第74讲 几何证明与计算K字型的妙用

1、 第74讲-几何证明与计算(K字) 型的妙用 第二轮复习 几何证明与计算第74讲 K”字型的妙用）（“三角形和四边形作为初中几何的核心知识，是近几年重庆中考重点考查的内 容，试卷呈现的有关几何题问题的计算、证明与探究，能较好地考察学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，常考的知识包括：全等三角形、特殊三角形和特殊四边形性质与判定，线段中垂线、角平分线的性质与判定等相 关知识，灵活地掌握辅助线的做法是解决这类问题的关键。 学习目标： 字型，积累作辅助线的数学经验1. 学会识别、构造“K” 经历识别、构造基本图形的过程，提高综合分析问题的能力2. 字型的性质解决问题学习重点：会用“K” 字型

2、的构造学习难点： “K” 学习过程： 一、温故知新 观察下列基本图形，你能得出什么结论？DB. EDABBD，ACB、C、D在同一直线上，EC，1（）如图，已知：点E A D B C ：这个图形有什么特征？追问1 ，你有什么新的发现？，若ACCE追问2：若AC=CE 有何关系？A、ECD ）如图，已知：（2ABC=ACE=D，问：A E B D C “K”3（）字型呈现形式： 二、自主练习： . 则AE 长为 ，如图，1等边ABC的边长为9，BD=3ADE=60度，的垂直平分线交对角上的一个动点，BF是正方形ABCD的边CD2如图，F. ）的度数是（ 于点E，连接BE，FE，则EBF线AC50

3、 C60 B D不确定 45A 三、经典例题：o，过点C作AC的垂线CE，且中，例： 如图，在CE=CA，90ABC?ABC?、BE. 连接AE3,AE?tan?BAC2，求四边形 （1ABCE的面积； ）若3 （2）若，求证. BC2AB?EB?EA 四、赢在中考： ，（如图）b上a1小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线、. ） 已知2=35，则1的度数为（ C 45 BA55 35 D125点0，2），BABCD 2如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点A的坐标为（23 ，则点C的坐标为 OMBDx在轴上，对角线AC，交于点M， = yD CM A xBO 若AB于点F交作过

4、点BDEABCD3正方形中，是对角线上一点，EEFCE. BC=6BF=2，求的长FE 五、感悟数学： 六、课后作业：2的图象上，第二象限内A1 如图，已知第一象限内的点在反比例函数 y = xk3t ，anB= 的图象上，且OAOB ，的点B在反比例函数 y = 3x则k的值 ?10，B轴上，且在如图，在，A点的横坐2. 中，点Bx?90ABCRt?ABC?mm4?经过C点，双曲线点，经过A，双曲线标是2，AB=3BC?m0?y?yxxm 则的值为（ ） A12 B9 C6 D3 6的图象上，顶点在反比例函数3如图， 矩形ABCD的顶点A、D0)?(?xyxABC、B分别在x轴、y轴的正半轴

5、上，且，再在其右侧作正方形DEFG、2?BC6FPQR（如图所示），顶点F、R在反比例函数的图象上，顶点E、0)x?y?(xQ在x轴的正半轴上，则点R的坐标为 YABCD中，AECD，垂足为E，点M为4已知：在AE上一点，且ME=AB，AM=CE，连接CM并延长交AD于点F （1）若点E是CD的中点，求证：ABC是等腰三角形 （2）求证：AFM=3BCF 德中命制人：邓宏书 审稿人：刘加勇 “K”字型的妙用参考答案 二、自主练习： 17 2. 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质 【专题】几何图形问题 【分析】过E作HIBC，分别交AB、CD于点H、I，证明RtBHERtEIF，可得I

6、EF+HEB=90，再根据BE=EF即可解题 【解答】解：如图所示，过E作HIBC，分别交AB、CD于点H、I，则BHE=EIF=90， E是BF的垂直平分线EM上的点， EF=EB， E是BCD角平分线上一点， E到BC和CD的距离相等，即BH=EI， 中， 和RtEIFRtBHERtBHERtEIF（HL）， HBE=IEF， HBE+HEB=90， IEF+HEB=90， BEF=90， BE=EF， EBF=EFB=45 故选：A 【点评】本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质，考查了直角三角形全等的判定，全等三角形对应角相等的性质 三、经典例题： 【考点】全等三角形的判定与性质；

7、等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形 【分析】（1）易求得AC的长，即可求得BC，AC的长，根据四边形ABCE的面积=S+SACEABC即可解题； （2）作EDAB，EFBC延长线于F点，易证BAC=ECF，即可证明ABCCFE， 可得EF=BC，再根据等腰三角形底边三线合一即可求得AD=BD，即可解题 【解答】解：（1）ACCE，CE=CA， AC=CE=AE=， BAC=， tanBAC=30， AC=， BC= BC=， AB= 四边形ABCE的面积=S+S=AB?BC+AC?CE ACEABC =+1； += （2）作EDAB，EFBC延长线于F点， 则四边形BDEF为矩形

8、，EF=BD， ACB+ECF=90，ACB+BAC=90， ECF，BAC= ，中，和在ABCCFE AAS（），ABCCFE EF=BC， ABE中，AE=BE，EDAB， AD=BD， AB=AD+BD=2BD=2EF=2BC， 即AB=2BC 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的性质，本题中求证ABCCFE是解题的关键 四、赢在中考： 1.【考点】平行线的性质；余角和补角 【分析】根据ACB=90，2=35求出3的度数，根据平行线的性质得出1=3，代入即可得出答案 解： 【解答】ACB=90，2=35， 3=1809035=55， ab， 1=3=55 故选A 本题考

9、查了平行线的性质和邻补角的定【点评】的度数和得出3义，解此题的关键是求出 ，题目比较典型，难度适中31=正方形的性质；坐标与图形性质；【考点】2. 全等三角形的判定与性质 压轴题【专题】作过点Mx轴于点E，【分析】过点C作CE轴，根据正方形的性yF，MPxMF轴于点，BMF，可证明AMP质可以得出MB=MAOFMP就可以证明四边形就可以得出PM=MF，的值，再OF是正方形，由勾股定理就可以求出 点的纵坐标，从而得出C由AOBPBECF，过点Ex轴于点解：过点C作CE【解答】 EM，轴于点xF，连结M作MF APM=90，AOB=MFO=CEO= 是矩形，四边形POFM ，PMF=90 是正方形

10、，四边形ABCD AM=BM，ABC=AMB=90 BMF，OAB=EBCAMP=P AAS），（AMPBMF PM=FM，PA=BF， 是正方形，四边形POFMOM=3 ， OP=OF=2A（0，2）， OA=2， AP=BF=3-2=1， OB=3+1=4， 在AOB和BEC中， ， AOBBEC（AAS）， OB=CE=4 ，AO=BE=2 OE=4+2=6， C（6，4） 故答案为：（6，4） 【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行线等分线段定理的运用，坐标与图形的性质的运用，解答时求证四边形POFM是正方形是关键 3. 【考点】正方形的性质；全等三角

11、形的判定与性质 【分析】连接CF，由正方形的性质得出B=90，再由EFCE，证得 MEFNCE，得出CEF为等腰直角三角 =CF，再由勾股定理求得形，求得EF=CF 即可 【解答】解：连接CF,过点E作MNAD，交边AB于点M，边CD于点N.如图所示： 四边形ABCD为正方形， 可得四边形AMND为矩形， MN=AD=CD DNE=90，BDC=45， DN=EN ME=CN EFCE， CEF=90， MEF=ECN 且FME=ENC=90 MEFNCE（ASA）， EF=CE CEF为等腰直角三角形， =CF，EF= 由勾股定理得：CF= ，=2 EF=22， 故答案为：2 【点评】本题考

12、查了正方形性质、三角形全等的性质与判定、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键 六、课后作业： 1. 【考点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】根据相似三角形的判定与性质，可得 ，可得tanB=，根据待=，根据 定系数法，可得答案 【解答】解：作ADx轴于点D，作BCx轴 ） ，A设点坐标是（xy，于点C D=90C= AOB=90， BOC+AOD=90，AOD+OAD=90， BOC=OAD， 又D=C， OADBOC， =，tanB= ， x=OD=BC， y=AD=OC，第一象限内的点A在反比例函数y=的

13、图象 上， BC=2，xy=OC k=OC?BC=23=6， 故答案为：6 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，待定系数法求函数解析式 2.【考点】反比例函数系数k的几何意义 【分析】过点A作AEx轴于E，过点C作CFx轴于F，由A点的横坐标是2，且在双曲 m4上，求出点的坐标，得到线段的长度，线y=x 利用三角形相似得到点的坐标，列方程求解C轴于E，过点【解答】解：过点A作AEx 轴于F，作CFxm4 y=上，A点的横坐标是2，且在双曲线x， ），ABC=90A（2，2mABC+CBF=ABC+BAC=90， ABC=FCB， ABEBCF，

14、 =3， m2， ，CF=1BF=3m2，1），C（1 3m经过C点，双曲线y= ?xm2=m，1 3m=3， 故选D 【点评】本题考查了根据函数的解析式求点的坐标，相似三角形的判定和性质，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，构造直角三角形 3. 【考点】反比例函数综合题 【专题】综合题 【分析】过D作DMx轴，FNx轴，RIFN，RHx轴，由ABCD为矩形，利用对称性得三角形OBC为等腰直角三角形，继而得到三角形CDM为等腰直角三角形，即两三角形相似，且相似比为1：2，设OB=OC=a，则有CM=DM=2a，表示出D坐标，代入反比例解析式求出a的值，确定出D坐标，得出DM与OM长，利

15、用AAS得到三角形DME与三角形EFN全等，利用全等三角形对应边相等得到ME=FN，DM=EN，设F纵坐标为b，代入反比例解析式得到横坐标 为，由OM+ME+EN表示出ON，即为横坐标， 的值，bb的方程，求出方程的解得到列出关于的长，同理得到FNON，确定出F坐标，得到纵坐标全等，设RRQH三角形RFI与三角形坐标代入将R，由ON+NH表示出横坐标，为c R坐标反比例解析式求出c的值，即可确定出轴，xx轴，FN【解答】解：过D作DM 轴，RHxRIFN，在反比例图象上，且D为矩形，A与ABCD ，AB=2BC ，OCB=45BCD=90，OBC= ，MDC=45MCD= 2，CMD，且相似比

16、为1：BOC，则CM=DM=2a设OC=OB=a OM=OC+CM=a+2a=3a， ，2a）D（3a =1，6a=6，即a中得：D将坐标代入反比例y= 22 ，解得：a=1（负值舍去） OM=3，DM=2， 为正方形，DEFG DEF=90DE=EF， MDE+MED=90，MED+NEF=90， MDE=NEF， 在DME和ENF中， ， DMEENF（AAS）， DM=EN=2，FN=ME， 设F（，b），则FN=ME=b， ON=OM+ME+EN=3+b+2， 可得5+b=，即b+5b6=0，即（b+6）b1）（ 2 ，=0 ，b=1或b=6（舍去）解得： ，即ON=6，FN=1，）F（6，1 同理，RFIRQH ，c）R设RH=RI=NH=c，即（6+c， ，6+cR坐标代入y=中得：c（）=6将 +6c+9=c（c+3）=15，即22 （舍去），33+解得：c=或c= （3+，3+）R则 3+故答案为：（3+）， 【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，利用了方程的思想，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键 4. 【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质 【专题】证明题 【分析】（1）易证ADC是等腰三角形，所以AC=AD，根