改进节点法及其应用

1、改进节点法及其应用Modified Nodal Approach and Its ApplicationWANG Xiao-huaABSTRACT:This paper introduces the fundamental concepts of modified nodal approach(MNA) and the method to write node equations,.It analyses the application of MNA in writing multiport hybrid matrix, analysis of passive and active filte

2、r, obtaining state equations, analyzing multiphase coupled networks, time domain analysis of transformer , establishing generalized state equations and multipleport equations and improving the reliability of numerical circuit simulation. In addition, in order to decrease the order of equations ,this

3、 paper develops two new methods.called the compact modified node approach and two-figure modified nodal approach KEY WORDS:modified nodal approach application compact modified node approach two-figure modified nodal approach摘要：本文介绍了改进节点法(MNA)基本概念及其节点方程的列写方法，简单分析了改进节点法在列写多端口混合矩阵、分析无源和有源滤波器、获取状态方程、分析多

4、相耦合网络、对变压器进行时域分析、建立广义状态方程和多端口方程及提高数字电路仿真的可靠性等方面的应用。另外，本文针对改进节点存在冗余变量等不足提出了紧凑改进节点法及双图改进节点法关键词：改进节点法 应用 紧凑改进节点法 双图改进节点法1. 改进节点法概述1.1常规节点分析法电路分析和设计的首要任务是将一个实际的电路用一整套数学方程来描述,建立电路方程的方法很多,节点电压法是分析、求解电路的最方便最快捷的方法。 所谓常规节点分析法就是以节点电压为电路变量建立电路方程进行分析计算的一种方法。它以(n-1)个独立节点的节点电压为变量,利用电路的拓扑结构和支路约束方程,来建立电路的节点电压方程，由节点

5、电压方程求得节点电压后，便可根据KVL求出电路中各支路电压，进而根据各支路VAR求出各支路电流1。常规节点法与网孔电流法、支路法、表格法等相比具有显著的优越性,主要表现在它所涉及的变量少、方程数少,因而被广泛采用。但常规节点电压法有其局限性,常规节点分析只适用于支路具有压控型特性方程的电路，对于具有流控型特性方程支路的电路，节点法无法进行分析，这就妨碍了节点法在非线性网络分析中的应用。为了克服这一缺点，人们提出了改进节点分析法（Modified Nodal Approach）2。1.2改进节点法改进节点分析法是在节点分析的基础上发展起来的，除了仍以节点电压为变量外，还引入了流控型支路的电流和输

6、出电流作为附加变量，这一方法已成为分析电路的第二种一般分析方法。改进节点法的要点是:增加零阻抗支路的支路电流作为待求变量,相应地增添困难支路的支路电压用节点电压表示的补充方程。具体操作时,可以把受控电压源当独立电压源处理。相比较而言,改进节点电压法比常规节点电压法具有更强的处理能力,尤其是当电路结构比较复杂、方程组比较庞大时,借助专用软件:如matlab或pspice等来求解电路时,改进节点电压法的优点会显得更加突出。2. 改进节点方程2.1改进节点方程简介假设待分析的电路中有n个节点、b条支路，其中有bv条理想电压源支路，包括电流源控制支路。那么，取n-1个非参考节点电压Vn和bv个电压定义

7、支路的电流Iv作为未知的电路变量，这样列写出来的方程称为改进的节点电压方程，它保留了方程阶数低的优点，而且克服了基本节点法不能直接处理理想电压源支路、阻抗为零支路以及流控器件的缺点。改进节点电压方程可由直观法写出，它由两部分组成，一部分是以节点电压为变量列写所有独立节点的电压方程，每遇到一个流控型支路就在方程中引入对应的电流作为附加变量；另一部分方程是由节点电压和附加电流表示的流控型支路的方程和输出支路方程。改进节点电压方程一般比稀疏表格方程少，但没有表格方程概念清晰。2.2改进节点方程的建立建立改进的节点电压方程的基本思想是将网络中的元件分为三类：第一类：用导纳描述的元件。这些元件只需选节点

8、电位作为方程变量。第二类：不用导纳描述的元件，如独立电压源、受控电压源。此外，还包括那些需要支路电流作为输出变量的元件，如电感、互感元件等。第三类：独立电流源。这三类元件的特性方程分别为： （1） （2） （3）同样，将A表示的KCL和KVL也分为相应的三部分： （4） （5）推导得： (6)为便于描述，将上述方程改写为 (7)这就是把理想电压源支路当作电流源 Iv 写出节点分析方程，再以 Vn 和 Iv 为变量写出电压定义支路的支路关系便得到的 MNA 方程。下面讨论各种元件对上述方程的贡献。假设独立电压源所在支路节点为，其元件特性方程为：为独立电压源所在支路的电流，与电压满足关联参考方向。

9、则上式可改写为若写成矩阵，则为：其中，和分别为该理想电压源作为电流源看待时，附加到的部分，即，所以，,对比即可知，是理想电压源支路对应的节点支路关联矩阵，,当该支路为理想电压源时，支路中的串联电阻为零，也即导纳为零，因此有。将上述矩阵写成表的形式。如此类推，可得其它典型元件对应的表单值。根据支路方程，线性电阻电路中常用的八种典型元件支路对矩阵 Y、B、V、D 和向量 J、E 的贡献如表1所示。根据表1便可以很容易的由算法程序根据输入的电路网络模型列写出矩阵 Y、B、V、D 和向量 J、E，即 MNA方程，完成线性电路方程的建立。表1：八种典型元件支路对矩阵 Y、B、V、D 和向量 J、E 的贡

10、献表元件支路方程对矩阵Y、B、V、D和向量J、E的贡献电导G独立电压源VS（第k条电压定义支路）独立电流源CS电压控制电流源VCCS电压控制电压源VCVS（第k条电压定义支路）电流控制电压源CCVS(第k1、k2条电压定义支路)电流控制电压源CCVS（第k1,k2条电压定义支路）理想运算放大器IOPAMP非理想运算放大器OPAMP电压控制电压源VCVS3.改进节点法的应用3.1改进节点法在列写多端口混合矩阵中的应用4n端口混合矩阵经常用于解决许多实际问题，比如说处理非线性网络，列写状态方程和列写诊断方程等等。用混合矩阵来描述多口网络的一般形式如下：其中矩阵只有当多端口网络内有独立源时才出现，为

11、混合矩阵。目前得到混合矩阵一般基于图论，会产生大量的方程，与此相比，利用改进节点法获取混合矩阵的主要优势在于减少了大量的方程并且网络的拓扑矩阵独立。以线性电路为例，设电路有p个端口，n个节点，b条支路且其中m条支路为非压控支路，则利用MNA解决该问题需要m+n个方程，与2b个方程相比较要少得多。而且利用添加支路法我们可以很直接的得到电路的MNA方程。举例来说，假设一个多口网络的所有端口都以非口器终止，则矩阵形式MNA方程为：经过一系列矩阵变换，我们得到：，其中为单位阵。对比可得,我们可以比较容易的得到混合矩阵。综上，利用MNA我们可以比较简单明了的得到多端口网络的混合矩阵，而且这种方法也适用于

12、计算机编程使用。3.2利用改进节点电压分析无源和有源滤波器5滤波器是一种信号处理器，分为模拟滤波器和数字滤波器。模拟滤波器用来处理模拟信号或者连续时间信号，数字滤波器用来处理离散的时间信号或者数字信号。模拟滤波器又可以分为无源滤波器和有源滤波器。无源滤波器是谐波抑制的传统方法，采用电力电容器和电抗器等无源器件适当组合构成的无源滤波器与需治理的非线性负载并联，为谐波形成一个低阻通路的同时，在基波下，也为负载提供所需的无功功率，这种方法在滤除谐波的同时也能补偿无功功率。由于采用的基本原件是电容和电抗，因此成本低，技术成熟，结构比较简单。有源电力滤波器是一种可以动态滤波谐波、补偿无功功率的新型电力电

13、子装置，它能对大小和频率都变化的谐波以及变化的无功进行补偿，其应用可以克服无源滤波器等传统谐波抑制和无功补偿的缺点。滤波器根据频响一般设计成四种，分别为巴特沃斯滤波器，椭圆滤波器，切比雪夫滤波器和贝塞尔汤姆森滤波器，本文我们以拥有巴特沃斯特性的带通无源滤波电路和低通有源滤波电路为例。RLC串联带通无源滤波电路如图1：CLRVS图1：RLC串联带通无源滤波电路通过实例利用MNA建立RLC串联带通无源滤波电路的电路方程，通过仿真可得其频率增益特性和频率输出特性,如图2：图2：RLC串联带通无源滤波电路仿真频率增益特性和频率输出特性二阶巴特沃斯低通有源滤波电路如图3：VOVS图3：二阶巴特沃斯低通有

14、源滤波电路通过实例利用MNA建立二阶巴特沃斯低通有源滤波电路的电路方程，通过仿真可得其频率增益特性和频率输出特性，如图4：图4：二阶巴特沃斯低通有源滤波电路仿真得频率增益特性和频率输出特性3.3利用改进节点法获取状态方程6以前所了解的获取状态和输出方程的方法是图论法、混合矩阵法或多端口法，这些方法包含大量的矩阵加法、乘法和矩阵变换，当状态变量是电容电压和电感电流时就会有一定的局限性。当利用改进节点法时多数变量为节点电压，电路方程形式如：其中和是两个阶方阵，为阶矩阵（其中为输入量个数），为包含初始条件的相量，为阶矩阵（其中为输出量个数），包括节点电压、电感电流和电压源电流。经过一系列变换，经多次

15、循环计算即可得到电路状态方程。利用改进节点法建立电路方程更直接且更容易应用于计算机。3.4利用改进节点法分析多相耦合网络7在线性网络的符号和数字分析方面改进节点法比传统的分析方法有明显的优势，这引起了人们对改进节点法在处理多相耦合电阻方面功效的研究，比如说多导体传输线和电缆，它们的电长度较短所以网络元件是离散的集总电阻。以连接a点和b点多导体传输线为例，约束方程为：其中和分别为a、b两点的电压，为阻抗矩阵，为流过的电流，从a到b。如果强制和分别从a点和b点流入，则将（掺入MNA矩阵）如：其中是单位阵。3.5利用改进节点法对变压器进行时域分析8变压器是电力系统最重要的组成部分在利用计算机分析电力

16、系统时建立变压器合适的数学模型非常重要，模型的效率取决于建模所用的方法。在系统分析中有两种方法可以获取电路方程：改进节点法和状态变量法。状态变量法依靠图论，不适用于分析开关系统。利用MNA对变压器进行时域分析的基本特性就是能够简单快速的获取系统方程，基于系统方程给出一个包含所有和与变压器相关的等效电路参数的模型。通过具体实例，对比实验结果和利用MNA得到的仿真结果，两者差别很小，仅为测量误差和读入误差。另外，利用MNA还可以得到传递函数和冲击响应。3.6广义状态方程和多端口方程的建立9对线性时不变有源网络有两种节点分析法：降阶改进节点法（RMNA）和降阶零器节点法（RNAN）。其中RNAN的应

17、用范围更加广泛，原因如下：1）独立源和四种受控源都有其零器等效模型，一些设备，如理想运算放大器，利用零器可以精确建模，但利用独立源只能建立近似模型。2）在含零器网络中仅需要四种类型的元件导纳、独立电流源和零器，编程更加简单。通过分析，RMNA和RNAN可用于线性和非线性网络的分析，由此获得的广义状态方程和多端口方程阶数比键表法获得方程的阶数低。RMNA和RNAN不需要选择树，比自由端口法简单。3.7利用改进节点法提高数字电路仿真的可靠性10改进节点分析是电路仿真中最适用的方法，一旦写出节点电压方程和流控支路的附加变量方程就可以得到非线性系统的代数或微分方程。通过线性的多步积分，微分方程转变为非

18、线性的代数方程。虽然许多情况下电脑的精度不是问题，但有一些经常出现的特殊情况会导致在最初始形成电路方程的时候出现病态矩阵或奇异矩阵，这种不足在出现非线性元件或者积分时间步长较短时发生。另一种情况，电容器的伴随模型中存在大电导时会引入舍入误差。将MNA改进一下就可以解决上述问题。它建立在将传统MNA的变量和方程重组的基础上，很容易应用到计算机仿真中。4. 基于改进节点法的新分析法目前，改进点法(MNA)已广泛用于网络的计算机辅助分析和设计，用来系统地列写网络方程。然而，它的缺点电是明显的就是它在处理电压源(独立或受控)时，总要引入其支路电流作为附加变量，在处理含有控制电流的电阻、电导和电容等元件

19、时，也要将其控制电流作为附加变量，结果导致方程数目的增加。另外，在某种情况下其网络矩阵会出现主对角线零元或主对角线奇异矩阵块，在采用高斯消元法和稀疏矩阵技术求解时，会导致算法中断或产生很大误差。因此，基于改进节点电压法人们提出了新的分析法，本文简单介绍紧凑改进节点法和双图改进节点法。4.1紧凑改进节点11针对改进节点法存在的上述问题，我们提出了紧凑改进节点法，其基本思想是用一个封闭面将连接电压源的节点包围起来，对这个广义节点应用KCL关系写出割集方程，再补充上与电压源有关的KVL关系。这样就可避免列出不必要的方程，从而减小方程维数。4.2双图改进节点法12双图改进节点法简称双图法，是将由一个拓

20、朴图描述电路拓朴信息的改进节点法改为由两个拓朴图描述的改进节点法。从双图法的定义可看出，双图法的基本思想是用两个不同拓 朴图来描述同一个网络电路，即用来描述支路电压之间的关系，列KVL方程；用来描述电路 电流之间的关系，列KCL方程。从而消除了改进节点法方程组中的一些冗余变量，降低了方程组的阶数。建立I一图和V一图的一般规则1）如果电路中某支路电流为零，则在I一图中略去该支路。2）如果电路中某支路电压为零，则在V一图中略去该支路。3）如果电路中某支路的特性方程中不存在支路电流变量，而且对该支路电流不感兴趣 则可在I一图中略去该支路。4）如果电路中某支路的特性方程中不存在电压变量，而且对该支路电

21、压不感兴趣，则可在V一图中略去该支路。按照上述原则，对同一电路建立的I一图和V一图，其结构、节点数和支路数可能不同，当然其关联矩阵也相同。根据I一图和V一图以及双图法的特点直接写出电路节点方程组我们根据双图法建立改进节点方程组的特点，可归纳出直接填写电路节点方程组的一般步骤，步骤如下：第一步，根据电路图画出原拓朴图，再根据I一图和V一图的规则画出此电路图的I一图和V一图。第二步，根据此电路图的I一图和V一图填写Yn1子阵。Yn1子阵的矩阵元素Gmn的值为第一个脚标对应I一图节点m还原为原拓朴图的节点m，第二个脚标对应V一图节点n,还原为原拓朴图的节点n后，节点m与节点n之间的导纳。如果m=n则

22、为自导纳，否则为互导纳。第三步，根据此电路图的I一图和V一图列出非导纳描述元件的特性方程，再根据特性 方程，在已经形成的子矩阵(最初为Yn1子阵)的基础上，依次增加一行或一列，从而实现对系数矩阵和右端的送值。为了填写方便，可列出常用元件的送值表，这里从略。第四步，把所列出的节点方程组中的分图变量还原成原拓朴图的变量。双图改进节点法大大降低了方程组的阶数，非零元也显著减少，但由于列方程时要附加拓朴图的运算，编程略显复杂些。双图法在处理含有较多受控源或短路的情况下，其效果较为明显，尤其是处理开关电容电路。此外，假如非线性网络中仅包含电压控制的电组元件和电压控制的电流源，或者能转换成电压控制的电流源

23、的其它受控源，也可用双图法建立网络方程组。5 结论1）常规节点电压法有其局限性,常规节点分析只适用于支路具有压控型特性方程的电路，对于具有流控型特性方程支路的电路，常规节点法无法进行分析，因此人们提出了改进节点分析法。2）改进节点法(MNA)基本概念及其节点方程的列写方法简单明了，而且适合计算机运算。3）改进节点法在列写多端口混合矩阵、分析无源和有源滤波器、获取状态方程、分析多相耦合网络、对变压器进行时域分析、建立广义状态方程和多端口方程及提高数字电路仿真的可靠性等方面均有应用，且效果良好。4）改进节点法存在冗余变量，且在网络矩阵出现主对角零元或主对角线奇异矩阵块时会出现很大误差，由此提出了紧

24、凑改进节点法及双图改进节点法致 谢参 考 文 献1梁贵书，电网络分析理论M华北电力大学，2005：168-174.2梁贵书，董华英.电路理论基础（第三版）M.中国电力出版社。2009:65-83.3 Wedepohl L M, Jackson L. Modified nodal analysis: an essential addition to electrical circuit theory and anaIysis J. Engineering science and education journal,2002,11(3):84-924Augusto A S, Almeida C F

25、 B. Use of modified nodal analysis to write multiport hybrid matrixJ.Electronics Letters,1991,27(19):1750-17525Kelebekler E,Yildiz A B.Analysis of passive and active filters using modified nodal approachC. 5th International Conference and Workshop on Compatibility in Power Electronics,Gdansk, POLAND ,20076Nata