不等式的性质与一元二次不等式

1、不等式的性质与一元二次不等式1、两个实数比较大小的方法(1)作差法 (a，bR)；(2)作商法 (aR，b0)2、不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性abbb，bcac可加性abacbc可乘性acbc注意c的符号acbd同向同正可乘性acbd可乘方性ab0anbn(nN)可开方性ab0(nN)a，b同为正数3、不等式的一些常用性质(1)倒数的性质：ab，ab0；a0bb0,0c.；0axb或axb0b0，m0，则，(bm0)；0)4、“三个二次”的关系判别式b24ac000)的图像ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xx|xRax2bxc0

2、)的解集x|x1x0或(xa)(xb)0型不等式的解法不等式解集ab(xa)(xb)0x|xbx|xax|xa(xa)(xb)0x|axbx|bxa口诀：大于取两边，小于取中间选择题：设ab B. C|a|b D.解析由题设得aab0，有不成立若a，b，c，则()Aabc Bcba Ccab Dbac解析易知a，b，c都是正数，log8164b；log1，bc，即cba若a，bR，若a|b|0 Ba3b30 Ca2b20 Dab0解析由a|b|0知，a|b|，当b0时，ab0成立，当b0时，ab0成立，abb成立的充分而不必要的条件是()Aab1 Bab1 Ca2b2 Da3b3解析由ab1，

3、得ab1b，即ab，而由ab不能得出ab1，使ab成立的充分而不必要的条件是ab1.已知0aN BMN CMN D不能确定解析0a0,1b0,1ab0，MN0已知实数a，b，c满足bc64a3a2，cb44aa2，则a，b，c的大小关系是()Acba Bacb Ccba Dacb解析cb44aa2(a2)20，cb.又bc64a3a2，2b22a2，ba21，baa2a1(a)20，ba，cba.设a2，A，B，则A，B的大小关系是()AAB BAB2已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是()AMN CMN D不确定解析MNa1a2(a1a21)a1a2a1

4、a21a1(a21)(a21)(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210，即MN0，MN.已知xR，m(x1)(x21)，n(x)(x2x1)，则m，n的大小关系为()Amn Bmn Cmn Dm0.则有xR时，mn恒成立已知a，b，c满足cba，且acac Bc(ba)0 Ccb20解析由cba且ac0知c0，由bc得abac一定成立设ab1，c；acloga(bc)其中所有的正确结论的序号是()A B C D解析由不等式性质及ab1知，又c，正确；构造函数yxc，cb1，acb1，cbc1，logb(ac)loga(ac)loga(bc)，知正确设a，bR，

5、则“(ab)a20”是“ab”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析由(ab)a20a0且ab，充分性成立；由abab0，当0ab时/(ab)a20，必要性不成立设(0，)，0，则2的取值范围是()A(0，) B(，) C(0，) D(，)解析由题设得02，0，0，20，集合Bx|2x2，则AB等于()A(1,3) B(，1) C(1,1) D(3,1)解析依题意，可求得A(1,3)，B(，1)，AB(1,1)已知集合Px|x2x20，Qx|log2(x1)1，则(RP)Q等于()A2,3 B(，13，) C(2,3 D(，1(3，)解析依题意，得P

6、x|1x2，Qx|1x3，则(RP)Q(2,3已知不等式ax2bx10的解集是，则不等式x2bxa0的解集是()A(2,3) B(，2)(3，) C. D.解析由题意知，是方程ax2bx10的根，所以由根与系数的关系得，解得a6，b5，不等式x2bxa0即为x25x60，解集为(2,3)若一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A(3,0 B3,0) C3,0 D(3,0)解析2kx2kx0对一切实数x都成立，则必有解之得3k0，则a的取值范围是()A(0,4) B0,4) C(0，) D(，4)解析任意xR，ax2ax10，则必有或a0，0af(1)的解集是()A

7、(3,1)(3，) B(3,1)(2，)C(1,1)(3，) D(，3)(1,3)解析由题意得或解得3x3.已知函数f(x)则不等式f(x)x2的解集为()A1,1 B2,2 C2,1 D1,2解析作出函数yf(x)和函数yx2的图像，如图，由图知f(x)x2的解集为1,1若集合Ax|ax2ax10，则实数a的取值范围是()Aa|0a4 Ba|0a4 Ca|0a4 Da|0a4解析由题意知a0时，满足条件，a0时，由得0a4，0a4已知不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60的解集是B，不等式x2axb0的解集是AB，那么ab等于()A3 B1 C1 D3解析由题意，得Ax|1x3，Bx

8、|3x2，ABx|1x2，则不等式x2axb0的解集为x|1x0，且a1，Ploga(a31)，Qloga(a21)，则P与Q的大小关系是_解析由题意可知a1.(a31)(a21)a2(a1)0，a31a21，loga(a31)loga(a21)，即PQ.设abc0，x，y，z，则x，y，z的大小关系是_解析令a3，b2，c1，则x，y，z，故zyx.设f(x)ax2bx，若1f(1)2，2f(1)4，则f(2)的取值范围是_解析由得f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.若关于x的不等式m(x1)x2x的解集为x|1xx2x

9、的解集为x|1x0且x1x2a210，故1a0恒成立，即g(k)(x2)k(x24x4)0，在k1,1时恒成立只需g(1)0且g(1)0，即解之得x3.已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_解析作出二次函数f(x)的草图，对于任意xm，m1，都有f(x)0，则有即解得m0恒成立，则实数a的取值范围是_解析x1，)时，f(x)0恒成立，即x22xa0恒成立即当x1时，a(x22x)g(x)恒成立而g(x)(x22x)(x1)21在1，)上单调递减，g(x)maxg(1)3，故a3，实数a的取值范围是a|a3若0a0的解集是_解析原不等式即(x

10、a)(x)0，由0a1得a，ax.已知关于x的不等式0的解集是，则实数a_.解析0(x1)(ax1)0，依题意，得a1，f(2)，则实数a的取值范围是_解析f(x3)f(x)，f(2)f(13)f(1)f(1)1.10(3a2)(a1)0，1a.若不等式x2ax20在区间1,5上有解，则实数a的取值范围是_解析设f(x)x2ax2，由题知：a280，所以方程x2ax20恒有一正一负两根，于是不等式x2ax20在区间1,5上有解的充要条件是f(5)0，即a.若关于x的不等式axb的解集为，则关于x的不等式ax2bxa0的解集为_解析由已知axb的解集为，可知a0，且，将不等式ax2bxa0两边同

11、除以a，得x2x0，即x2x0，解得1x，故不等式ax2bxa0的解集为.不等式a28b2b(ab)对于任意的a，bR恒成立，则实数的取值范围为_解析因为a28b2b(ab)对于任意的a，bR恒成立，所以a28b2b(ab)0对于任意的a，bR恒成立，即a2ba(8)b20恒成立，由二次不等式的性质可得，2b24(8)b2b2(2432)0，(8)(4)0，解得84.解答题：设函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)0，又m(x2x1)60，m.函数y在1,3上的最小值为，只需m即可，m的取值范围是.设二次函数f(x)ax2bxc，函数F(x)f(x)x的两个零点为m，n(m0的解集

12、；(2)若a0，且0xmn0，即a(x1)(x2)0.当a0时，不等式F(x)0的解集为x|x2；当a0的解集为x|1x0，且0xmn，xm0，f(x)m0，即f(x)b0，则下列不等式中一定成立的是()Aab B. Cab D.解析取a2，b1，排除B与D；另外，函数f(x)x是(0，)上的增函数，但函数g(x)x在(0,1上递减，在1，)上递增，当ab0时，f(a)f(b)必定成立，即abab，但g(a)g(b)未必成立，故选A.设a0，不等式caxbc的解集是x|2x1，则abc等于()A123 B213 C312 D321解析caxb0，x.不等式的解集为x|2x1，abca213.已

13、知a，b，c满足cba且ac0，则下列选项中不一定成立的是()A.0 C. D.0解析cba且ac0，c0，0，0，但b2与a2的关系不确定，故不一定成立已知函数f(x)ax2bxc(a0)，若不等式f(x)0(e是自然对数的底数)的解集是()Ax|xln 3 Bx|ln 2xln 3 Cx|xln 3 Dx|ln 2xln 3解析法一依题意可得f(x)a(x3)(a0)，则f(ex)a(ex3)(a0，可得ex3，解得ln 2x0的解集是(1,3)，则不等式f(2x)0的解集是()A(，)(，) B(，)C(，)(，) D(，)解析f(x)0的两个解是x11，x23且a0，由f(2x)3或2

14、x1，x.若关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a等于()A. B. C. D.解析由x22ax8a20，得(x2a)(x4a)0，不等式的解集为(2a,4a)，即x24a，x12a，由x2x115，得4a(2a)15，解得a.已知函数f(x)x2axb2b1(aR，bR)，对任意实数x都有f(1x)f(1x)成立，当x1,1时，f(x)0恒成立，则b的取值范围是()A1b2 Cb2 D不能确定解析由f(1x)f(1x)知f(x)图像的对称轴为直线x1，则有1，故a2，由f(x)的图像可知f(x)在1,1上为增函数x1,1时，f(x)minf(1)12b2b1b2b2，令b2b20，解得b2.设函数f(x)x21，对任意x，)，f()4m2f(x)f(x1)4f(m)恒成立