2.2.1 双曲线及其标准方程.ppt

1、2.2双曲线 2.2.1双曲线及其标准方程,【阅读教材】 根据下面的知识结构图阅读教材，并识记双曲线的定义和标准方程，初步会求双曲线的标准方程,【知识链接】 1.反比例函数的图象：函数y= 的图象是双曲线 2.椭圆的定义：平面内与两定点的距离的和是常数(大于两定点间距离)的点的轨迹,主题一：双曲线的定义 【自主认知】 1.若把椭圆定义中的与两定点的“距离之和”改成“距离之差的绝对值”，这时轨迹又是什么曲线？ 提示：双曲线.,2.如图所示|MF1|与|MF2|哪个大？若点M在另一支上呢？ 提示：点M在右支上时，|MF1|MF2|； 若点M在左支上，则有|MF1|MF2|.,3.双曲线上的点M与F

2、1，F2的距离之差是|MF1|-|MF2|还是|MF2|-|MF1|？ 提示：既包括|MF1|-|MF2|，也包括|MF2|-|MF1|.,根据以上探究过程，试着写出双曲线的定义： 平面内与_ _叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点， 两焦点间的距离叫双曲线的_.,两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于,|F1F2|)的点的轨迹,焦距,【合作探究】 1.双曲线的定义中规定“距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)”，若不满足，会是什么结果？ 提示：若常数等于|F1F2|，则轨迹为以F1，F2为端点的两条射线；若常数大于|F1F2|，则轨迹不存在.,2.如果已知双曲线及双

3、曲线上一点到其中一个焦点的距离，能否得到它到另一焦点的距离？ 提示：能.根据双曲线的定义，双曲线上的点到两定点的距离之差的绝对值为常数，如果已知双曲线上一点到其中一个焦点的距离，可以求出它到另一个焦点的距离.,【过关小练】 若F1，F2是两定点，动点P满足|PF1|-|PF2|=2a(02a|F1F2|)，则动点P的轨迹是() A.双曲线 B.双曲线靠近F2的一支 C.双曲线靠近F1的一支 D.一条线段,【解析】选B.由双曲线定义当|PF2|-|PF1|=2a(02a|F1F2|)时动点P的轨迹是双曲线，所以满足|PF1|-|PF2|=2a(02a|F1F2|)的动点P的轨迹是双曲线靠近F2的

4、一支.,主题二：双曲线的标准方程 【自主认知】 1.根据双曲线的几何特征，如何建立坐标系才能使双曲线的方程比较简单？ 提示：选择x轴(或y轴)经过两个定点F1，F2，并且使坐标原点为线段F1F2的中点，这样两个定点的坐标比较简单，从而求得的双曲线方程也简单.,2.若以两焦点F1，F2所在直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线所在直线为y轴建立坐标系，则此时双曲线上任一点M满足的条件是什么？ 提示：根据双曲线的定义知满足条件|MF1|-|MF2|=2a.,根据以上探究过程，试着写出求双曲线的标准方程：,(-c，0)，(c，0),(0，-c)，(0，c),a2+b2,【合作探究】 1.利用待定系数

5、法求双曲线标准方程的关键是什么？ 提示：确定参数a，b的值. 2.求双曲线的标准方程时，设出双曲线方程的关键是什么？ 提示：关键是先确定焦点的位置，若双曲线的焦点位置不能确定，要分别写出焦点在x轴、y轴上的双曲线的标准方程，不能遗漏.,【过关小练】 1.已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点 和 则双曲线的标准方程是_. 【解析】由已知，可设所求双曲线方程为 解得 所以双曲线的方程为 答案：,2.已知双曲线x2-y2=m与椭圆2x2+3y2=72有相同的焦点，求m的值. 【解析】椭圆方程为 c2=a2-b2=36-24=12, 所以焦点 双曲线 与椭圆有相同焦点， 所以2m=12, 所以m=

6、6.,【归纳总结】 1.对双曲线定义的三点说明 (1)a，c关系：00)小于|F1F2|”.,(3)左右支：当M满足|MF1|-|MF2|=2a|F1F2|时，M点的轨迹是离点F2较近的双曲线一支；当M满足|MF2|-|MF1|=2a|F1F2|时，M点的轨迹是离点F1较近的双曲线一支.,2.对双曲线标准方程的四点说明 (1)双曲线的焦点在x轴上标准方程中的x2项的系数为正；双曲线的焦点在y轴上标准方程中的y2项的系数为正. (2)求双曲线的标准方程，首先要确定焦点的位置，选择好标准方程的形式，再根据条件求出a2和b2的值即可，也就是先定位再定型.,(3)注意标准方程中字母参数a，b与半焦距c

7、的条件及关系：c2=a2+b2，ca0，cb0，a与b的大小不定. (4)当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才是标准方程.,【拓展延伸】 1.双曲线与椭圆的区别与联系,2.翻转法求焦点在y轴上的椭圆方程 可借助于化归思想，抓住图(1)与图(2)的联系即可化未知为已知，将已知焦点在x轴上的椭圆的标准方程转化为焦点在y轴上的椭圆的标准方程.只需将图(1)沿直线y=x翻折或将图(1)绕着原点按逆时针方向旋转90即可转化成图(2)，需将x轴、y轴的名称换为y轴、-x轴.,类型一：求双曲线的标准方程 【典例1】(1)(2015嘉兴高二检测)已知双曲线两个焦点的坐标为F1(0，-

8、5)，F2(0，5)，双曲线上一点P到F1，F2的距离之差的绝对值等于6.则双曲线的标准方程为_. (2)动圆M与C：(x+2)2+y2=2内切，且过点A(2，0)，求圆心M的轨迹方程.,【解题指南】(1)由题意焦点在y轴上，设出标准方程利用待定系数法求解. (2)利用两圆内切和圆过定点，可以得到点M满足的条件，进而判断符合双曲线的定义.,【解析】(1)因为双曲线的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为 因为2a6,2c10， 所以a3，c5. 所以b2523216. 所以所求双曲线标准方程为 答案：,(2)设动圆M的半径为r,因为C与M内切，点A在C外，所以|MC| = MA=r,因此有MA-

9、MC= 所以点M的轨迹是以 C,A为焦点的双曲线的左支，即M的轨迹方程是,【延伸探究】 1.(变换条件)本典例(2)改为动圆与C1：x2+(y-1)2=1和C2： x2+(y+1)2=4都外切，求圆心M的轨迹方程. 【解析】因为M与C1、C2均外切，所以|MC1|=r+1，|MC2|=r+2， 因此有|MC2|-|MC1|=1，所以点M的轨迹是以C2，C1为焦点的双曲线的 上支，所以M的轨迹方程是,2.(变换条件)本典例(2)中条件改为动圆M与C1：(x+3)2+y2=9外 切，且与C2：(x-3)2+y2=1内切，求圆心M的轨迹方程. 【解析】因为M与C1外切，且M与C2内切，所以|MC1|

10、=r+3， |MC2|=r-1，因此|MC1|-|MC2|=4，所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的 双曲线的右支，所以M的轨迹方程是,【规律总结】 1.待定系数法求方程的步骤 (1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴. (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式, 若不知道焦点的位置,则进行讨论,或设双曲线的方程为Ax2+ By2=1(AB0). 与双曲线 共焦点的双曲线的标准方程可设为 (-b2a2).,(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值. (4)结论：写出双曲线的标准方程. 2.定义法求双曲线方程的步骤 (1)列出动点满足的条件 (2)整理化简条件式，

11、若满足动点到两定点的距离的差(或差的绝对值)是常数，则可以判定动点的轨迹是双曲线的一支(或完整的双曲线) (3)利用两定点间的距离和常数，可以求出a，c，进而得系数b，可以写成标准方程.,【补偿训练】1.已知双曲线的焦点分别为(0，2)，(0,2)，且经过 点P(3,2)，则双曲线的标准方程是_ 【解析】由题知c2，又点P到(0，2)和(0,2)的距离之差的绝对 值为2a， 所以a1，所以b2c2a23，又焦点在y轴上， 所以双曲线的标准方程为 答案：,2.已知与双曲线 共焦点的双曲线过点 求该双曲线的标准方程 【解析】已知双曲线 得c2a2b216925， 所以c5. 设所求双曲线的标准方程

12、为 依题意，c5，所以b2c2a225a2， 故双曲线方程可写为,因为点 在双曲线上， 所以 化简得，4a4129a21250， 解得a21或 又当 时，b225a2 不合题意，舍去， 故a21，b224. 所以所求双曲线的标准方程为,类型二：双曲线的定义 【典例2】已知F1，F2是双曲线 的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32.试求F1PF2的面积. 【解题指南】由条件知|PF2|PF1|6,再利用余弦定理得F1PF2的边角关系，进而求得面积.,【解析】由已知得，a=3，b=4， 所以2c=10，2a=6. 因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|-|PF1|=6，两

13、边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=36， 所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|PF2|=36+232=100.,在F1PF2中，由余弦定理， 得cos F1PF2 所以F1PF290， 所以,【延伸探究】 1.(变换条件)若双曲线上一点P到焦点F1的距离为10，求点P到焦点F2的距离. 【解析】由双曲线的标准方程 可知a3，b4， 由双曲线的定义，得|PF2|PF1|2a6， 则|PF2|10|6，解得|PF2|4或|PF2|16.,2.(变换条件)把题设条件“|PF1|PF2|32”换成“|PF1|PF2|25”，试求F1PF2的面积. 【解析】由|PF

14、1|PF2|25，|PF2|PF1|6， 可知|PF2|=10，|PF1|4. 所以,【规律总结】双曲线中的焦点三角形 双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形.令|PF1|=r1，|PF2|=r2,F1PF2=,因|F1F2|=2c,所以有 (1)定义：|r1-r2|=2a. (2)余弦公式：4c2=r12+r22-2r1r2cos . (3)面积公式： 一般地，在PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.,【补偿训练】平面内有两个定点F1(5，0)和F2(5，0)，动点P满足|PF1|PF2|6，则动点P的轨迹方程是( ),【解析】选D.因为

15、F1(5，0)和F2(5，0)，|PF1|PF2|6,根据双 曲线的定义可得动点P的轨迹是双曲线的右支，且c=5,a=3,b=4,故动 点P的轨迹方程为,类型三：双曲线标准方程的应用 【典例3】(1)(2015益阳高二检测) 若方程 表示双曲线，则k的取值范围是( ) A(5,10) B(，5) C(10，) D(，5)(10，),(2)双曲线方程为x22y21，则它的右焦点坐标为( ) (3)若双曲线 的焦点在y轴上，则m的取值范围是( ) A(2,2) B(2，1) C(1,2) D(1,2),【解题指南】(1)方程是双曲线方程，则分母异号. (2)把方程化为标准形式即可确定. (3)焦点

16、在y轴上，则y2的系数为正，x2的系数为负.,【解析】(1)选A.由题意得(10k)(5k)0，解得5k10. (2)选C.因为双曲线方程为 所以a1， 得 所以它的右焦点坐标为 故C正确 (3)选B.由已知得 即-2m-1,【规律总结】标准方程的应用的关注点 (1)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围. (2)牢记标准方程的特点 左端为两个平方项的差，右端为常数1. x2，y2的系数的正负决定焦点位置. a，b的大小关系不确定.,【巩固训练】已知方程kx2+y2=4，其中k为实数，对于不同范围的k值 分别指出方程所代表的图形的类型. 【解析】(1)当k=0时，y2=4，即y=2，表示两条平行于x轴