考研数学线性代数强化资料-矩阵的概念及运算

1、2017考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。中公考研辅导老师为考生准备了【线性代数-矩阵的概念及运算知识点讲解和习题】，希望可以助考生一臂之力。同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vip1对1等课程，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了解咨询。模块三 矩阵的概念及运算 教学规划【教学目标】1、全面复习矩阵的各类运算及其相关运算法则2、掌握与矩阵的运算相关的各类基本题型的求解思路【主要内容】1、矩阵的基本运算2、矩阵的常用运算法则3、矩阵方幂的计算【重难点】1、对矩阵的运算法则的掌握和运用2、矩阵方幂的计算 知识点回顾一基本概

2、念1矩阵的定义由个数排列成的行列数表称为矩阵，简记为.当时，也称为阶方阵.两个矩阵，如果则称它们为同型矩阵.如果两个同型矩阵对应的元素相等，也即，则称矩阵与矩阵相等，记作.2特殊矩阵（1）零矩阵：所有元素均为0的矩阵称之为零矩阵，记为.（2）对角矩阵：主对角线以外的元素均为0的矩阵称之为对角矩阵.（3）数量矩阵：主对角线上的元素均相等的对角矩阵称之为数量矩阵.（4）单位矩阵：主对角线上的元素均为1，其余元素均为0的矩阵称之为单位矩阵，记作.（5）上（下）三角矩阵：主对角线以下的元素全为0的矩阵称之为上三角矩阵；主对角线以上的元素全为0的矩阵称之为下三角矩阵.（6）对称矩阵：如果矩阵的转置等于，

3、则称为对称矩阵.如果矩阵的转置等于，则称为反对称矩阵.（7）正交矩阵：设是阶矩阵，如果，则称是正交矩阵.二矩阵的运算1.加法设，是两个矩阵，定义矩阵为矩阵与矩阵的和，记作.2.数乘设是一个矩阵，为任意实数，则定义，称之为矩阵的数乘.3.转置设是一个矩阵，定义矩阵为矩阵的转置，记作.4.乘法设，（注意的列数和的行数相等），定义矩阵，其中，称为矩阵与矩阵的的乘积，记作.三矩阵的运算法则1加法与数乘交换律：；结合律：；分配律：.2转置3乘法结合律：；分配律：；数乘与乘法的结合律：.方幂：.4.不成立的运算法则1）交换律：矩阵乘法一般来说不满足交换律.事实上，满足的情况是比较少的，在线性代数中我们称满

4、足该等式的矩阵与可交换.2）消去律：矩阵的运算也不满足消去率.四矩阵的分块1.定义用水平和竖直的直线将矩阵分成很多小块，每一块称之为的一个子矩阵，则称为以这些子矩阵为元素的分块矩阵.2.运算大多数情况下，我们只需要掌握分成4块的分块矩阵就可以了，即如下形式的矩阵：.对分块矩阵也有相应的加法，数乘、转置等运算：，3.矩阵按行或按列分块另一种常见的分块方式，是将矩阵按行或列分块，也即写成或，其中和分别代表矩阵的列向量和行向量.这种情况下的加法、数乘和转置运算和前面类似，我们着重讲一下乘法：设，假设为矩阵，则矩阵按行分块时的运算法则类似.这种矩阵分块的方式我们在上一讲计算抽象矩阵行列式时已经用到过，

5、可以用于矩阵的分解. 考点精讲一矩阵的定义及常见的运算法则【例1】：设为三维列向量，则 .【答案】：3【例2】：证明：上三角矩阵与上三角矩阵的乘积仍为上三角矩阵.【例3】：假设为矩阵，为阶反对称矩阵，证明：为阶对称矩阵.【例4】：设为维列向量，并且，证明：为对称正交阵.【例5】：已知,均为阶矩阵, ,证明.二矩阵方幂的计算1秩等于1型【例6】：已知,试计算.【答案】： 【例7】： 已知,试计算.【答案】： 2使用二项式定理【例8】：设，求.【答案】： 【例9】：已知,试计算.【答案】：【例10】：已知,试计算.【答案】：小结：（1）例8的结论可以推广为：；（2）形如或的计算方法为：先将矩阵分解

6、为或者的形式，再利用二项式定理展开.【例11】：已知,试计算.【答案】：3利用矩阵相似【例12】：设，求.【答案】： 【例13】：已知,为3阶矩阵，满足，求.【答案】：E小结：现将矩阵的方幂的计算方法做如下小结，以便于考生掌握：（1）秩为1的矩阵（各行成比例） 方法：将矩阵分解成一个行向量与列向量的乘积，利用矩阵乘法的结合律导出递推公式；（2）型的矩阵方法：将矩阵分解为再利用二项式定理计算；（3）利用矩阵的相似 假设矩阵相似与，则有，此时.三矩阵可交换的讨论【例14】：1）已知，求所有与可交换的矩阵.2）已知，求所有与可交换的矩阵.【答案】：1），2） 【例15】：假设均为阶方阵，且满足，试证明可交换.【例16】：假设均为阶方阵，则有（ ）