江苏省泰州市姜堰第二中学2020-2021学年度高二第一学期期中考试数学及答案

1、江苏省姜堰第二中学2020-2021学年度第一学期期中考试高二数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2=2y的焦点为F，准线为，则点F到直线的距离为A. 12B. 1C. 2D. 42. 已知向量a=（-2，3，-1），b=（4，m，n），且a/b，其中m，nR，则m+n=A. 4B. -4C. 2D. -23. 若sin=2cos（-），则tan（+4）的值为A. 3B. 13C. -3D. -134. 在平面直角坐标系xOy中，若椭圆C：x29+y2m=1与双

2、曲线T：x2-y2m=1有相同的焦点，则双曲线T的渐近线方程为A. y=14xB. y=12xC. y=4xD. y=2x5. 在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y-4=0与两坐标轴分别交于点A，B，圆C经过A，B，且圆心在y轴上，则圆C的方程为A. x2+y2+6y-16=0B. x2+y2-6y-16=0C. x2+y2+8y-9=0D. x2+y2-8y-9=06. 如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成60角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为A. 22B. 23C. 42D. 437. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，A1AB=A1AC

3、=60，BAC=90，A1A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为A. 292B. 29C. 232D. 238. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上. 若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为A. 3-1B. 5-1C. 3+1D. 5+1二、多项选择题：本大题共4小题. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.9. 已知两个不重合的平面，及直线m，下列说法正确的是A. 若，m，则m/B. 若/，m，则mC. 若m/，m，则D. 若m/，m/，则/10. 在平面直角坐标系x

4、Oy中，F1，F2分别为椭圆x24+y22=1的左、右焦点，点A在椭圆上. 若AF1F2为直角三角形，则AF1的长度可以为A. 1B. 2C. 3D. 411. 如图，直线1，2相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x，y分别表示点P到1，2的距离，则称（x，y）为点P的“距离坐标”. 下列说法正确的是A. 距离坐标为（0，0）的点有1个B. 距离坐标为（0，1）的点有2个C. 距离坐标为（1，2）的点有4个D. 距离坐标为（x，x）的点在一条直线上12. 20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石. 人工合成金刚石的典型晶态为立方体

5、（六面体）、八面体和立方八面体以及它们的过渡形态. 其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点、14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体. 已知一个立方八面体的棱长为1，则A. 它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2B. 它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直C. 它的体积为523D. 它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等三、填空题：本大题共4小题. 请把答案填写在答题卡相应位置上.13. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线1：x+ay=0和直线2：2x-（a-3）y-4=0，aR. 若1与2平行，则1与2之间的距离为_.14. 在空

6、间直角坐标系中，若三点A（1，-1，a），B（2，a，0），C（1，a，-2）满足(AB-2AC)BC，则实数a的值为_.15. 词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出自中国数学名著九章算术商功，是古代人对一些特殊锥体的称呼. 在九章算术商功中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”. 现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC，其中PA平面ABC，PA=AC=1，BC=2，则四面体PABC的外接球的表面积为_.16. 早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击. 现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同.

7、 建立如图所示的平面直角坐标系xOy，根据图上尺寸，溢流孔ABC所在抛物线的方程为_，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为_.四、解答题：本大题共6小题. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在sin（A-B）=sinB+sinC；2acosC=2b+c；ABC的面积S=34（a2-b2-c2）三个条件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_，D是边BC上的一点，BAD=2，且b=4，c=2，求线段AD的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. 在平面直角坐标系xOy中，

8、已知圆F：（x-2）2+y2=1，动圆M与直线：x=-1相切且与圆F外切.（1）记圆心M的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）已知A（-2，0），曲线C上一点P满足PA=2PF，求PAF的大小.19. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AC中点.（1）求证：B1A/平面C1BD；（2）若AA1=AB=3，BC=4，且ABBC，求三棱锥B-B1C1D的体积.20. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，点A，B是直线x-y+m=0（mR）与圆O的两个公共点，点C在圆O上.（1）若ABC为正三角形，求直线AB的方程；（2）若直线x-y-3=0上存在点P满足APBP=0，求实

9、数m的取值范围.21. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB平面ABCD，PAAB，PA=AD=4，BC/AD，ABAD，AB=BC=2，PE=PC（01）.（1）若=12，求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；（2）设二面角B-AE-C的大小为，若|cos|=23417，求的值.22. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的左顶点与上顶点的距离为23，且经过点（2，2）.（1）求椭圆C的方程；（2）直线与椭圆C相交于P，Q两点，M是PQ的中点. 若椭圆上存在点N满足ON=3MO，求证：PQN的面积S为定值.20202021学年度第一学期期中调研测试 高二

10、数学参考答案 2020.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1B 2B 3D 4D 5A 6D 7A 8C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 9BC 10ABC 11ABC 12ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13 14 154 16y(x14)2，四、解答题：本大题共6小题，共70分 17（本小题满分10分）解：选由条件 sin(AB)sinBsinC，在ABC中，ABC，所以sin(AB)sinBsin(AB)，即 sinAcosBcosAsinBsinBsinAcosBcosAsinB， 2分从而sinB2cosAsinB因

11、为B为三角形内角，所以sinB0，所以cosA因为A为三角形内角，所以A 4分(图)OPMNl2l1在ABC中，因为b4，c2，故由正弦定理 得4sinC2sinB，即2sinCsinB，所以sinB2sinC2sin(B)cosBsinB，即2sinBcosB由sinB0知cosB0，因此tanB 8分因为BAD，所以ADABtanB 10分选由条件2acosC2bc，结合余弦定理得2a2bc，即 a2b2c2bc， 2分所以cosA，因为A为三角形内角，所以A 4分(图)OPMNl2l1在ABC中，因为b4，c2，故由正弦定理 得4sinC2sinB，即2sinCsinB，所以sinB2s

12、inC2sin(B)cosBsinB，即2sinBcosB由sinB0知cosB0，因此tanB 8分因为BAD，所以ADABtanB 10分选由条件，ABC的面积S(a2b2c2)，得bcsinA(2bccosA)，即sinAcosA， 2分因为A为三角形内角，所以sinA0，从而cosA0，所以tanA，所以A 4分(图)OPMNl2l1在ABC中，因为b4，c2，故由正弦定理 得4sinC2sinB，即2sinCsinB，所以sinB2sinC2sin(B)cosBsinB，即2sinBcosB由sinB0知cosB0，因此tanB 8分因为BAD，所以ADABtanB 10分另解：A（

13、略） 4分在ABC中，因为b4，c2，由余弦定理得a2b2c22bccosA4222242cos28，所以a2 6分由正弦定理得，则sinB，又B为锐角，所以cosB，则tanB 8分在ABD中，因为BAD，所以ADABtanB 10分18（本小题满分12分）解：（1）设M(x，y)，圆M的半径为r由题意知，MFr1，M到直线l的距离为r 方法一：点M到点F(2，0)的距离等于M到定直线x2的距离，根据抛物线的定义知，曲线C是以F(2，0)为焦点，x2为准线的抛物线故曲线C的方程为y28x 6分方法二：因为MFr1，|x1|r，x1，所以x2，化简得y28x，故曲线C的方程为y28x 6分（2

14、）方法一：设P(x0，y0)，由PAPF，得(x02)2y022(x02)2y02， 8分又y028x0，解得x02，故P(2，4)， 10分所以kPA1，从而PAF 12分方法二：过点P向直线x2作垂线，垂足为Q由抛物线定义知，PQPF，所以PAPQ， 8分在APQ中，因为PQA，所以sinQAP， 10分B1（第19题）A1C1BDACOE从而QAP，故PAF 12分19（本小题满分12分）（1）证明：连结B1C交BC1于点O，连结OD 在三棱柱ABCA1B1C1中，BCB1C1，BCB1C1，所以四边形B1BCC1为平行四边形，所以O为B1C中点又因为D为AC中点，所以OD为CB1A的中

15、位线，所以B1AOD 3分又因为B1A平面C1BD，OD 平面C1BD，所以B1A平面C1BD 5分（2）解：方法一：三棱锥BB1C1D的体积就是三棱锥DBB1C1的体积 7分过点D作DEBC，垂足为E在直三棱柱ABCA1B1C1中，B1B平面ABC因为DE平面ABC，所以B1BDE又因为DEBC，且B1B，BC平面B1BCC1，B1BBCB，所以DE平面B1BCC1，即DE为三棱锥DBB1C1的高 9分在ABC中，AB3，BC4，且ABBC，所以AC5，sinC，在RtDEC中，DCAC，所以DEDCsinC 又BB1C1的面积SBB1B1C1346，所以三棱锥DBB1C1的体积VSDE3，

16、故三棱锥BB1C1D的体积等于3 12分方法二：三棱锥BB1C1D的体积就是三棱锥B1BDC1的体积 7分因为（1）中已证B1A平面C1BD，所以B1到平面BDC1的距离等于A到平面BDC1的距离因此三棱锥B1BDC1的体积等于三棱锥ABDC1的体积，即等于三棱锥C1ABD的体积在直三棱柱ABCA1B1C1中，C1C平面ABC，所以C1C为三棱锥C1ABD的高 10分因为AB3，BC4，且ABBC，SABCABBC6因为D是AC的中点，所以ABD的面积SSABC3故三棱锥C1ABD的体积VSC1C3，即三棱锥BB1C1D的体积等于3 12分20（本小题满分12分）解：（1）由ABC为正三角形，

17、得AOB2ACB，所以ABOBAO，所以原点O到直线AB的距离d1sin 3分由点到直线的距离公式得，解得m或所以直线AB的方程为2x2y0或2x2y0 5分（2）方法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)因为0，所以点P在以AB为直径的圆上记该圆圆心为(x0，y0)，则是方程组的解，解得故以AB为直径的圆的方程为(x)2(y)21，其中m 9分又点P在直线xy0上，即直线与圆有公共点，所以，即2m22m10 解得m综上，实数m的取值范围是， 12分方法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)联立直线AB与圆O方程，得消去y得2x22mxm210 所以x1，x2是的两个解，判别

18、式(2m)242(m21)0，即m，且x1x2m，x1x2 7分设点P(x，y)，则(xx1，yy1)，(xx2，yy2)由0，得(xx1) (xx2)(yy1) (yy2)0，将yx，y1x1m，y2x2m代入，整理得2x22(x1x2m)x2x1x2(m)(x1x2)(m)20又x1x2m，x1x2，所以2x22xm2m20，关于x的方程2x22xm2m20有实数解， 10分因此(2)242(m2m2)0，即2m22m10，解得m综上，实数m的取值范围是， 12分21（本小题满分12分）解：因为平面PAB平面ABCD，PAAB，平面PAB平面ABCDAB，PA平面PAB，所以PA平面ABCD因为AD平面ABCD，所以PAAD又ABAD，所以PA，AB，AD两两互相垂直以，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz2分yzPABCDEx因为PAAD4，ABBC2，所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)（1）若，即E为PC中点，则E，所以，设平面ABE的一个法向量为m(x1，y1，z1)，则即令z11，得y12，所以平面ABE的一个法向量为m(0，2，1) 4分设直线DE与平面ABE所成角为，则sin|cos