中考数学动点问题专题讲解

1、中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存有一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活使用相关数学知识解决问题.图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 例2.如图2,在ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=CE=. (1)如果BAC=30,DAE=105,试确定与之间的函数解析式； AEDCB图2 (2)如果BAC的度数为,DAE的度数为,当,满足怎样的关系式

2、时,(1)中与之间的函数解析式还成立?试说明理由.解：(1)在ABC中,AB=AC,BAC=30, ABC=ACB=75, ABD=ACE=105.BAC=30,DAE=105, DAB+CAE=75, 又DAB+ADB=ABC=75, CAE=ADB, ADBEAC, , , .OFPDEACB3(1)(2)因为DAB+CAE=,又DAB+ADB=ABC=,且函数关系式成立,=, 整理得.当时,函数解析式成立.例3(2005年上海)如图3(1),在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3. 点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EPED,交射

3、线AB于点P,交射线CB于点F.PDEACB3(2)OF(1)求证： ADEAEP.(2)设OA=,AP=,求关于的函数解析式,并写出它的定义域. (3)当BF=1时,求线段AP的长.解：(1)连结OD.根据题意,得ODAB,ODA=90,ODA=DEP.又由OD=OE,得ODE=OED.ADE=AEP, ADEAEP.(2)ABC=90,AB=4,BC=3, AC=5. ABC=ADO=90, ODBC, ,OD=,AD=. AE=. ADEAEP, , . ().(3)当BF=1时， 若EP交线段CB的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.ADE=AEP, PDE=PEC. FBP=DE

4、P=90, FPB=DPE,F=PDE, F=FEC, CF=CE. 5-=4,得.可求得,即AP=2.若EP交线段CB于点F,如图3(2), 则CF=2.类似,可得CF=CE.5-=2,得.可求得,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP的长为2或6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式ABCO图8H例4（2004年上海）如图,在ABC中,BAC=90,AB=AC=,A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO=,AOC的面积为.(1)求关于的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当O与A相切时,AOC的面积.解：(1)过点A作A

5、HBC,垂足为H.BAC=90,AB=AC=, BC=4,AH=BC=2. OC=4-., ().(2)当O与A外切时,在RtAOH中,OA=,OH=, . 解得.此时,AOC的面积=.当O与A内切时,在RtAOH中,OA=,OH=, . 解得.此时,AOC的面积=.综上所述,当O与A相切时,AOC的面积为或.专题二：动态几何型压轴题动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要注重图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、

6、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题1（09年徐汇区）如图，中，点在边上，且，以点为顶点作，分别交边于点，交射线于点（1）当时，求的长； （2）当以点为圆心长为半径的和以点为圆心长为半径的相切时，求的长； （3）当以边为直径的与线段相切时，求的长 题型背景和区分度测量点本题改编自新教材九上相似形24.5(4)例六,典型的一线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改编出第一小题,当E点在AB边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系(相切问题)的存有性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置关系

7、(相切问题)的存有性的研究形成了第三小题区分度测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想来求解区分度性小题处理手法1直线与圆的相切的存有性的处理方法：利用d=r建立方程2圆与圆的位置关系的存有性(相切问题)的处理方法：利用d=Rr()建立方程3解题的关键是用含的代数式表示出相关的线段. 略解解：（1） 证明 ，代入数据得，AF=2（2） 设BE=,则利用（1）的方法， 相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切，；内切，当和相切时，的长为或（3）当以边为直径的与线段相切时，类题 一个动点：09杨浦25题（四月、五月）、09静安25题、 两个动点：09闸北25题、09松江25题、

8、09卢湾25题、09青浦25题（二）线动问题在矩形ABCD中，AB3，点O在对角线AC上，直线l过点O，且与AC垂直交AD于点E.(1)若直线l过点B，把ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A重合，求BC的长；ABCDEOlA(2)若直线l与AB相交于点F，且AOAC，设AD的长为，五边形BCDEF的面积为S.求S关于的函数关系式，并指出的取值范围；探索：是否存有这样的，以A为圆心，以长为半径的圆与直线l相切，若存有，请求出的值；若不存有，请说明理由题型背景和区分度测量点ABCDEOlF本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定

9、理三小块知识内容；当直线沿AB边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存有性的研究形成了区分度测量点二区分度性小题处理手法1找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则图形用割补法2直线与圆的相切的存有性的处理方法：利用d=r建立方程3解题的关键是用含的代数式表示出相关的线段. 略解(1)A是矩形ABCD的对称中心ABAAACABAB，AB3AC6 (2)， ()若圆A与直线l相切，则，(舍去)，不存有这样的，使圆A与直线l相切类题09虹口25题（三）面动问题 如图，在中，、分别是边、上的两个动点（不与、重合），且保持，以为边，在点的异

10、侧作正方形.（1）试求的面积；（2）当边与重合时，求正方形的边长；（3）设，与正方形重叠部分的面积为，试求关于的函数关系式，并写出定义域；（4）当是等腰三角形时，请直接写出的长 题型背景和区分度测量点本题改编自新教材九上相似形24.5(4)例七,典型的共角相似三角形问题,试题为了形成坡度，在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当D点在AB边上运动时，正方形整体动起来，GF边落在BC边上时，恰好和教材中的例题对应，能够说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属于面积类习题来设置区分测量点一，用等

11、腰三角形的存有性来设置区分测量点二 区分度性小题处理手法1找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上图3-1、3-2重叠部分分别为正方形和矩形包括两种情况2准确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图3-3、3-4、3-5用方程思想解决3解题的关键是用含的代数式表示出相关的线段. 略解解：（1）.（2）令此时正方形的边长为，则，解得.（3）当时， ，当时， . （4）.类题 改编自09奉贤3月考25题，将条件（2）“当点M、N分别在边BA、CA上时”,去掉，同时加到第（3）题中.ABFDEMNC已知：在ABC中，AB=AC，B=30，BC=6，点D在边BC上，点E在线段DC上，DE=3，

12、DEF是等边三角形，边DF、EF与边BA、CA分别相交于点M、N （1）求证：BDMCEN； （2）设BD=，ABC与DEF重叠部分的面积为，求关于的函数解析式，并写出定义域（3）当点M、N分别在边BA、CA上时,是否存有点D，使以M为圆心, BM为半径的圆与直线EF相切, 如果存有，请求出x的值；如不存有，请说明理由例1：已知O的弦AB的长等于O的半径，点C在O上变化（不与A、B）重合，求ACB的大小 .分析：点C的变化是否影响ACB的大小的变化呢?我们不妨将点C改变一下,如何变化呢？可能在优弧AB上，也可能在劣弧AB上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当点C在优弧AB上变化时，ACB所对

13、的弧是劣弧AB，它的大小为劣弧AB的一半，所以很自然地想到它的圆心角，连结AO、BO，则因为AB=OA=OB，即三角形ABC为等边三角形，则AOB=600，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：ACB=AOB=300，当点C在劣弧AB上变化时，ACB所对的弧是优弧AB，它的大小为优弧AB的一半，由AOB=600得，优弧AB的度数为3600-600=3000，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：ACB=1500，所以，本题的答案有两个，分别为300或1500.反思：本题通过点C在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性。从而需要分类讨论。这样由点C的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常出现

14、。变式1：已知ABC是半径为2的圆内接三角形，若，求C的大小.本题与例1的区别仅仅AB与圆的半径的关系发生了一些变化,其解题方法与上面一致,在三角形AOB中,则,即,从而当点C在优弧AB上变化时，C所对的弧是劣弧AB，它的大小为劣弧AB的一半，即,当点C在劣弧AB上变化时，C所对的弧是优弧AB，它的大小为优弧AB的一半，由AOB=1200得，优弧AB的度数为3600-1200=2400，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：C=1200，所以或C=1200.变式2： 如图,半经为1的半圆O上有两个动点A、B，若AB=1，判断AOB的大小是否会随点A、B的变化而变化，若变化，求出变化范围，若不

15、变化，求出它的值。四边形ABCD的面积的最大值。解：（1）因为AB=OA=OB，所以三角形AOB为等边三角形，则AOB=600，即AOB的大小不会随点A、B的变化而变化。（2）四边形ABCD的面积由三个三角形组成，其中三角形AOB的面积为，而三角形AOD与三角形BOC的面积之和为，又由梯形的中位线定理得三角形AOD与三角形BOC的面积之和，要四边形ABCD的面积最大，只需EH最大，显然EHOE=，当ABCD时，EH=OE，所以四边形ABCD的面积最大值为+=.对于本题同学们还能够继续思考：四边形ABCD的周长的变化范围.变式3： 如图,有一块半圆形的木板,现要把它截成三角形板块.三角形的两个顶

16、点分别为A、B，另一个顶点C在半圆上，问怎样截取才能使截出的三角形的面积最大？要求说明理由（广州市2000年考题） 分析：要使三角形ABC的面积最大，而三角形ABC的底边AB为圆的直径为常量，只需AB边上的高最大即可。过点C作CDAB于点D，连结CO，因为CDCO，当O与D重合，CD=CO，所以，当CO与AB垂直时，即C为半圆弧的中点时，其三角形ABC的面积最大。本题也能够先猜想，点C为半圆弧的中点时，三角形ABC的面积最大，故只需另选一个位置C1（不与C重合），证明三角形ABC的面积大于三角形ABC1的面积即可。如图显然三角形 ABC1的面积=ABC1D，而C1D C1O=CO,则三角形 A

17、BC1的面积=ABC1DABC1O=三角形 ABC的面积,所以,对于除点C外的任意点C1,都有三角形 ABC1的面积小于三角形三角形 ABC的面积,故点C为半圆中点时,三角形ABC面积最大.本题还可研究三角形ABC的周长何时最大的问题。提示：利用周长与面积之间的关系。要三角形ABC的周长最大，AB为常数，只需AC+BC最大，而（AC+BC）2=AC2+CB2+2ACBC=AB2+4ABC的面积，所以ABC的面积最大时，AC+BC最大，从而ABC的周长最大。从以上一道题及其三个变式的研究我们不难发现,解决动态几何问题的常见方法有：一、 特殊探路，一般推证例2：（2004年广州市中考题第11题）如

18、图，O1和O2内切于A，O1的半径为3，O2的半径为2，点P为O1上的任一点（与点A不重合），直线PA交O2于点C，PB切O2于点B，则的值为（A） （B） （C） （D）分析：本题是一道选择题，给出四个答案有且只有一个是准确的，所以能够取一个特殊位置实行研究，当点P满足PBAB时，能够通过计算得出PB=BCAP=BPAB，所以 BC=， 在三角形BPC中，PC=，所以，=选（B）当然，本题还能够根据三角形相似得，即可计算出结论。作为一道选择题，到此已经完成，但如果是一道解答题，我们得出的结论仅仅一个特殊情况，还要进一步证明对一般情况也成立。例3：如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=4，

19、OABC于O,点E和点F分别在边AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合。判断OEF的形状，并加以证明。判断四边形AEOF的面积是否随点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值. AEF的面积是否随着点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。分析：本题结论很难发现，先从特殊情况入手。最特殊情况为E、F分别为AB、AC中点，显然有EOF为等腰直角三角形。还可发现当点E与A无限接近时，点F与点C无限接近，此时EOF无限接近AOC，而AOC为等腰直角三角形，几种特殊情况都能够得出EOF为等腰直角三角形。一般情况下成立吗？OE

20、与OF相等吗？EOF为直角吗？能否证明。如果它们成立，便能够推出三角形OFC与三角形OEA全等，一般情况下这两个三角形全等吗？不难从题目的条件可得：OA=OC，OCF=OAE，而AE=CF，则OEAOFC，则OE=OF，且FOC=EOA，所以EOF=EOA+AOF=FOC+FOA=900，则EOF为直角，故EOF为等腰直角三角形。二、 动手实践，操作确认例4（2003年广州市中考试题）在O中，C为弧AB的中点，D为弧AC上任一点（与A、C不重合），则（A）AC+CB=AD+DB (B) AC+CBAD+DB (D) AC+CB与AD+DB的大小关系不确定分析：本题能够通过动手操作一下,度量AC

21、、CB、AD、DB的长度，能够尝试换几个位置量一量，得出结论（C）例5：如图，过两同心圆的小圆上任一点C分别作小圆的直径CA和非直径的弦CD，延长CA和CD与大圆分别交于点B、E，则下列结论中准确的是（ * ） （A） （B） （C）（D）的大小不确定分析：本题能够通过度量的方法实行，选（B）本题也能够能够证明得出结论，连结DO、EO，则在三角形OED中，因为两边之差小于第三边，则OEODDE,即OBOA3).动点M，N同时从B点出发，分别沿BA，BC运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q.当点N到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为t秒. (1)若a=

22、4厘米，t=1秒，则PM=厘米； (2)若a=5厘米，求时间t，使PNBPAD，并求出它们的相似比； (3)若在运动过程中，存有某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围； (4)是否存有这样的矩形：在运动过程中，存有某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等?若存有，求a的值；若不存有，请说明理由. 评析 本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存有性问题.试题由浅入深、层层递进，将几何与代数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点主要是题(3)，解决此题的关键是使用相似三角形的性质用t的代数式表示PM，进而利用梯形面积相等列等式

23、求出t与a的函数关系式，再利用t的范围确定的a取值范围. 第(4)小题是题(3)结论的拓展应用，在解决此问题的过程中，要有全局观点以及对问题的整体把握. 4 以双动点为载体，探求函数最值问题 例4 (2007年吉林省)如图9，在边长为82cm的正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A、C同时出发，沿对角线以1cm/s的相同速度运动，过E作EH垂直AC交RtACD的直角边于H；过F作FG垂直AC交RtACD的直角边于G，连结HG、EB.设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为S1，AE、EB、BA围成的图形面积为S2(这里规定：线段的面积为0).E到达C，F到达A停止.若

24、E的运动时间为x(s)，解答下列问题： (1)当0X (2)若y是S1与S2的和，求y与x之间的函数关系式； (图10为备用图) 求y的最大值. 解 (1)以E、F、G、H为顶点的四边形是矩形，因为正方形ABCD的边长为82，所以AC=16，过B作BOAC于O，则OB=89，因为AE=x，所以S2=4x，因为HE=AE=x，EF=16-2x，所以S1=x(16-2x)， 当S1=S2时， 4x=x(16-2x)，解得x1=0(舍去)，x2=6，所以当x=6时， S1=S2. (2)当0x8时，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x， 当8x16时，AE=x，CE=HE=16-x，EF=1

25、6-2(16-x)=2x-16， 所以S1=(16-x)(2x-16)， 所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256. 当0x8时，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以当x=5时，y的最大值为50. 当8x16时，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82， 所以当x=13时，y的最大值为82. 综上可得，y的最大值为82. 评析 本题是以双动点为载体，正方形为背景创设的函数最值问题.要求学生认真读题、领会题意、画出不同情况下的图形，根据图形建立时间变量与其它相关变量的关系式，进而构建面积的函数表达式. 本题在知识点上侧重对二次函数最值问题的考

26、查，要求学生有扎实的基础知识、灵活的解题方法、良好的思维品质；在解题思想上着重对数形结合思想、分类讨论思想、数学建模等思想的灵活使用. 专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题 例题 如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为）若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存有点P，使得OBP与OAB相似？若存有，求出P点的坐标；若不存有，说明理由。例1题图图1图2分析：1.当给出四边形的两个顶点时应以两

27、个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论：按OB为边和对角线两种情况 2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。 练习1、已知抛物线经过及原点（1）求抛物线的解析式

28、（由一般式得抛物线的解析式为）（2）过点作平行于轴的直线交轴于点，在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上，任取一点，过点作直线平行于轴交轴于点，交直线于点，直线与直线及两坐标轴围成矩形是否存有点，使得与相似？若存有，求出点的坐标；若不存有，说明理由（3）如果符合（2）中的点在轴的上方，连结，矩形内的四个三角形之间存有怎样的关系？为什么？练习2、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处。已知折叠，且。（1）判断与是否相似？请说明理由；（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；（3）是否存有过点D的直线l，使直线l、

29、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存有，请直接写出其解析式并画出相对应的直线；如果不存有，请说明理由。Oxy练习2图CBED练习3、在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为）（2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存有这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存有，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存有，请说明理由；CBA练习4图PyyCxBA练习3图（3）若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比

30、较锐角与的大小（不必证明），并写出此时点的横坐标的取值范围O练习4 (2008广东湛江市) 如图所示，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C（1）求A、B、C三点的坐标（2）过点A作APCB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积（3）在轴上方的抛物线上是否存有一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似若存有，请求出M点的坐标；否则，请说明理由练习5、已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，点的坐标分别为，ACOBxy（1）求过点的直线的函数表达式；点，（2）在轴上找一点，连接，使得与相似（不包括全等），并求点的坐标；（3）在（2）的条件下，如分别是和上的

31、动点，连接，设，问是否存有这样的使得与相似，如存有，请求出的值；如不存有，请说明理由参考答案例题、解：由题意可设抛物线的解析式为抛物线过原点，.图1抛物线的解析式为,即 如图1,当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时,CDOB,由得,B(4,0),OB4.D点的横坐标为6 将x6代入,得y3,D(6,3); 图2根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存有点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为(2,3), 当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为(2,1)如图2，由抛物线的对称性可知：AOAB,AOBABO.若BOP与AOB相似,必须

32、有POBBOABPO 设OP交抛物线的对称轴于A点,显然A(2,1)直线OP的解析式为 由,得.P(6,3)过P作PEx轴,在RtBEP中,BE2,PE3,PB4.PBOB,BOPBPO,PBO与BAO不相似, 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存有符合条件的P点.所以在该抛物线上不存有点P,使得BOP与AOB相似. 练习1、解：（1）由已知可得： 解之得，因而得，抛物线的解析式为：（2）存有设点的坐标为，则，要使，则有，即解之得，当时，即为点，所以得要使，则有，即Oxy图1CBED312A解之得，当时，即为点，当时，所以得故存有两个点使得与相似点的坐标为（3）在中，因为所以当点的坐标为时，

33、所以所以，都是直角三角形又在中，因为所以即有所以，图2OxyCBEDPMGlNAF又因为，所以练习2解：（1）与相似。理由如下：由折叠知，又，。（2），设AE=3t，则AD=4t。由勾股定理得DE=5t。由（1），得，。在中，解得t=1。OC=8，AE=3，点C的坐标为（0，8），点E的坐标为（10，3），设直线CE的解析式为y=kx+b，解得，则点P的坐标为（16，0）。（3）满足条件的直线l有2条：y=2x+12，y=2x12。如图2：准确画出两条直线。练习3解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点和，由解得此二次函数的表达式为（2）假设存有直线与线段交于点（不与点重合），使得以为顶

34、点的三角形与相似yxBEAOCD在中，令，则由，解得令，得设过点的直线交于点，过点作轴于点点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为要使或，已有，则只需，或成立若是，则有而在中，由勾股定理，得解得（负值舍去）点的坐标为将点的坐标代入中，求得满足条件的直线的函数表达式为或求出直线的函数表达式为，则与直线平行的直线的函数表达式为此时易知，再求出直线的函数表达式为联立求得点的坐标为若是，则有而在中，由勾股定理，得解得（负值舍去）点的坐标为将点的坐标代入中，求得满足条件的直线的函数表达式为存有直线或与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似，且点的坐标分别为或（3）设过点的直线与该二次函数的图象交

35、于点将点的坐标代入中，求得此直线的函数表达式为设点的坐标为，并代入，得xBEAOCP解得（不合题意，舍去）点的坐标为此时，锐角又二次函数的对称轴为，点关于对称轴对称的点的坐标为当时，锐角；图1CPByA当时，锐角；当时，锐角练习四解：（1）令，得 解得令，得 A B C （2）OA=OB=OC= BAC=ACO=BCO=APCB， PAB=过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形令OE=，则PE= P点P在抛物线上 解得，（不合题意，舍去）PE=四边形ACBP的面积=ABOC+ABPE=(3) 假设存有PAB=BAC = PAACGM图2CByPAMG轴于点G， MGA=PAC =在RtA

36、OC中，OA=OC= AC=在RtPAE中，AE=PE= AP= 设M点的横坐标为，则M 点M在轴左侧时，则() 当AMG PCA时，有=GM图3CByPAAG=，MG=即 解得（舍去） （舍去）() 当MAG PCA时有=即 解得：（舍去） M 点M在轴右侧时，则 () 当AMG PCA时有=AG=，MG= 解得（舍去） M () 当MAGPCA时有= 即 解得：（舍去） M存有点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似M点的坐标为，练习5、解：（1）点，点坐标为设过点的直线的函数表达式为，图1由 得，直线的函数表达式为（2）如图1，过点作，交轴于点，在和中， ，点为所求又，（3）这

37、样的存有图2在中，由勾股定理得如图1，当时，则，解得如图2，当时，则，解得例1(2008福建福州)如图，已知ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t2时，判断BPQ的形状，并说明理由；（2）设BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR/BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，APRPRQ？分析：由t2求出BP与BQ的长度,从而可得BPQ的形状;作QEBP于点E,将PB,QE用t

38、表示,由=BPQE可得S与t的函数关系式;先证得四边形EPRQ为平行四边形,得PR=QE,再由APRPRQ,对应边成比例列方程,从而t值可求.解：(1)BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=21=2,BQ=22=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,即BQ=BP.又因为B=600,所以BPQ是等边三角形.(2)过Q作QEAB,垂足为E,由QB=2t,得QE=2tsin600=t,由AP=t,得PB=6-t,所以=BPQE=(6-t)t=t2+3t；(3)因为QRBA,所以QRC=A=600，RQC=B=600，又因为C=600,所以QRC是等边三角形,这时BQ=2t,所以QR=RC=QC=6-

39、2t.因为BE=BQcos600=2t=t,AP=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP=QR,又EPQR,所以四边形EPRQ是平行四边形,所以PR=EQ=t,由APRPRQ,得到,即,解得t=,所以当t=时, APRPRQ.点评： 本题是双动点问题.动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的水平要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别注重运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.例2(2008浙江温州)如图，在中，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，

40、过点作交于，当点与点重合时，点停止运动设，（1）求点到的距离的长；（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存有点，使为等腰三角形？若存有，请求出所有满足要求的的值；若不存有，请说明理由 分析：由BHDBAC,可得DH;由RQCABC,可得关于的函数关系式;由腰相等列方程可得的值;注意需分类讨论.解：（1），点为中点，（2），即关于的函数关系式为：（3）存有.按腰相等分三种情况：ABCDERPHQM21当时，过点作于，则，ABCDERPHQ，当时，当时，则为中垂线上的点，于是点为的中点，综上所述，当为或6或时，为等腰三角形点评：建立函数关系式,实质就是把函数y用含自变量x的代数式表示;要求使为等腰三角形的的值,可假设为等腰三角形,找到等量关系,列出方程求解,因为题设中没有指明等腰三角形的腰,故还须分类讨论.五、以圆为载体的动点问题 动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆相关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的相关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。 例1. 在中，AC5，BC12，ACB90，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合