2020年中考复习《二次函数》中的动点问题拓展训练（一）（有答案）

1、2020中考复习二次函数中的动点问题拓展训练(一) 姓名：_班级：_考号：_一、选择题 1. 已知抛物线y=316(x+4)(x4)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，C的半径为2.G为C上一动点，P为AG的中点，则OP的最大值为() A. 72B. 412C. 342D. 232. 已知抛物线y=ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x=1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：2a+b=0，x=3是ax2+bx+3=0的一个根，PAB周长的最小值是10+32.其中正确的是( ) A. B. 仅有C. 仅有D. 仅有3. 四边形ABCD是

2、正方形，AB=8，AC、BD交于点O，点PQ分别是AB/BD上的动点，点P的运动路径是ABBC，点Q的运动路径是BD，两点的运动速度相同并且同时结束.若点P的行程为x，PBQ的面积为y，则y关于x的函数图象大致为( ) A. B. C. D. 4. 如图，抛物线y=14x24与x轴交于A、B两点，P是以点C(0,3)为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ.则线段OQ的最大值是( )A. 3B. 412C. 72D. 45. 已知在平面直角坐标系中，直线y1=x+3与抛物线y2=12x2+2x的图像如图，点P是y2上的一个动点，则点P到直线y1的最短距离为( ) A. 322

3、B. 524C. 2D. 3246. 如图，在RtABC中，ACB=90，AC=6，BC=8，点M是AB的中点，点O是边BC上的一个动点，设点A绕点O顺时针旋转90的对应点为A.则点M到A点的最小距离为()A. 522B. 22C. 13D. 37二、填空题7. 如图，已知P的半径为2，圆心p在抛物线y=12x21上运动，当P与x轴相切时，圆心P的坐标为_。8. 如图，一段抛物线：y=x(x3)(0x3)，记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180得C3，交x轴于点A3；如此进行下去，直至得C12.若P(35,m)在第12段抛物线

4、C12上，则m=_9. 如图抛物线y=x2+2x3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为_10. 如图，在RtABC中，C=90，AC=6cm，BC=2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是 11. 如图1，在边长为4cm的菱形ABCD中，BAD=60，动点P从点A出发，以4cm/s的速度，按照ABC的顺序匀速运动到C点停止，设运动时间为t秒

5、，以点P为圆心，半径为r的圆随之运动，且半径r(cm)与时间t(s)的函数关系如图2，图中EF是一条平行于x轴的线段，FG是以点F为顶点的一段抛物线当P与对角线AC相切时，则动点P运动时间t的值为_ _12. 如图，抛物线y=x22x15与直线y=4x23交于A、B两点，长为2的线段CD在抛物线的对称轴上移动，则AB长为_，四边形ABCD的最短周长为_13. 如图，抛物线y=x2+2x+3与y轴交于点C，点D(0,1)，点P是抛物线上的动点若PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为_14. 如图，曲线AB是顶点为B，与y轴交于点A的抛物线y=x2+4x+2的一部分，曲线BC是双曲线y=k

6、x的一部分，由点C开始不断重复“ABC”的过程，形成一组波浪线，若点P(2019,m)与Q(2025,n)均在该波浪线上，则mn=_三、解答题15. 如图，抛物线经过A(1,0)，B(5,0)，C(0,-52)三点 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由16. 如图，抛物线过原点和点E(10,0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边)，点C，D在抛物线上设A(t,0)，当t=2时，

7、AD=4 (1)求抛物线的函数表达式(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t=2时的矩形ABCD不动，将抛物线向右平移4个单位平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，求直线GH分矩形的两部分的面积比17. 已知抛物线y=ax22ax3a(a0)(1)ABC中边BC上的高AD=_；(2)当x=_时，PQ恰好落在边BC上(如图(1)；(3)当PQ在ABC外部时(如图(2)，求y关于x的函数表达式(不求x的取值范围)，并求出当x为何值时y最大，最大值是多少？21. .如图，抛物线y=ax2+bx过A(4,0)，B(1,3)两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点

8、B作直线BHx轴，交x轴于点H(1)求抛物线的表达式；(2)直接写出点C的坐标，并求出ABC的面积；(3)点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当ABP的面积为6时，求出点P的坐标；(4)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时称这样的N点为“美丽点”，问共有多少个“美丽点”？请直接写出当N为“美丽点”时，CMN的面积答案和解析A 解：如图，连接BG，令x=0，则y=316(0+4)(04)=3，则C(0,3)由y=316(x+4)(x4)得到：A(4,0)，B(4,0)P为AG中点，O为AB中点，所以OP是ABG的中位线，则OP=12BG，当

9、BG最大时，则OP最大由圆的性质可知，当G、C、B三点共线时，BG最大C(0,3)，B(4,0)，BC=32+42=5，BG的最大值为2+5=7，OP的最大值为72 2. A 解：根据图象知，对称轴是直线x=b2a=1，则b=2a，即2a+b=0.故正确；根据图象知，点A 的坐标是1,0，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是3,0，所以x=3是ax2+bx+3=0的一个根，故正确；如图所示，点A1,0关于x=1对称的点是A3,0，即抛物线与x 轴的另一个交点，当P 是直线AB与对称轴x=1的交点时，PAB的周长最小为BA+ABB0,3，A1,0

10、，A3,0，OA=1，OB=3，OA=3，BA=32，BA=OA2+OB2=10，PAB的周长最小为32+10故正确综上所述，正确的结论是： 3. A 解：当0x8时，则P在AB上，则BQ=x，设Q到AB的距离为a，a2+a2=x2，a=22x，则PBQ的面积为y=128x22x=24x2+22x，此段抛物线的开口向下；当8x82时，则P在BC上，BQ=x，同理Q到BC的距离为22x，则PBQ的面积为y=12x822x=24x222x，此段抛物线开口向上故满足的解析式为A， 4. C 解：连接BP，如图，当y=0时，14x24=0，解得x1=4，x2=4，则A(4,0)，B(4,0)，Q是线段

11、PA的中点，OQ为ABP的中位线，OQ=12BP，当BP最大时，OQ最大，而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P位置时，BP最大，BC=32+42=5，BP=5+2=7，线段OQ的最大值是72 5. B 解：设过点P平行直线y1的解析式为y=x+b，当直线y=x+b与抛物线只有一个交点时，点P到直线y1的距离最小，由y=12x2+2xy=x+b，消去y得到：x22x+2b=0，当=0时，48b=0，b=12，直线的解析式为y=x+12，如图设直线y1交x轴于A，交y轴于B，直线y=x+12交x轴于C，作CDAB于D，PEAB于E，则A(3,0)，B(0,3)，C(12,0)OA=OB=

12、3，OC=12，AC=52，DAC=45，CD=AC2=524，AB/PC，CDAB，PEAB，PE=CD=524， 6. A 解：以C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，由题意可知：C(0,0)，A(0,6)，B(8,0)，点M是AB的中点，M(4,3)，过A作AFCF于F设OC=x，设点A绕点O顺时针旋转90的对应点为AOA=OA，AOA=90，AOC+BOA=90，CAO+AOC=90，CAO=BOA，又OFA=ACO=90，OA=OA，RtACORtAFOAC=OF=6，CO=AF=X，A(6+x,x)AM2=(6+x4)2+(x3)2=2x22x+

13、13=2(x12)2+252，当x=12，AM2最小=252点M到A点的最小距离为252=522 7. (6,2)或(6,2) 解：当P与x轴相切时，P点纵坐标为2；当y=2时，12x21=2，解得x=6；当y=2时，12x21=2，x无解，故P点坐标为(6,2)或(6,2)， 8. 2 解：一段抛物线：y=x(x3)(0x3)，图象与x轴交点坐标为：(0,0)，(3,0)，将C1绕点A1旋转180得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180得C3，交x轴于点A3；如此进行下去，直至得C12.C12的图象与x轴的交点坐标为(33,0)，(36,0)，且图象在x轴下方，开口向上;C12的解析

14、式为：y12=(x33)(x36)，当x=35时，y=(3533)(3536)=2. 9. 322 解：连接AC，交对称轴于点P，则此时PC+PB最小，点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，DE=12PC，DF=12PB，抛物线y=x2+2x3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，0=x2+2x3解得：x1=3，x2=1，x=0时，y=3，故CO=3，则AO=3，可得：AC=PB+PC=32，故DE+DF的最小值为：322 10. 25 解：AP=CQ=t，CP=6t，PQ=PC2+CQ2=6t2+t2=2t32+18，0t2，当t=2时，PQ的值最小，线段PQ的最小值是25， 11. 1

15、2秒或74秒 解：如图2，顶点F(1,1)设抛物线的解析式为：r=a(t1)2+1，把G(2,19)代入得：19=a(21)2+1，解得：a=89，抛物线的解析式为：r=89(t1)2+1(1t2)，当P与对角线AC相切时，分两种情况：当点P在AB上与AC相切时，如图1，设切点为E，连接P1E，则P1EAC，P1E=r，四边形ABCD为菱形，BAD=60，BAC=30，AP1=2r=2，t=24=12；当点P在BC上与AC相切时，如图2，设切点为F，连接P2E，则P2FAC，P2F=r，则P2C=2r，P2C=AB+BC4t=84t，则2r=84ty=89(t1)2+1，解得：t1=74，t2

16、=52(不合题意，舍去)综上所述：当P与对角线AC相切时，则运动时间t的值为12秒或74秒 12. 217；2+213+217 解：解方程组y=4x23y=x22x15得x1=2y1=15,x2=4y2=7,A，B两点的坐标为(2,15)和(4,7)，AB=242+15+72=217作B点关于抛物线对称轴的对称点B点，过A点作AE/CD，且AE=CD=2，连BE交抛物线的对称轴与C点，则此时四边形ABCD的周长最短，AE/CD，且AE=CD，AD=CE，因此四边形ABCD的最短周长为AB+CD+BE的长度A点坐标为(2,15)，AE/y轴，且AE=2，E点坐标为(2,13)，B点关于抛物线对称

17、轴的对称点B点，B点坐标为(4,7)，B点的坐标为(2,7)，BE=222+13+72=213，四边形ABCD的最小值=AB+CD+BE=2+213+217 13. (1+2,2)或(12,2) 解：PCD是以CD为底的等腰三角形，点P在线段CD的垂直平分线上，如图，过P作PEy轴于点E，则E为线段CD的中点，抛物线y=x2+2x+3与y轴交于点C，C(0,3)，且D(0,1)，E点坐标为(0,2)，P点纵坐标为2，在y=x2+2x+3中，令y=2，可得x2+2x+3=2，解得x=12，P点坐标为(1+2,2)或(12,2)， 14. 16 解：如图：由图可得，A，C之间的水平距离为6，201

18、96=336余3，20256=337余3，则P，Q的纵坐标相同，且都在但比例函数图象上，由抛物线解析式可得AO=2，即点C的纵坐标为2，C(6,2)，k=26=12，双曲线解析式为y=12x，当x=3时，y=4，即m=4，n=4，在mn=16 15. 解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a0)，A(1,0)，B(5,0)，C(0,-52)三点在抛物线上，解得抛物线的解析式为：y=12x22x52；(2)抛物线的解析式为：y=12x22x52，其对称轴为直线x=b2a=-2212=2，连接BC，交对称轴于点P，连接AP，即AP=BP，此时P点即为所求，如图1所示，B(5,0)，C(

19、0,52)，设直线BC的解析式为y=kx+b(k0)，解得直线BC的解析式为y=12x52，当x=2时，y=152=32，P(2,32)；(3)存在如图2所示，当点N在x轴下方时，抛物线的对称轴为直线x=2，C(0,52)，N1(4,52)；当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2Dx轴于点D，在AN2D与M2CO中，AN2DM2CO(AAS)，N2D=OC=52，即N2点的纵坐标为5212x22x52=52，解得x=2+14或x=214，N2(2+14,52)，N3(214,52).综上所述，符合条件的点N的坐标为(4,52)，(2+14,52)或(214,52). 16. 解：(1)设抛物

20、线解析式为y=ax(x10)，当t=2时，AD=4，点D的坐标为(2,4)，将点D坐标代入解析式得16a=4，解得：a=14，抛物线的函数表达式为y=14x2+52x；(2)由抛物线的对称性得BE=OA=t，AB=102t，当x=t时，AD=14t2+52t，矩形ABCD的周长=2(AB+AD)=2(102t)+(14t2+52t) =12t2+t+20 =12(t1)2+412，120，当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为412；(3)如图，O(0,0) D(2,4) 向右平移4个单位后，G(4,0)，H(6,4)，AG=2，DH=4，SAGHD=12(2+4)4=12，对称轴是

21、 x=5AB=6，SABCD=64=24，SGBCH=12，直线GH分矩形的两部分的面积比是1：1 17. 解：()令y=0，则ax22ax3a=0，解得x1=1，x2=3.又因OB=OC，所以C(0,3)，把x=0，y=3代入y=ax22ax3a得a=1.所以抛物线的解析式为y=x2+2x+3().y=x2+2x+3=(x1)2+4，则(1,4)，易得 P C = 2 ， B C = 32， P B = 25，PB2=BC2+PC2，由勾股定理的逆定理可知，PBC是直角三角形，且PCB=90.由可PCB=90，于是PB是外接圆的直径，故PBC的外接圆的半径为 5 (3)如图所示，直线y=12

22、x+b交y轴于，当该直线经过点B(3,0)时，得b=32，即y=12x32，则BO=，OE=32过点P作y轴的平行线交x轴于点GBG=2，PG=4，BOPG=OEGB=34，BOE=PGB=90，BOEPGB， O B E = G P B ， G B P + G P B = 90 ， G P B + O B E = 90 ，BEPB，即 y=12x32 与直线PB垂直，事实上，由于直线y=12x+b与直线y=12x32始终相同(相同)，故直线y=12x+b与直线始终垂直因此，直线y=12x+b经过，时直线y=12x+b与圆相切，并分别取得最小值与最大值，把=3，=0；=，=分别代入得b=32和

23、b=72故的取值范围为32b72 18. 解：(1)抛物线过A、C两点，代入抛物线解析式可得：1;b+c=0c=3，解得：b=2c=3，抛物线解析式为y=x2+2x+3，令y=0可得，x2+2x+3=0，解x1=1，x2=3，B点在A点右侧，B点坐标为(3,0)，设直线BC解析式为y=kx+s，把B、C坐标代入可得3k+s=0s=3，解得k=1s=3，直线BC解析式为y=x+3；(2)PMx轴，点P的横坐标为m，M(m,m2+2m+3)，N(m,m+3)，P在线段OB上运动，M点在N点上方，MN=m2+2m+3(m+3)=m2+3m=(m32)2+94，当m=32时，MN有最大值，MN的最大值

24、为94；(3)PMx轴，MN/OC，当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC=MN，当点P在线段OB上时，则有MN=m2+3m，m2+3m=3，此方程无实数根，当点P不在线段OB上时，则有MN=m+3(m2+2m+3)=m23m，m23m=3，解得m=3+212或m=3212，综上可知当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，m的值为3+212或3212 19. 解：(1)OA=1，OB=2，A(0,1)，B(2,0)，A、B在直线y=kx+n的图象上，1=n0=2k+n，解得k=12n=1，直线AB的函数表达式为：y=12x+1，y=56x2+bx+c经过点A、B，1=

25、c0=5622+2b+c，解得b=136c=1抛物线的函数表达式为：y=56x2136x+1；(2)点C在抛物线上如图，过点C作CHx轴，正方形ABCD，AB=BC，ABC=90，ABO+CBH=90，又ABO+BAO=90，BAO=CBH，ABOBCH(AAS)，BH=AO=1，CH=BO=2，C(3,2)，当x=3时，y=56321363+1=2，点C在抛物线上；(3)如图，过点P作x轴的垂线，交OB、AB于点N、Q，过点A作AMPN，设点P(m,56m2136m+1)，则Q(m,12m+1)，PQ=12m+1(56m2136m+1)=56m2+53m，SAPB=SAPQ+SBPQ=PQA

26、M2+PQBN2=PQOB2=56m2+53m=56(m1)2+56，当m=1时，SAPB最大值=56，又S正方形ABCD=5，五边形APBCD面积的最大值为56+5=356；存在.如图，过点P作x轴的平行线，交y轴于点G，过点E作EIPG，设点P(m,56m2136m+1)，由(2)易证APGPEI，AG=PI，PG=EI，E(56m2+196m,56m276m+1)，点B(2,0)、C(3,2)在直线BC上，易求yBC=2x4假设点E在边BC上，则56m276m+1=2(56m2+196m)+1，解得m1=1，m2=2，点P在直线AB下方的抛物线上，0m2，m=1，存在以AP为边的正方形APEF，使其顶点E在正方形ABCD的