立方和与立方差公式

1、.第一阶梯 例1我们来计算（a+b）(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算： (1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(1+2a)(1-2a) (3)(2x3+5y2)(2x3-5y2) (4)(-a2-b2)(b2-a2) 提示： 刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个框架，如（1）（2x+3y）(2x-3y) =（ ）2-（ ）2，第二步分析哪项相当于公式中的a，哪项相当于公式中的b，并在框架中填数计算。 参考答案： (1)（2x+3y）(2x-3

2、y)=（2x）2-(3y)2=4x2-9y2 (2)(1+2a)(1-2a) =12-(2a)2=1-4a2 (3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)=(2x3)2-(5y2)2=4x6-25y4 (4)(-a2-b2)(b2-a2)=(-a2-b2)(-a2+b2)=(-a2)2-(b2)2=a4-b4 说明： 平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2的特征是： （1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。 （2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应注意： 公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式

3、 一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。 例2计算（a+b）2和（a-b）2,可知（a+b）2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即（ab）2=a22ab+b2，这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。利用这两个公式计算(1)(x+5)2 (2)(2-y)2 (3)(3a+2b)2 (5) (-a+2b)2 提示： 在套用完全平方公式

4、进行计算时，一定要先弄清题目中的哪个数或式是a，哪个数或式是b。 参考答案： (1)(x+5)2=x2+2x5+52=x2+10x+25 (2)(2-y)2=22-22y+y2=4-4y+y2 (3)(3a+2b)2=(3a)2+23a2b+(2b)2=9a2+12ab+4b2 (5)(-a+2b)2=(-a)2+2(-a)2b+(2b)2=a2-4ab+4b2 说明： 1、（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。 2、这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，（

5、即二项式的平方形式），右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍。 3、公式中的字母a、b既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式。 4、只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式，在运用公式时，注意防止发生（ab）2=a2b2这样的错误。 例3计算（a+b）(a2-ab+b2)和(a-b)(a2+ab+b2)，可知（a+b）(a2-ab+b2)=a2-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3,（a-b）(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3,即（ab）(a2ab+b2)=a

6、3b3，这就是说，两数和（或差）乘以它们的平方和与它们的积的差（或和），等于这两个数的立方和（或差），这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式，利用这两个公式计算： （1）（x+2）(x2-2x+4); (2)(3-y)(9+3y+y2) ; （3）(3x-4y)(9x2+12xy+16y2); （5）(3x2-2y2)(9x4+6x2y2+4y4) 提示： 先弄清题目是用立方和公式还是用立方差公式计算，再弄清题目中哪个数或式是a，哪个数或式是b，最后再代入公式计算。 参考答案： （1）（x+2）(x2-2x+4)=(x+2)(x2-x2+22)=x3+23=x3+8 （2）(3-y)(9+

7、3y+y2)=(3-y)(32+3y+y2)=33-y3=27-y3 （3）(3x-4y)(9x2+12xy+16y2)=(3x-4y)(3x)2+3x4y+(4y2)=(3x)3-(4y)3=27x3-64y3 （5）（3x2-2y2）(9x4+6x2y2+4y4)=(3x2-2y2)(3x2)2+3x22y2+(2y2)2=(3x2)3-(2y2)3=27x6-8y6 说明： 1、注意对公式的理解和记忆（1）项数特征：两项乘三项积为二项，（2）符号特征：二项的因式若两项都为+，则三项的因式符号为+，-，+，积的符号与二项因式的符号相同，二项的因式符号若为+，-，则三项的因式符号为+，+，+

8、，积的符号与二项因式的符号相同，即是说公式在各种条件都相符的情况下，所得的积是两数的立方和还是两数的立方差，主要看乘积中第一个乘式是两数和，还是两数差。 2、公式中的字母a、b仍代表任意数或代数式。 第二阶梯 例1利用乘法公式计算： (1)（x+3）(x-3)(x2+9) (2) (a+b)(a-b)(a2-b2) (3) (x-2)(x+2)(x4+4x2+16) (4) (a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6) 提示： （1）小题可两次使用平方差公式； （2）小题先使用平方差公式，再使用完全平方公式； （3）小题先使用平方差公式，再使用立方差公式 （4）小题两次使用立方差公式

9、。 参考答案： (1)(x+3)(x-3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=(x2)2-92=x4-81 (2)(a+b)(a-b)(a2-b2)=(a2-b2)(a2-b2)=(a2-b2)2=(a2)2-2a2b2+(b2)2=a4-2a2b2+b4 (3)(x-2)(x+2)(x4+4x2+16)=(x2-4)(x4+4x2+16)=(x2)3-43=x6-64 (4)(a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6)=(a3-b3)(a6+a3b3+b6)=(a3)3-(b3)3=a9-b9 说明： 遇到多项式的乘法问题，首先应看看是否符合某个乘法公式，若有恰当的公式使用可大

10、大简化运算过程。 例2运用乘法公式计算： (1) (a+b+c)(a-b-c) (2) (a-2b+3c)(a+2b-3c) (3) (x+2y+z)2 (4) (2x-3y-4z)2 提示： （1）（2）小题可利用平方差公式进行计算；（3）（4）小题可利用完全平方公式进行计算。 参考答案： (1)（a+b+c）(a-b-c)=a+(b+c)a-(b+c)=a2-(b+c)2=a2-(b2+2bc+c2)=a2-b2-2bc-c2 (2) (a-2b+3c)(a+2b-3c)=a-(2b-3c)a+(2b-3c)=a2-(2b-3c)2=a2-(4b2-12bc+9c2)=a2-4b2-12b

11、c-9c2 (3)（x+2y+z）2=x+(2y+z)2=x2+2x(2y+z)+(2y+z)2=x2+4xy+2xz+4y2+4yz+z2 (4) (2x-3y-4z)2=2x-(3y+4z)2=(2x)2-22x(3y+4z)+(13y+4z)2=4x2-4x(3y+4z)+(19y2+24yz+16z2)=4x2-12xy-16xz+9y2+24yz+16z2 说明： 进行多项式乘法运算时，一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整。适当地添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号方式的不同，可一题多解，如（4）小题还可添加括号为（2x-3y）-4z2，但得出的

12、结果均相同。 例3利用乘法公式计算： （1）（x+1）(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1) （2）(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2) 提示： （1）小题前两个因式可利用平方差公式计算，后两个因式也可利用平方差公式计算，也可以将第一个因式与第四个因式结合利用立方和公式，第二个因式与第三个因式结合利用立方差公式（2）小题类似。 参考答案： （1） 解法一： （x+1）(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1) = (x2-1)(x2+1)2-x2 = (x2-1)(x4+2x2+1-x2) = (x2-1)(x4+x2+1) = (x2-1)(x2)2+x2-1+1

13、2 = (x2)3-13= x6-1 解法二： （x+1）(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1) = (x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1) =（x3+1）(x3-1) = (x3)2-12 = x6-1 （2） 解法一： （a+b）(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2) = (a2-b2)(a2+b2)2-(ab)2 = (a2-b2)(a4+2a2b2+b4-a2b2) = (a2-b2)(a4+a2b2+b4) = (a2)3-(b2)3 = a6-b6 解法二： （a+b）(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2) = （a+b）(a2-ab+b2

14、)(a-b)(a2+ab+b2) = (a3+b3)(a3-b3) = (a3)2-(b3)2 =a6-b6 说明： 进行整式乘法运算时，要注意观察题目的特点，统观全局，恰当地选用所学的乘法公式或用乘法法则进行计算，以上两道小题的解法中，显然解法二先运用立方和，立方差公式，再运用平方差公式，这样做既简便又不易出错。第三阶梯 例1 （1）化简化求值：（x+2）(x2-2x+4)+(x-1)(x2+x+1)，其中 （2）解方程：（2x+1）2-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0 提示： 用乘法公式进行化简 参考答案： （1） （x+2）(x2-2x+4)+(x-1)(x2+x+1) = x3

15、+8+x3-1 = 2x3+7 当时， （2）（2x+1）2-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0 解： （4x2+4x+1）-(x2-1)-3x2+3x=0 4x2+4+1-x2+1-3x2+3x=0 7x=-2 说明： 在化简求值和解方程的过程中，如果遇到多项式的乘法，应先观察能否运用乘法公式，如果能运用，很多乘法就可直接应用公式写出结果，这充分简化了计算过程。 例2已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值。 （1）a2+b2 (2) a2-ab+b2 (3) (a-b)2 (4) a3+b3 提示： 由完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2,可知a2+b2=(a+b)2-2a

16、b,利用已知条件可求出a2+b2的值，再分别代入（2），（3），（4），可求出（2），（3），（4）式的值。注意，第（4）小题应逆用立方和公式。 参考答案： (1) a2+b2=(a+b2)-2ab=32-2(-8)=9+16=25 (2) a2-ab+b2=a2+b2-ab=25-(-8)=25+8=33 (3) (a-b)2=a2-2ab+b2=a2+b2-2ab=25-2(-8)=25+16=41 (4) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a2+b2-ab)=325-(-8)=333=99 说明： 灵活运用公式变形和逆用公式，这些都是常用的解题技巧。 例3若两个连续

17、自然数的平方差是17，求这两个自然数的和？ 提示： 设一个自然数为x,另一个自然数为x+1，根据题意，列出方程，求出这两个自然数，进而求出它们的和 参考答案： 解：设这两个连续自然数是x,x+1 根据题意得， (x+1)2 -x2 =17 x2+2x+1-x2=17 2x+1=17 2x=16 x=8 x+1=8+1=9 x+(x+1)=8+9=17 答：这两个自然数的和是17。 说明： 解方程时还可逆用平方差公式(x+1)2-x2 =（x+1+x）(x+1-x)=2x+1 四、检测题A组 选择题 1下列各式能用平方差公式进行计算的是（ ） A.（a+2）(-a-2) B.(-x-y)(y-x

18、) C. D.(2x+y)(x-2y) 2若16x2+mxy+81y2是一个完全平方式，则m的值为（ ） A.36 B.72 C.-72 D.72 3a3-27b3的一个因式是 （ ） A.a2+3ab+9b2 B.a2+3ab+9b2 C.a2-3ab+b2 D.a2-3ab+b2 4若x+y=9,xy=16，则 x2+y2=( ) A.81 B.17 C.49 D.145 填空题 1、（3x+2y）=( ) = 9x2-4y2 2、（-1+2a）(-1-2a) =( ) 3、（0.3x+y）2=( ) 4、x2+x+( )= 5、9x2-( )+49y2=(3x-7y)2 6、(2a+3b)(4a2-6ab+9b2) =( ) 7、( )(m4-m2+1)=m6+1 8、a2+b2=(a+b)2- ( ) 9、(a+b)2=(a-b)2+ ( ) 10、(p2-q) ( )=p6-q3B组 1、计算： (1)（x+2）(x-2)(x2+4) (2)(x-y+1)(x+y-1) (3)(a+b+c)2 (4)(x+3)