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1、第一章 命题逻辑基本概念课后练习题答案1.将下列命题符号化,并指出真值:(1)pq,其中,p:2是素数,q:5是素数,真值为1;(2)pq,其中,p:是无理数,q:自然对数的底e是无理数,真值为1;(3)pq,其中,p:2是最小的素数,q:2是最小的自然数,真值为1;(4)pq,其中,p:3是素数,q:3是偶数,真值为0;(5)pq,其中,p:4是素数,q:4是偶数,真值为0.2.将下列命题符号化,并指出真值:(1)pq,其中,p:2是偶数,q:3是偶数,真值为1;(2)pq,其中,p:2是偶数,q:4是偶数,真值为1;(3)pq,其中,p:3是偶数,q:4是偶数,真值为0;(4)pq,其中,

2、p:3是偶数,q:4是偶数,真值为1;(5)pq,其中,p:3是偶数,q:4是偶数,真值为0;3.(1)(pq)(pq),其中,小丽从筐里拿一个苹果,q:小丽从筐里拿一个梨;(2)(pq)(pq),其中,p:刘晓月选学英语,q:刘晓月选学日语;.4.因为p与q不能同时为真.5.设p:今天是星期一,q:明天是星期二,r:明天是星期三:(1)pq,真值为1(不会出现前件为真,后件为假的情况);(2)qp,真值为1(也不会出现前件为真,后件为假的情况);(3)pq,真值为1;(4)pr,若p为真,则pr真值为0,否则,pr真值为1.返回第二章 命题逻辑等值演算本章自测答案5.(1):,成真赋值为00

3、、10、11;(2):0,矛盾式,无成真赋值;(3):,重言式,000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值;7.(1):;(2):;8.(1):1,重言式;(2):;(3):0,矛盾式. 11.(1):;(2):1;(3):0. 12.A.第三章 命题逻辑的推理理论本章自测答案6.在解本题时,应首先将简单陈述语句符号化,然后写出推理的形式结构*,其次就是判断*是否为重言式,若*是重言式,推理就正确,否则推理就不正确,这里不考虑简单语句之间的内在联系(1)、(3)、(6)推理正确,其余的均不正确,下面以(1)、(2)为例,证明(1)推理正确,(2)推理不正确(1

4、)设p:今天是星期一,q:明天是星期三,推理的形式结构为(pq)pq(记作*1)在本推理中,从p与q的内在联系可以知道,p与q的内在联系可以知道,p与q不可能同时为真,但在证明时,不考虑这一点,而只考虑*1是否为重言式.可以用多种方法(如真值法、等值演算法、主析取式)证明*1为重言式,特别是,不难看出,当取A为p,B为q时,*1为假言推理定律,即(pq)pq q(2)设p:今天是星期一,q:明天是星期三,推理的形式结构为(pq)pq(记作*2) 可以用多种方法证明*2不是重言式,比如,等值演算法、主析取范式(主和取范式法也可以)等(pq)qp(pq) q pq ppq从而可知,*2不是重言式,

5、故推理不正确,注意,虽然这里的p与q同时为真或同时为假,但不考虑内在联系时,*2不是重言式,就认为推理不正确.9.设p:a是奇数,q:a能被2整除,r:a:是偶数推理的形式结构为 (pq)(rq)(rp) (记为*)可以用多种方法证明*为重言式,下面用等值演算法证明:(pq)(rq)(rp)(pq) (qr)(qr) (使用了交换律)(pq)(pr)qr(pq)(qr)p(qq)r110.设p:a,b两数之积为负数,q:a,b两数种恰有一个负数,r:a,b都是负数.推理的形式结构为(pq)p(qr)(pq) p(qr)p(qr) (使用了吸收律)p(qr)由于主析取范式中只含有5个W极小项,故

6、推理不正确.11.略14.证明的命题序列可不惟一,下面对每一小题各给出一个证明 p(qr)前提引入 P前提引入 qr 假言推理 q前提引入 r 假言推理 rs 前提引入(2)证明: (pr) 前提引入 qr 置换 r前提引入 q 析取三段论 pq 前提引入 p拒取式(3)证明: pq 前提引入 qq 置换 (pq)(pp) 置换 p(qp 置换 p(pq) 置换15.(1)证明: S结论否定引入 SP 前提引入 P假言推理 P(qr)前提引入 qr 假言推论 q前提引入 r假言推理(2)证明: p附加前提引入 pq 附加 (pq)(rs)前提引入 rs 假言推理 s化简 st 附加 (st)u

7、前提引入 u拒取式16.(1)证明: p结论否定引入 p q前提引入 q 假言推理 rq 前提引入 r析取三段论 rs 前提引入 r化简 rr 合取(2)证明: (rs) 结论否定引入 rs 置换 r化简 s化简 pr 前提引入 p拒取式 qs 前提引入 q拒取式 pq 合取 (pq) 置换口 pq 前提引入口 (pq) (pq) 口合取17设p:A到过受害者房间,q: A在11点以前离开,r:A犯谋杀罪,s:看门人看见过A。前提:(pq) r , p ,q s , s结论:r证明: qs 前提引入 s 前提引入 q 拒取式 p 前提引入 pq 合取(pq)r 前提引入 r 假言推理18(1)

8、设 p:今天是星期六,q:我们要到颐和园玩,s:颐和园游人太多。前提:p(pr) , sq , p , s结论:r证明: sq 前提引入 s前提引入 q假言推理 p前提引入 p(qr)前提引入 qr 假言推理r 析取三段论(2)设p:小王是理科学生,q:小王数学成绩好,r:小王是文科学生。前提:pq ,rp ,q结论:r证明: pq 前提引入 q前提引入 p拒取式 rp 前提引入 r拒取式返回第四章 (一阶)谓词逻辑基本概念本章自测答案4.(1)x(F(x) G(x)x( F (x) G (x) ),其中,F(x):x是有理数,G(x) :x能表示成分数;(2)x( F (x) G (x) )

9、 x(F(x) G(x),其中,F (x):x在北京卖菜,G (x) :x是外地人;(3)x( F (x) G (x) ),其中,F (x):x是乌鸦,G (x) :x是黑色的;(4)xF(x) G(x),其中,F (x):x是人,G (x) :x天天锻炼身体。因为本题中没有指明个体域,因而使用全总个体域。5.(1)xy (F(x) G( y ) H(x,y),其中,F(x):x是火车,G(y) :y是轮船,H(x,y):x比y快;(2)xy (F(x) G( y ) H(x,y),其中,F(x):x是火车,G(y) :y是汽车,H(x,y):x比y快;(3)x(F(x)y(G (y) H (

10、x,y)x(F(x) y(G(y) H(x,y),其中,F(x):x是汽车,G (y) :y是火车,H(x,y):x比y快;(4)x(F(x)y(G(y) H(x,y)xy(F(x)G(y)H(x,y),其中,F(x):x是汽车,G(y) :y是火车,H(x,y):x比y慢。6.各命题符号化形式如下:(1)xy (x y = 0);(2)xy (x y = 0);(3)xy (y =x+1)(4)xy(x y = yx)(5)xy(x y =x+ y)(6)xy (x + y 0 )9.(1)对任意数的实数x和y,若x y,则x y;(2)对任意数的实数x和y,若xy = 0,则xy;(3)对

11、任意数的实数x和y,若xy,则xy0;(4)对任意数的实数x和y,若xy 0,则x=y.其中,(1)(3)真值为1(2)与(4)真值为0.11.(1)、(4)为永真式,(2)、(6)为永假式,(3)、(5)为可满足式。这里仅对(3)、(4)、(5)给出证明。(3)取解释I 为:个体域为自然数集合N,F(x,y):x y,在下,xy F(x,y)为真,而xy F(x,y)也为真(只需取x =0即可),于是(3)中公式为真,取解释 为:个体域仍为自然数集合N,而F(x,y):x = y。此时,xyF(x,y)为真(取y为x即可),可是xyF(x,y)为假,于是(3)中公式在 下为假,这说明(3)中

12、公式为可满足式。(4)设I为任意一个解释,若在I下,蕴涵式前件xy F(x,y)为假,则xyF(x,y)yxF(x,y)为真,若前件xyF(x,y)为真,必存在I的个体域D1中的个体常项x0,使yF(x0,y)为真,并且对于任意y,F(x0,y)为真,由于有x0,F(x0,y)为真,所以xF(x,y)为真,又其中y是任意个体变项,所以 yxF(x,y )为真,由于I的任意性,所以(4)中公式为永真式(其实,次永真式可用第五章的构造证明法证明之)。(5)取解释为:个体域为自然数集合,F(x,y):x = y在下,(5)中公式为真,而将F(x,y)改为F(x,y):x y,(5)中公式就为假了,所

13、以它为可满足式。13(1)取解释为:个体域为自然数集合N,F(x):x为奇数,G(x):x为偶数,在 下, x(F(x)G(x)为真命题。取解释为:个体域为整数集合Z,F(x):x为正整数,G(x):x为为负整数,在 下, x(F(x)G(x)为假命题。(2)与(3)可类似解答。14提示:对每个公式分别找个成真的解释,一个成假的解释。返回第五章 谓词逻辑等值演算与推理本章自测答案2.(1) (F(a) F(b) F (c) (G (a )G (b)G (c)(2) (F(a) F(b) F (c) (G (a)G (b)G (c)(3) (F(a) F(b) F (c) (G (a)G (b)

14、G (c)(4) (F(a ,y) F(b,y) F (c,y) (G (a)G (b)G (c)5.提示:先消去量词,后求真值,注意,本题3个小题消去量词时,量词的辖域均不能缩小,经过演算真值分别为:1,0,1 .(1) 的演算如下:xyF(x,y)x (F(x,3)F(x,4)(F(3,3)F(3,4)(F(4,3)F(4 ,4)1116.乙说得对,甲错了。本题中,全称量词 的指导变元为x ,辖域为(F (x)G(x,y),其中F(x )与G(x,y)中的x都是约束变元,因而不能将量词的辖域缩小。7.演算的第一步,应用量词辖域收缩与扩张算值式时丢掉了否定联结词“ ”。演算的第二步,在原错的

15、基础上又用错了等值式,即(F(x)(G(y) H(x,y) (F(x) G(y)H (x,y)12.公式的前束范式不唯一,下面每题各给出一个答案。(1) xy (F(x) G(z,y);(2) xt (x,y) G(x,t,z);(3) x4 (F(,y) G(,y)(G(,y) F(x4,y);(4) (F()G(,) (H () L(,);(5) (F(,)(F() G (,).13.(1)xy(F(x) G(y) H(x ,y),其中,F(x):x是汽车,G(y):y是火车,H(x,y):x比y跑的快; (2)xy(F(x) G(y)H(x ,y),其中,F(x):x是火车,G(y):y

16、是汽车,H(x,y):x比y跑的快; (3)xy(F(x) G(y) H(x ,y),其中,F(x):x是火车,G(y):y是汽车,H(x,y):x比y跑的快; (4)xy(F(x) G(y) H(x ,y),其中,F(x):x是飞机,G(y):y是汽车,H(x,y):x比y慢;14.(1)对F(x) xG(x)不能使用EI规则,它不是前束范式,首先化成前束范式。F(x) xG(x) x(F(y)G(x)因为量词辖域(F(y)G(x)中,除x外还有自由出现的y,所以不能使用EI规则。 (2)对 x F(x) y G(y)也应先化成前束范式才能消去量词,其前束范式为 x y(F(x) G(y),

17、要消去量词,既要使用UI规则,又要使用EI规则。 (3)在自然推理系统F中EG规则为A(c)/x(x)其中c为特定的个体常项,这里A(y) = F(y) G(y)不满足要求。 (4)这里,使F(a)为真的a不一定使G(a)为真,同样地使G(b)为真的b不一定使F(b)为真,如,F(x):x为奇数,G(x):x为偶数,显然F(3)G(4)为真,但不存在使F(x)G(x)为真的个体。 (5)这里c为个体常项,不能对F(c)G(c)引入全称量词。15.(1)证明:xF(x)前提引入xF(x) y(F(y)G(y) R(y) 前提引入y(F(y)G(y) R(y) 假言推理F(c) EI(F(c)G(

18、c)R(c) UIF(c)G(c) 附加R(c) 假言推理xR(x) EG(2)证明xF(x) 前提引入x(F(x)G(a)R(x) 前提引入F(c) EIF(c)G(a)R(a) UIG(a)R(c) 假言推理R(c) 化简F(c)R(c) 合取x(F(x)R(x)EG(3)证明:xF(x) 前提引入xF(x)置换F(c) UIx(F(x)G(x) 前提引入F(c)G(c) UIF(c) 析取三段论xF(x)EG(4)证明x(F(x)G(x)前提引入F(y)G(y) UIx(G(x)R(x) 前提引入G(y)R(y) UIx R(x) 前提引入R(y) UIG(y) 析取三段论F(y) 析取

19、三段论xF(x) UG17本题不能用附加前提证明法.20.(1)与(2)均可用附加前提证明法。22.(1)设F(x):x为偶数,G(x):x能被2整除。前提:x(F(x)G(x),F(6)结论:G(6)(2)设F(x):x是大学生,G(x):x是勤奋的,a:王晓山。前提:x(F(x)G(x),G(a)结论:F(a)23.(1)设F(x):x是有理数,G(x):x是实数,H(x):x是整数。前提:x( F(x)G(x), x(F(x)H(x)结论:x(G(x)H(x)证明提示:先消存在量词。(2)设F(x):x是有理数,G(x):x是无理数,H(x):x是实数,I(x):x是虚数。前提:x(F(

20、x)G(x) H(x), x( I(x)H(x)结论:x(I(x)(F(x)G(x)证明x(I(x)(H(x)前提引入I(y)H(y) UIx(F(x)G(x)H(x) 前提引入(F(y)G(y)H(y)UIH(y)(F(y)G(y)置换I(y)(F(y)G(y)假言三段论x(I(x)(F(x)G(x)UG24.设F(x):x喜欢步行,G(x):x喜欢骑自行车,H(x):x喜欢乘汽车。前提:x(F(x)G(x), x(G(x)H(x), xH(x)结论:xF(x)证明xH(x) 前提引入H(c)UIx(G(x)H(x)前提引入G(c)H(c)UIG(c)析取三段论x(F(x) G(x) 前提引

21、入F(c)G(c)UIF(c)拒取式xF(x) UG25.设F(x):x是科学工作者,G(x):x是刻苦钻研的,H(x):x是聪明的,I(x):x在事业中获得成功。前提:x(F(x)G(x),x(G(x)H(x)I(x),a:王大海,F(a),H(a)结论:I(a)证明F(a)前提引入x(F(x)G(x) 前提引入F(a)G(a)UIG(a)假言推理H(a)前提引入x(G(x)H(x)I(x)前提引入G(a)H(a)I(a) UIG(a)H(a)合取I(a)假言推理返回第六章 集合代数本章自测答案4.(1) (2) (3) (4) (5) 6.只有(2)为真,其余为假。9.(1) 4;(2)

22、1,3,5,6;(3) 2,3,4,5,6;(4) , 1 ;(5) 4 ,1,4.11.(1); (2) 1,4,5.22.(2)、(3)、(4)、(8)、(10)为真,其余为假。24.(1)为真,其余为假,因为(P-Q) = P (P-Q)Q = PQ = PQ(2)(3)(4)的反例:P =1 ,Q =226.(AB)(BA) = (AB)(BA)=(AB)(BB)(AA)(BA)=(AB)E(AB)=(AB)-(AB)27.(1)(A-B)-C = ABC =A(BC) = A-(BC) (2)(A-C)-(B-C)AC(BC) =AC(BC) = (ACB)(ACC) =AC=(AB

23、)- C (3)(AB-C=ABC =ACB=(AC)B28.(1)A(BA) = (AB)(AA) =(AB) =AB=BA (2)(AB)A) = (AB)A =(AB)A = A29.由第26题有(A-B)(B-A)=(AB)(AB),故(A-B)(B-A)AB。假若xAB,那么xAB,因此x(AB)-(AB),与(A-B)(B-A) = (AB)-(AB) = AB矛盾.30.ABx(xAxB)x(xBxA) x(xBxA)BA AB AAAB EAB而ABE,因此AB AB=E反之, AB = E A(AB)= A AB = A AB 综合上述,ABAB = E AB A-B = A

24、-BB反之A-BB (A-B)BB ABB AB = B AB综合上述ABA-BB31.任取x ,xA x A=xP(A)=xP(B)=xB xB32.先证CACB CAB,任取x,xC xCxC xAxB xAB,从而得到CAB.再证CAB CACB,这可以由CABA,CABB得到。33.PQ P-Q= P-QP,反之,P-QP P(P-Q)PP P-Q= PQ34.令X=,则有Y =,即Y = .35.AB AABA EBA因为E为全集,BAE综合上述BA=E.36.由ACBC,A-CB-C,利用ACBD有: (AC)(A-C) (BC)(B-C) (AC)(AC)(BC)(BC) (A(

25、CC)(B(CC) AEBE AB37.恒等变形法B=B(BA)=B(AB)=B(AC) =(BA)(BC)=(AC)(BC) =(AB)C=(AC)C=C39.任取x,有xP(A) x A x B xP(B),因此P(A)P(B).40.(1)任取x有xP(A)P(B)xP(A)xP(B)xAxBxABxP(AB)(2)任取x有xP(A)P(B)xP(A)xP(B)xAxB xABxP(AB)注意与(1)的推理不同,上面的推理中有一步是“ ”符号,而不是“”符号。(3)反例如下:A = 1,B = 2,则P(A)P(B)= ,1,2P(AB)=,1,2,1,2返回第七章 二元关系本章自测答案

26、3.(1) 任取,有(A B)(C D) xA B y C Dx Ax By Cy D(x Ay C )(xByD)ACBD(AC)(BD)(2)都为假,反例如下:A =1, B =1,2, C =2, D =34.(1)为假,反例如下:A =1, B =,C = 2;(2)为真,证明如下:任取有A(BC)(CD)xAByByC(xAyB)(xAyC)ABAC(AB)(AC)(3)为真,令A = 即可;(4)为假,反例如下: A = 7.=,=,IALA=,DA=,9.(1), , , , (2),;(3),(4),12.(略)13.AB = , A B =domA = 1,2,3,domB

27、= 1,2,4,dom(A B) = 1,2,3,4ranA = 2,3,4,ranB = 2,3,4,ran(A B) = 4,fld(A - B) = 1,2,314.RR = , R= , R0,1 = , R1,2 = 2,318.(1)F(GH) = FGFH任取 ,有F (GH)t(FGH)t(F(GH)t(FG)(FH)t(FG)t(FH)FGFHFGFH (2)和(4)类似可证19.(2)任取y,有yRTWx(xTWR)x(xTxW)Rx(xAR)(xWR)x(xTR)x(xWR)yRTyRWyRTRW(3)任取,有F(AB)xABFxAxBF(xAF)(xBF)FAFBFAF

28、 B20.(1)任取,有() (2)和(1)类似可证.21.只有对称性,因为1+110,R,R不是自反的,又由于R,因此R不是反自反的,根据xRyx+y = 10=yRx ,可知R是对称的,又由于,都是属于R,因此R不是反对称的, ,都属于R,如果R是传递的,必有属于R.但这是不成立的,因此R也不是传递的.22.(1)关系图如图7.15所示; (P148) (2)具有反自反性、反对称性、传递性.26.(1)R=, = , (2)r(R)=,s(R)=,T(R)=,31.(1)R = ,;(2)R; (3)R.32.(1)不是等价关系,因为 R,R不是自反的; (2)不是等价关系,因为R不是传递

29、的,1R3,3R2但是没有1R2; (3)不是等价关系,因为 R,R不是自反的; (4)不是等价关系,因为R不是传递的。 (5)是等价关系。33关系图如图7.17说示 (P151) a = b =a,b,c = d = c,d 38.现取x,有xA R RR R RR 任取,有 R R R RR 任取,有 R R R R (RR)( RR RR 42.x,xA R RR T,T是自反的。 x,yA,TRR RR T,T是对称的。 x,y,zA,TT RRRR RRRR RR T T是传递的。43哈斯图如下图所示. 44.(a)偏序集,A=1,2,3,4,5,R=, (b)偏序集,A=a,b,c

30、,d,e,f,R=, (c)偏序集,A=1,2,3,4,5, R=,45.(a)A=a,b,c,d,e,f,g, =, , (b)A = a,b,c,d,e,f,g,R口 = , 46.哈斯图如图7.19所示 (P153)(1)极大元e,f;极小元a,f;没有最大与最小元。(2)极大元a,b,d,e;极小元a,b,c,e;没有最大与最小元。返回第八章 函数本章自测答案2. = , = , = , = ,= , = , = ,= , = , = ,3.(1)双射,反函数=,f(8=|8|),(4=4;(2)双射,反函数:R R,(x)= logx, (1) = 2, (1,2) =0,1;(3)

31、单射,(5) = , (2,3) = 2;(4)单射,(2,3) = 5,7, (1,3) = 0,1;(5)单射,(-1,2) = 1,2, (1) = -1,1; (6)单射,(0,1) = (1/4,3/4),(1/4,1/2) = 0,1/2;(8)单射,(0,1) = (1,+),(2,3) = 1/2,1/3.4.(1) 单射 (2) 不单射,也不满射 (3) 不单射,也不满射 (4) 满射 (5) 单射 (6) 不单射,也不满射.5.(1) 为真,其余都为假.7.(1) 结果不唯一,=,;(2) 结果不唯一,=,(3) 不能(4) 存在单射还书的充要条件是m n ,存在满射函数的

32、充要条件是m n,存在双射函数的充要条件是m = n .9.双射函数与单射函数都是n!个10.(1)不是单射,不是满射,也不是双射; (2),; (3)3,5,717.fg(x)=2x +7, bf(x) =2x +4, ff(x) =x +6, gg(x) =4x +3, hf(x)=x/2 +3, gh(x) = x +1/2, fh(x) =(x +5)/2 gh f(x) =x +7/218.ff(n) =n+2, gf(n)=2n+1, fg(n)=2n+2, gh(n) =0hg(n)=, hgf(n)=.19.(1)gf(x)=x+8x +14, fg(x)=x+2 (2)都不是

33、单射,也不是满射和双射。 (3)g和h有反函数,g:RR,g(x) = x4; h:RR,h(x)=20 (1)fg:NN, fg(x) (2)不是单射,不是满射,也不是双射。21.(1)单射,假设f() = f(),那么 = 。根据有序对相等的条件得=,因此f是单射的,但是f不是满射的,因为ran (2)不存在反函数 (3)ran=nN24.这些函数都是不唯一的,以下只是一个可能的结果。 (1)f = , (2)f(x) = 2x (3)f(x) = x - 1 (4)f(x) = e 返回第九章 集合的基数本章自测答案1.令:P(A)2,(T) = X, 假如,P(A),且,那么存在x只属

34、于和之中的一个集合,不妨设xx,因此(),(),于是()(),从而证明了是单射的,对于任意g2,令B=xxA,g(x) = 1,则BP(A), 且(B)= X = g.2.令:1,2 0,1,(x) = x 1,则为1,2到0,1的双射函数.3.令:AN,(x) = x/2 , 则为双射函数.6.提示:根据A C,B D,存在双射:AC,g:BD,构造函数h:ABCD,h() = 容易证明h的双射性。7.A = 2nnN,B = 2|kN,C=Z9.(1) 36 = 6, 25 = 2;(2)43 =3,31 = 1,2(3)4 = 3, 1 = 0(4)14 = ,2= ,,其中: =, =

35、 , =, = ,10.(1)3, (2), (3), (4), (5), (6), 返回第十章 代数系统本章自测答案3.(1)可以,A = -1,0,1.(2)不可以.4.(1)封闭 (2)不封闭 (4)加法不封闭,乘法封闭 (5)不封闭 (7)封闭 (9)加法不封闭,乘法封闭5.(1)没有交换律、结合律,对于一个运算不能考虑分配律;(3)加法满足交换律、结合律,乘法满足结合律,乘法对加法满足分配律;(4)乘法满足结合律(6)加法和乘法都满足交换律、结合律,乘法对加法满足分配律;(7)满足结合律;(8)乘法满足交换律、结合律;(9)乘法满足交换律、结合律;(10)乘法满足交换律、结合律。6.

36、(1)没有单位元、零元,没有可逆元素。(3)n阶全0矩阵是加法单位元,也是乘法的零元;n阶单位矩阵是乘法单位元;加法没有零元。任意n阶矩阵M对于加法都是可逆元,起逆元为 M;只有n阶可逆矩阵(行列式不为0)对乘法是可逆元,其逆元为M .(4) 乘法单元为n阶单位矩阵,没有零元。每个矩阵M都有逆元M . (6) 加法单位元0,没有零元,每个元素x都可逆,其逆元是它的相反数 x 。当n = 1时,乘法有单位元1,只有两个可逆元素:1 = 1, ( - 1) = - 1.当n1时乘法没有单位元和可逆元素。(7)没有单位元和零元,也没有可逆元素。(8)乘法单位元为1,只有1是可逆元素,1 = 1(9)

37、乘法单位元为1,只有1是可逆元素,1 = 1(10)乘法没有单位元、零元以及可逆元素。8.(1)不可交换。反例: * = , * = .可结合,因为 ,Q Q( * ) * = * = * ( * ) = * = 不是幂等的,因为 * = (2) 容易严整为单位元,没有零元,当 a0 时,的逆元为11.(1)能构成代数系统。满足交换律、结合律、无单位元,零元是1; (3)能构成代数系统。满足交换律、结合律,单位元是10,零元是1。 15.(1)能 (2)不能 (3)不能 (4)能返回第十一章 半群与群本章自测答案2.(1)构成半群、独异点和群;(3)构成半群,不构成独异点,也不构成群;(4)构成半群、独异点和群5.(1)假设a*b b*a,那么或者a*b = a , a = b ;或者a*b = b , b*a = a。若为前者,则(a*b)*a = a*a = b , a*(b*a) = a*b = a与结合律矛盾,若为后者,有(a*b)* a = b*a = a ; a*(b*a) = a*a = b也与结合律矛盾。(2) 假设b*b = a ,那么或者a*b = b*a = a,或者a*b = b*a = b 。若为前者,则(b*a)*a = a*a = b ; b*(a*a) = b*b = a与结合律矛盾,

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