数学建模题目

1、1、山区地貌:在某山区测得一些地点的高程如下表:(平面区域1200=x00,200=y=30),试作出该山区的地貌图和等高线图,并对几种插值方法进行比较。36032002802000160012001480 00 155 150 1430 100 1200 901500 1 1600 10 1600 60 160 15501500 120 110 150 60 1550 10 01500 1201100 135 40 1200 1150 1010 1500 10 40 900 100 1060 9501320 145 1420 00 130 0 900 85130 250 128 1230 1

2、0 00 00 700yx0 600 2 2400 2800 320 60 400 方法一:利用插值的方法,绘制山区的地貌图和等高线，采用了5种插值方法,分别是最邻近插值、线性插值、三次样条插值、立方插值、分段线性插值,得到如图1-5所示的图像：图1 最邻近插值地貌图（左),等高线(右）图2 线性插值地貌图（左）,等高线(右）图3三次样条插值地貌图（左）,等高线（右)图4 立方插值地貌图（左),等高线（右)图5 分段线性插值地貌图（左),等高线（右)比较由以上五种插值方法得到的地貌图和等高线图,可以看出,由于两个高度之间直线为最短距离，因此利用最邻近插值得到的地貌图和等高线为直线,描述的山地地

3、貌为陡崖 ,对于一般山区的地貌是不符合的；分段线性插值得到的图像随着分段数目的增多,而更加平缓,棱角更加不明显;利用线性插值、三次样条插值和立方插值所得到的图像，较为平滑,更加适合描述该区山地的地貌。图像绘制程序:=1:40：4000;y=200:400：300;1301250 1280 120 14 90 00 700; 320 5 12 1400 1300 0 00 80；1390 5 150 140 90 10 1060 90;1500200 110 30 1450 1200 1150 010;1500200 101550 0 155 1380 170;1500155 600 150 0

4、 60 1600550;1481500 550 51 430 100 1200980;fgur(1);mhz（,y,z)xabel(),ylabel()，zlabel（z)titl(网格面)=1200:40:000;i=1200：4：300;fige(2)z1nterp(x,z,x,yi，neaest）；%最邻近插值 supot(1,2，1),surfc(x,yi,z1i)xlae(x),yabe(y)，label(z)title(最邻近插值) ubplot（,2,），ontour（x,i，z1,0,);figure(3)z=inep2(x,y,，xi,y）;% sublot(,2,1),ur

5、fc(xi,yi,zi)xal(x),label(y),lbel(z）%分段线性插值tile(分段线性插值)% ublot(,2,2),contou(xi,y,1,r);gure(）3i=ntrp2(x,y，z,i,i,cuic);surc(x,，z3i）label(),ylabel（y),zlbe（z）%立方插值itle（立方插值)iur(）zi=iep2(x,y,xi,yi，spline);surfc（i,yi,z4i)xlabl(x),ylabl(y),lbel（z)%三次样条插值it（三次样条插值)figure（6）z=irp(x,y,z,xi,i,linea);urc(i,yi,z4

6、i)xlabel(x),ylbel(y）,zlbel(z）%线性插值itle(线性插值）fiu(7)ubplo（3,2,1)，ontr(xi,yi,z1,10,);subpot(3,2,2)，contour(x,yi,z2,r);subplo(3,2,),contur(,yi,3,10,r);subplot（3，2,4),contou(xi,yi,4i,0,r)；subpot(3,2,5)，ctr（xi，y,z5i，10,r);%comarefigr(8)cntour(x,yi,z1i,10,r)titl(最邻近插值）fgure(9）cotour（x，yi,z2i,1,r)tie（分段线性插值

7、) figure（10)cotour(xi,y,3i，10，r）tile(立方插值)gure（11)contr（xi,yi,4i，1，）title(三次样条插值）figur(12)contur(，y，z5，10,r)tile(线性插值) 方法二：针对绘制等高线和地貌图的问题,使用 lb中的ontourf命令绘制等高线,ur命令绘制带阴影的三维曲面图，得到地貌图，如图 6所示的地貌图和平面等高线： 图 6山区地貌图（左),等高线图(右）（）等高线绘制程序:cc;cl；clea；120:400:000; y=100：00:30; z=111250 2802301040 9 500 7; 12015

8、 20 140 1300 70 9 850；19 1500 5 1400 0 100 1060 95;1501 100 130 140 100 15 1010;50010 110 150 600 1550 30 107;5005 10 1550 1600 10 600 1；1480100 155 510 11300 00 980; hold on c=contof(,，z，0）;clabl()（2)地貌图绘制程序：clc;clf;=1200:00：4000;y=10：40:600; z=130 250 1280 13 040 90 500 700； 320 45 101400 130 70 9

9、00 5;130 150 15 1400900 1100 060 950；1001200 110 350 150 100 150 110;1500200 1100 150 160 50 1380 100;1501550100 155 1600 1600 1 1550；1800 55 510 130 1300120 98; figure sur(x，y,z）,vi（0,30),hol o2、假定某地某天的气温变化记录数据见下表，误差不超过05，试找出其这一天的气温变化规律。时刻h01213温度/514141414111822232581时刻/1415167181901222324温度/33129

10、7252422010716对的温度进行分析，采用多项式拟合的数学方法，建立温度和时刻的模型，利用mal编写程序求得多项式方程为: 拟合所得图像如图7所示:图7 温度-时间拟合曲线由图像可以看出，在内，温度变化较平缓，在左右；在温度处于上升阶段,在出现最高温度；从处于下降阶段，其中在时出现了低温7 。程序:x=0:：24;y=514141415118202235231 33292725242208076；lot(,y,*)hold on=polfit(,，5)；z=a(1)（2)*x.4+a(3）x.3+(4)*x2a（5)*x+a(6）;pl（x，z)ri;holdof3、财政收入预测问题：财

11、政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关。下表列出了195-1981年的原始数据,试构造回归预测模型，并利用290的数据验证模型。年份国民收入(亿元)工业总产值(亿元)农业总产值（亿元)总人口（万人）就业人口（万人)固定资产投资(亿元)财政收入(亿元)192983494157227248495365575879621368921695662972481955737558526145223925495682571555628223018502853779857564653271139286158159460063571951111633819646620

12、619617714345855382711967944616925106630193779166405266194943125584932319511515816327258286701731612198742298052266196712416769766830141563596187156568127311372688874419638274776782923432315641971785679852235623563897218333657887358544681937836885589211366746911979339689193651975124329242219723778844

13、436571921842597944393772319782759856509229797542058564901989498718965688291292212731810 首先，以国民收入 、工业总产值 、农业总产值 、总人口 、就业人口 、固定资产投资 的数据为全部自变量,采用最小二乘法拟合一个多元回归模型，有这个回归模型的复判定系数,调整复判定系数。模型的剩余标准差为32388。 对模型进行 检验： 。对各参数进行 检验的结果见表1:常量检验值1.18513.24-.46-2.67803885-1.87663表1 6个自变量模型的检验结果由上述结果得到： 检验通过，复判定系数与调整复判

14、定系数的差距不大;但在 检验中有若干自变量对y 的解释作用不明显,在此采用逐步回归的方法对自变量集合进行调整。利用matla统计工具箱中用作逐步回归的命令stewse，进行统计分析，得到如图所示的结果:图1逐步回归分析结果由上图可以看出：红色表明从模型中移去的变量为、，移除这三个变量后,再利用最小二乘法拟合一个多元回归模型,有这个回归模型的复判定系数,调整复判定系数。模型的剩余标准差为2.3934。 对模型进行 检验： 两个回归模型相比较,得到：后者的复判定系数与调整复判定系数的差距更小，与实际更加符合,因此所做的调整是有意义的,对于预测更加有利。数据没有找全,没法预测检验。年份国民收入（亿元

15、）工业总产值(亿元)农业总产值(亿元）总人口（万人)就业人口（万人）固定资产投资（亿元）财政收入(亿元)19825331237771218646198169847244317131643198505861921987121991988111198911127044410266519972937表2 1982990年财政收入数据年份19828984198198198198989199实际财政收入211367143223572665297预测财政收入预测与实际之差平均值方差(）多元回归模型建立的程序：lc,clear lad daa.tt %表中的数据按照原来的排列存放在纯文本文件data.txt

16、中n，m=sze(dta);m=m-；nes（0,1),ta（:，1:6); y=data(：,7); b,bint，r,rint,sats=rgess（y,x） %sats()返回的是残差的样本方差 r2stts(1) %提出复判定系数 ad_r=1-(1-r2)（n- 1)/(-m) %计算调整复判断系数 =stats(2) %提出f统计量 tminv（x); 计算x*x的逆矩阵tmd(m）； %提出逆矩阵的对角线元素 rms=sqt(sta(4) %计算剩余标准差（残差的样本标准差)t=b./sqrt（)/ rme %求t统计量的值(2)逐步回归分析程序：clc，clear x01952

17、598361574822024184195586457879213648921154707520491026621832972481953755296165222898251958571556228230810268197837798575665237119861951028123586994266025635711111680967272617333844100798704446620580006196176436559250131926779644169521066201379046546917226408661969255847049277612329181632532701753319

18、622191687422805214619671916476977636830841563521968118756568075343115127031969372218807133225207419016382477699234432356971178156905293603531721865798717358435465817197868485925237419741933696819059373993659751245493292231646269217625099591738443671721894925971497337742317247559010589659856509270651

19、150974240164890980291659211949851865686181297686217300727328049681;x=x0(:,2:）; y=x0(:，8）;stepwise(,y,1:6)4、某校基金会有一笔数额为m元的基金，打算将其存入银行或购买国库卷。当前银行存款及各期国库卷的利率见下表。假设国库卷每年至少发行一次,发行时间不定。 银行存款税后年利率(%）国库卷年利率(%)活期0.72半年期1.6一年期1.00二年期1.9442.三年期.02.89五年期2.3434校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同,且在n年末仍保留原基金数额。校

20、基金会希望获得最佳的基金使用计划,以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案,并对=0万元，n=10年及=2年给出具体结果:（1）只存款不购国库卷;(2）可存款也可购国库卷；（3)学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆,基金会希望这一年的奖金比其他年度多20以代表第年第 种投资方式投资的金额数目（以万元计),其中 代表存款数目,代表国库券数目,代表第年末得到的本息和, 代表第年发的奖金额,由于每一年的奖金额大致相同，在此取，为常数。假设该校每年的1月日发奖金，且存款等都是1月1日进行的。(1)只存款不购国库卷以奖金额最大为目标函数,其约束条件有： 起初各种投资方式之和为

21、,即 每一年得到的本息和，全部用于再次投资和奖金，即 第年末仍保留原基金数额，即。所以可以得到目标规划为:当m=00万元, 年时，用lngo数学软件编程计算得到如下结果：万元,具体每一年各种投资方式的投资金额如下表所示:活期2半年期一年期二年期5三年期五年期第0年39.71200496195.14207.12第1年000195614098.4787第年00008.47287第3年00009847287第4年000098.4728第5年00048.94第年0000第7年000000第8年000第9年000表 1 n=0时,存款方式及金额当时，万元，具体的投资方式及金额为：1活期半年期一年期4二年

22、期5三年期6五年期第0年474.56794150.110191.99971.32第1年0091.99718332第2年000403.67第3年00006.6341第4年0009665341第年000096.6541第6年0000096.6541第年0004854第8年00000第9年00000第1年00000第年000表n12时,存款方式及金额（2)可存款也可购国库券根据基本原则,由于国库券的利率更大,我们应优先考虑买国库券。与（）类似，进行目标规划，建立数学模型，ngo求解。n=10时,万元，具体的投资金额为:0123456891活期0000000002半年期00000003一年期27.12

23、6000000004两年期0000000005三年期00000006五年期0000000两年国库券20500000008三年国库券490.406135.11059.0020035141100五年国库券371.745126.9298126.280448.4510000表 n=10时,存款及国库券各年投资金额时，万元，具体的投资金额为:0111活期2半年期03一年期1095.5481.424两年期05三年期0五年期07两年国库券19.74100000008三年国库券1939.335.14105.7810054.2000000五年国库券5399901.7425.74210.7421523722000

24、0表4 n=12时，存款及国库券各年投资金额（3)第三年奖金高于其他年20%类似于（）,只是在第三年的奖金额为，其他条件不变，得到每年奖金额为:135.7854万元。投资方案如下表:年份0123456891活期0000000002半年期0000000003一年期27.2172000000271.21704两年期00000005三年期00000000五年期000000两年国库券255.52000000025.5200三年国库券506.365132.13825.07120132.313806.936132.380五年国库券3966.7404.324.2743044459539.74124.243表

25、5第三年奖金高于其他年份，n10时的投资方案当12时，得到万元,具体的投资方案如下表所示：01活期2半年期3一年期1072.05412两年期5三年期五年期07两年国库券10.1988三年国库券0.8523.0244043200053.024000009五年国库券15.30441245491.24509.2551.91300000表6第三年奖金高于其他年份,n=12时的投资方案li编写的程序为:(1)moel:s:v/z,x01，x02,x,05,x06,x,2,x1，x,x6,x21，x2，x23，25,x2，x1,x3，x33,x3,x36，x1,x2,4,x45,x4,1,x2,53,x5

26、5,x5,x61,x62,，x64,x65，x71,x2,7,74,x75,x81,x82,x83,x4,x1,x92，x93/;enetsmax=; x0 +x02 x0 + 05+x06 =000; x1 + x2 + x13 x+x16 107*x01-1.1664*x021.018*x03+ ; x21 + x + x23 +x5+x- 101944*04 1.018x-.079*x1-1.0164*12+ = 0; x31 + x +x3 + x3+36- 1.02160*0-.01994*x14 1.072*x21-1.166x22-.183z ; x41 x42 + 3 + 5+

27、x6 -1072x31-.164*x3-.1*x3-1.0994x24.02160x5+ 0; x51x52 x53 x5+x 1.00792*x1-0166*x1.01*x43-1.0040-01944*x34-1.010x2 z = 0； 1 x62 + x63+x64+ - 1079x5-1.01664x1.8*x531.004*x6-1.09*x44.026*35 z = 0; 71 + x7 73 x7+x75-.00792*61-.01664x6-1.0163-1.02304*x2-101944*54.216*x5+ = 0; x81+x2+x3+x8-1.00792*1.166*

28、7-1.0873-1.030*x3-.94x6-1.260x+ =0; 91 +x92+x9 1.0792*8110664*x21.08*x3-02304*x61.0194*x74-1.021*65+ = ；z5000;end(2) oe:max=z;x11y12y13+550;x21y2y23+25101811-z;x31+y2+33+y35=.051*y12+.018*x21-z;x41+42y43+y5=107*y13+1.01*y21.01*x31-z;x5152+y53+y5=1.06723+1.01y32+1.018x41-z；x1+y6+y36=1.157*y15+1.087*3

29、3+1.51*y4201*x51-z;+y2+73=1.1*y5+.0867*431.051*52+.18*61-z;x8+y8y=1.17*y5+1.86*53+1.051*y62+11x1-z;x1+92=1*y4+.0867*y63+1.51*y7+1.8*8-z;x101=1.15*y5510867*+1.051y210*x91-z；500.157*y65+1.0863+1051*y92+018*x01-z;enmodel:m=z;x1x2+x13+x15+y12+y131=5000;x21+x2+25+y2+y3+y5=10111-z;x+x2+33+x3+y2+35=1.0388x

30、12+08*x21-z；x41+x4+x4x4+y42+y4+y451.48*x.03888*x22+1.08*x31+106*12z;x51+x5+x53+x55+y5+y53+y551.06*x2+13888*x32+1.8x41+1.034*y2+.1008*y13-z;x1+xx3+x65+y62+y63=1.152*15+1.0648*3+13888*x4+1.018*x51+1.06394y32+10008*23z;x71+x72+x7+y7273=1152*x25+1.0648*x43+1.03888*x2+1.01*x61.063*y4+1.1008*y33+17125*y15

31、-;81+x+x8382=1.15*x35+1.0483+1.0388*x1018*x71+.06394*y52+1.000*y43+1.115*y25-z;9+9=1.152*x5.648*6+0388*x721.08x81+1.03y6+1.100*5+1725*y3;x101=.112*x55+1.0648*x73103888*x208*91+16394*y72+1.100081.17125*y4z;500=1.115*65+1.0648*x3+1.088x92+.18*01+1.6394y82+1008*y73+1.125y55z;endodel:max=z;x+12+1+1+y1y1

32、+y155000;x21+x22+23x25+y+3y2=.01*x11-z;31+x32+33+35y2+y3+y3=.0888*x12+.018*21-；x41+42+43+x4542y43+y451.064*x1313888x+1.18*x311.06856*12-z;x51+xx53+x5y52+y3+y5=1.048*x23+1.888*x2+1.018*x41+10686221.10486y13-z;61+x62+x63+x5+y62+y63.1152*x51.06x33+.038x42+1.01*x51+1.0686y2+1.1486y23z;x71x72+x73+72y3=1.

33、115*x25+1.0648*43+1.3888*x52+.018*11.6856*y2+1.104*y3+1.1633*y15z;81+82+x8+82=1.1152+.04x53+1.3881.1x71+1.65*y52+1.10486*y43+.17633*y5；x9+921115*41.0648*631.088*x72+1.018*x8+.065y2+.10486*y+1.763*y35-z；x101=1.152*x5+1.0648*3+1.03888*82+.018*x91+1.686*y72+1.0486*6+1.763*y45-z;50=115x6510648*83+103888

34、x2+1.1*x101+1.085*y814867+1.1763*y5z；d(）mdl:max=z;x1213+x15+y1+y13+y15=5；x21+xx23+x5+y+y2y25=1.018*x1-z；3x3+x3x35+y2+y3+y351.03888x2+118*x2-；x41+x+x43x45y42y43y4.064*x3+1.0388*x2+1.018*x31+.0685*y1-1.2z；x51+x52+x53+55+y5y53+y510648x2+1.03888*32+1.018*x41+10685*y221146y13-z;x61+x+x3x5+y2+y3=1.15251.6

35、8*x3+.0388*x2+.01*x51+.06*32+.146*y2-z;x7+72+x+yy31.12*251.0648*x3+10888*x52+.018x+1.686*42+1.48*y33+1.17633*y1z；x81+x82+3+y82=11*x35+648*53+.0388*x+1*x7+.656*51.106*+1.133*y25z;x9+x92=1.1152*x45+04*x63+1.08872+1.018*x1+0686*y6+0486*y531.163y35-z;x10=1.1*5+.068*x73+1.0388*x8+108*91+1856*y72+1.0486y6

36、3+1763*y45z;5000=1.15*650648*83+13888x92+1018*x101.656*y8+1048*y731.1733y55-；eml：mx;x1+x12x3+xy1+y1155000;21+22x3+x25+y2+y23+25=1018*x11z；x3+32+33+x3+y3+5=1.03888*x12+1.1*x2-z;x41+x4+x43+45+42y3+y45=648*x3+1088*x218*x31+.094*y122*z;x51+52x53+x55+y52y3y5104*x231.08*x32+.018*x41.0634*y22+1.1008*1-z;61

37、+2+x6365y6+y3=112*x1+1.0648*x33+1.03888*42+1.018x51+1.094*32+1.003-z;x1+x72x73y7+y3=112*x25+1.064843+03888*x+1018*x61+.0694*y42+1108*y3+1.17125*y15-z;81+x883+y=1.15*x35+1.64*x531.03888*x621.01711.06394y521.1000*43+1125*y5-z；x91x2=11152*x45+1.064863+1038x72+.018x1+1064*62+110*y+.1725*y35z;x1=12x55+10

38、48*x73+.0388*x82+118911.0634*y72+1108*y63+1.171245-z;500=.152*x65+1.648*x3+1.0888*91.018*x+1.6394*y2+1.10008*y731.1725*y55-z；ndmodel:mxz;11+y1+13+y1=50;x2122y23+y251.018*x1-z;x31+3+y33+3=.51y12+1.082z;41y42+y4+y4=1.67*y131051*y2+1.0831-.2*;1y5+y5355=1.83+.01*y2+1.018*x41-z;61y62+y63+y65=1.1571+.87*3.051*y42+18*x51z;x71y72+y71.*25+1.067*y4+1.0*y2+1.81-z;81y2+y83=1.157*y3510867*y53+1.051*y62+1.08*7-；91+y2=1157*y45+1.087y31051*y72+108*x81-;x101=.17*y55+1.0867*7+1.051y82+1.018x91-;500=.157y651.0867*y3+.01y91.018*x101z;endmdel:x=z;x1+x12+x3x5=0