06-07线性代数试题及解答

1、姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线_ _ 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 华南理工大学期末考试 2006线性代数 试卷A一、 填空题（每小题4分，共20分）。0 已知正交矩阵P使得，则1 设A为n阶方阵，是的个特征根，则det( )= 2 设A是矩阵， 是 维列向量，则方程组有无数多个解的充分必要条件是：3二、 选择题（每小题4分，共20分）12 若A为mn 矩阵，。则（ ）。A， 是维向量空间， B， 是维向量空间C，是m-r维向量空间， D，是n-r维向量空间3 若n阶方阵A满足， =0，则以下命题哪一个成立（ ）。A， ， B， C， ， D，

2、4 若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ ）。A，矩阵AT为正交矩阵， B，矩阵为正交矩阵C，矩阵A的行列式是1， D，矩阵A的特征根是1三、 解下列各题（每小题6分，共30分）1若A为3阶正交矩阵，为A的伴随矩阵， 求det ()2计算行列式。3设，求矩阵B。5、 求向量=（1，2，1）在基下的坐标。四、（12分）求方程组 的通解（用基础解系与特解表示）。五、（12分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵 六、证明题（6分）设，是线性方程组对应的齐次线性方程组一个基础解系， 是线性方程组的一个解，求证线性无关。2006年线性代数A参考答案一 填空题(1) 2 0 -22

3、006(2) 12n2(3) r(A)=r(A,B) n(4) t=-8(5) 1,2,-3二 选择题(1) D (2) A (3) D (4) D (5) D三 解答题 (1) AA* =|A|E, |A|A*|=|A3| |A*|=|A|2=|AA|=|AA-1|=1 (2) (3)由AB=A-B，有，（4） 而 故，为一个极大无关组（5）令=（1，2，1）=x+y+z，则有： 解得： 的坐标为四 解： 原方程组同解下面的方程组： 即： 令,求解得：（1，1，0，0，0）=。齐次方程组基础解系为：。五解： 当时，由，求得基础解系：当时，由，求得基础解系： 当时，由，求得基础解系：单位化：令

4、，则若则。六，证明 证：设， 则，于是：,即：但，故 =0。从而 =0。但线形无关，因此全为0，于是b=0,由此知：线形无关。姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线_ _ 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 华南理工大学期末考试 2006线性代数 试卷B一、 填空题（每小题4分，共20分）。1 已知正交矩阵P使得，则2设A为n阶方阵，是的个特征根，则det( )= 3设A是矩阵，则方程组对于任意的 维列向量都有无数多个解的充分必要条件是：4 若向量组=（0，4，2），=（2，3，1），=（t，2，3）的秩不为3，则t=5，则的全部根为：二、选择题（每小题4分

5、，共20分）12对矩阵施行一次列变换相当于（ ）。A， 左乘一个m阶初等矩阵， B，右乘一个m阶初等矩阵 C， 左乘一个n阶初等矩阵， D，右乘一个n阶初等矩阵 3若A为mn 矩阵，。则（ ）。A， 是维向量空间， B， 是维向量空间C，是m-r维向量空间， D，是n-r维向量空间4若n阶方阵A满足， =E，则以下命题哪一个成立（ ）。A， ， B， C， ， D，5若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ ）。A，矩阵-AT为正交矩阵， B，矩阵-为正交矩阵C，矩阵A的行列式是实数， D，矩阵A的特征根是实数三、解下列各题（每小题6分，共30分）1若A为3阶正交矩阵， 求det (E-)

6、2计算行列式。3设，求矩阵A-B。4、求向量组的的秩。6、 向量在基下的坐标（4，2，-2），求在下的坐标。四、（12分）求方程组 的通解（用基础解系与特解表示）。五、（12分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵 六、证明题（6分）设，是线性方程组对应的齐次线性方程组一个基础解系， 是线性方程组的一个解，求证对于任意的常数a，线性无关。2006年线性代数B参考答案二 填空题（1） 2 -2 -5*22005(0) 1n(1) m=r(A)=r(A,B) n(2) t=-8(3) 1,2,-3二 选择题(1) D (2) D (3) D (4) A (5) D三 解答题 (1)

7、3阶的正交矩阵必有一个实特征根，这个特征根为1或者-1， 所以det (E-)= det （E-A） det （E+A） =0（2） (3)由AB=A-B，有，（4） 而 故秩为3。（5）令=+2+=x（+）+y（+）+z（+），则有： 解得： 所求的的坐标为四 解： 原方程组同解下面的方程组： 即： 令,求解得：（1，1，0，0，0）=。齐次方程组基础解系为：。五解： 当时，由，求得基础解系：当时，由，求得基础解系： 当时，由，求得基础解系：单位化：令，则若则。六，证明 证：设， 则，于是：,即：但，故 =0。从而 =0。但线形无关，因此全为0，于是b=0,由此知：线形无关。华南理工大学期末

8、考试（A卷） 2007线性代数 试卷一、 填空题（共20分）（1） 设A是矩阵， 是 维列向量，则方程组无解的充分必要条件是：（2） 已知可逆矩阵P使得，则（3） 若向量组=（0，4，t），=（2，3，1），=（t，2，3）的秩为2，则t=（4） 若A为2n阶正交矩阵，为A的伴随矩阵， 则=（5） 设A为n阶方阵，是的个特征根，则 = 二、 选择题（共20分）（1） 将矩阵的第i列乘C加到第j列相当于对A：A， 乘一个m阶初等矩阵， B，右乘一个m阶初等矩阵 C， 左乘一个n阶初等矩阵， D，右乘一个n阶初等矩阵 （2） 若A为mn 矩阵， 是 维 非零列向量，。集合则A， 是维向量空间， B

9、， 是n-r维向量空间C，是m-r维向量空间， D， A，B，C都不对（3）若n阶方阵A，B满足， ，则以下命题哪一个成立A， ， B， C， ， D， （4）若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个成立：A，矩阵为正交矩阵， B，矩阵 -为正交矩阵C，矩阵为正交矩阵， D，矩阵 -为正交矩阵（5）4n阶行列式的值为：A，1， B，-1C， n D，-n 三、 解下列各题（共30分）1求向量，在基下的坐标。2设，求矩阵-A3计算行列式4.计算矩阵列向量组生成的空间的一个基。5. 设 计算det A四、 证明题（10分）设是齐次线性方程组的一个基础解系， 不是线性方程组的一个解，求证线性无关。五、（

10、8分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵 六、（8分） 取何值时，方程组 有无数多个解？并求通解七、（4分）设矩阵，+都是可逆矩阵，证明矩阵也是可逆矩阵。2007年线性代数A参考答案一 填空题 每个四分(4) rankArank(A|B) 或者 rankA rank(A|B)(5)(6) t= (7) (8) 0二 选择题(1) D (2) D (3) C (4) 都对 (5) A三 解答题 (1) 设向量在基下的坐标为，则 （4分） （6分） (2) （2分） （6分）(3) （6分）（4）（4分） （6分） （5） （6分）四 证明： 五、A=, (2分) | |= （5分

11、）P= （7分）+ （8分） 六，证明 七 姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线_ _ 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 华南理工大学期末考试（B卷） 2007线性代数 试卷一、 填空题（共20分）（1） 设A是矩阵， 是 维列向量，则方程组有唯一解的充分必要条件是：（2） 已知可逆矩阵P使得，则（3） 若向量组=（0，4，t），=（2，3，1），=（t，2，3）的秩r不为3，则r=（4） 若A为2n+1阶正交矩阵，为A的伴随矩阵， 则=（5） 设A为n阶方阵，是的个特征根，则 = 二、 选择题（共20分）（1） 将矩阵的第i列乘c相当于对A：A， 左乘

12、一个m阶初等矩阵， B，右乘一个m阶初等矩阵 C， 左乘一个n阶初等矩阵， D，右乘一个n阶初等矩阵 （2） 若A为mn 矩阵，。集合则A， 是维向量空间， B， 是n-r维向量空间C，是m-r维向量空间， D， A，B，C都不对（3）若n阶方阵A，B满足， ，则以下命题哪一个成立A， ， B， C， ， D， 都不对（4）若A是n阶初等矩阵，则以下命题那一个成立：AA，矩阵为初等矩阵， B，矩阵 -为初等矩阵C，矩阵为初等矩阵， D，矩阵 -为初等矩阵（5）4n+2阶行列式的值为：A，1， B，-1C， n D，-n 三、 解下列各题（共30分）1求向量，在基下的坐标。2设，求矩阵-A3计算行列式4.计算矩阵列向量组生成的空间的一个基。5. 设 计算det A四、 证明题（10分）设是齐次线性方程组的一个基础解系， 不是线性方程组的一个解，求证线性无关。五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵 六、（8分） 取何值时，方程组无解？ 七、（4分）设矩阵，+都是可逆矩阵，证明矩阵也是可逆矩阵。2007年线性代数B参考答案三 填空题 每