析由题目可获取以下主要信息：本例为判断函数零点所在区间问题，且在选项中给出了待确定的区间解答本题可从已知区间求f(a)和f(b)，判断是否有f(a)f(b)0，且注意该函数在定义域上为增函数答案(1)B(2)1解析(1)f(1)20，f(2)ln210，f(2)f(3)0上是增函数，故f(x)有且只有一个零点点评这是一类非常基础且常见的问题，考查的是函数零点的判定方法，一般而言只需将区间端点代入函数求出函数值，进行符号判断即可得出结论，这类问题的难点往往是函数符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断，同时也要注意该函数的单调性变式迁移2方程x23x

14、10在区间(2,3)内根的个数为()A0B1C2D不确定答案B解析令f(x)x23x1，则f(2)f(3)0，(2,3)内仅有一个根三、已知函数零点的特征，求参数范围例3若函数f(x)ax2x1仅有一个零点，求实数a的取值范围分析由题目可获取以下主要信息：已知函数f(x)零点特征，讨论函数表达式中字母的特征，解答本题可根据该字母对函数零点的影响入手，进行求解解若a0，则f(x)x1，为一次函数，易知函数仅有一个零点；若a0，则函数f(x)为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax2x10仅有一个实数根，故判别式14a0，a.综上，当a0或a时，函数仅有一个零点变式迁移3已知在函数f(x)mx23

15、x1的图象上其零点至少有一个在原点右侧，求实数m的范围解(1)当m0时，f(0)3x1，直线与x轴的交点为，即函数的零点为，在原点右侧，符合题意图(1)(2)当m0时，f(0)1，抛物线过点(0,1)若m0，f(x)的开口向上，如图(2)所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当94m0即可，解得0m，综上所述，m的取值范围为.1函数f(x)的零点就是方程f(x)0的根，但不能将它们完全等同如函数f(x)x24x4只有一个零点，但方程f(x)0有两个相等实根2并不是所有的函数都有零点，即使在区间a，b上有f(a)f(b)0，也不说明函数yf(x)在区间(a，b)上无零点，如二次函数yx23x2在

16、0,3上满足f(0)f(3)0，但函数f(x)在区间(0,3)上有零点1和2.3函数的零点是实数而不是坐标轴上的点一、选择题1若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)，(1,4)，(1,5)内，那么下列说法中错误的是()A函数f(x)在(1,2)或2,3)内有零点B函数f(x)在(3,5)内无零点C函数f(x)在(2,5)内有零点D函数f(x)在(2,4)内不一定有零点答案C2函数f(x)log3x82x的零点一定位于区间()A(5,6) B(3,4) C(2,3) D(1,2)答案B解析f(3)log3382310.又f(x)在(0，)上为增函数，所以其零点一定位于区间(3,4)3函数f(x

17、)ax2bxc，若f(1)0，f(2)0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为()A至多有一个 B有一个或两个C有且仅有一个 D一个也没有答案C解析若a0，则f(x)bxc是一次函数，由f(1)f(2)0，与已知矛盾4已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，)内的零点有1 003个，则f(x)的零点的个数为()A1 003 B1 004 C2 006 D2 007答案D解析因为f(x)是奇函数，则f(0)0，且在(0，)内的零点有1 003个，所以f(x)在(，0)内的零点有1 003个因此f(x)的零点共有1 0031 00312 007个5若函数yf(x)在区间0,4上的图象是连续不断

18、的曲线，且方程f(x)0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)f(4)的值()A大于0 B小于0 C等于0 D无法判断答案D解析考查下列各种图象上面各种函数y=f(x)在(0,4)内仅有一个零点，但是(1)中，f(0)f(4)0，(2)中f(0)f(4)0，(3)中f(0)f(4)0.二、填空题6二次函数f(x)ax2bxc中，ac0，方程ax2bxc0有两个不等实根，即函数f(x)有2个零点7若函数f(x)axb (a0)有一个零点是2，那么函数g(x)bx2ax的零点是_答案0，解析由2ab0，得b2a，g(x)bx2ax2ax2ax，令g(x)0，得x0或x，g(x)bx2ax的零点为0，.8方程2ax2x10在(0,1)内恰有一个实根，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析令f(x)2ax2x1，a0时不符合题意；a0且0时，解得a，此时方程为x2x10，