现代科技综述知识文库：概率度量空间上的非线性分析

1、现代科技综述系列概率度量空间上的非线性分析科技是人类区别于动物的重要文明之一，是人类对自然规律研究和利用的学科。本文提供对科技基本概念“概率度量空间上的非线性分析”的解读，以供大家了解。概率度量空间上的非线性分析简称PM空间上的非线性分析，是随机非线性分析这一新兴的边缘学科的重要组成部分。这一理论和应用的研究，不仅丰富和发展了非线性分析理论，而且为非线性随机算子理论和非线性随机方程的研究提供了新的理论基础。PM空间上的非线性分析理论及应用的研究，始于20世纪70年代舍嘎(VMSehgal)和巴鲁洽雷德(ATBharucha-Reid)关于PM空间中非线性压缩映象不动点定理的研究。他们在三角范数

2、T=min的条件下，把熟知的巴拿赫(SBanach)压缩映象原理推广到门格(KMenger)PM空间。受这一工作的启发，国内外的许多数学家，比如，海泽克(OHadzic)、伊斯特拉特斯库(VIIstratescu)、张石生和方锦暄等在不同的条件下，对PM空间中各种类型的压缩映象、非扩张映象和扩张映象不动点及重合点的存在性、唯一性以及迭代序列的收敛性等进行了系统的研究，取得了许多重要的成果，而且还把它们成功地应用于随机算子方程和随机机非线性积分方程随机解的存在性问题的研究。众所周知，拓扑度理论和非线性算子理论是非线性分析的重要组成部分。但PM空间上的拓扑度和非线性算子理论研究至今仍非常薄弱，只是

3、最近才出现了这方面的初步工作。1989年张石生和陈玉清首先证明了门格概率赋范空间(简称为门格PN空间)中的连续紧映象可用有限维映象来逼近，从而利用有限维空间的布劳伟(LBrouwer)度建立了门格PN空间中连续紧映象的勒内邵德(Leray-Schauder)度理论。作为这一结果的应用，得到了门格PN空间中非线性映象的一系列不动点定理，为非线性算子方程的求解提供了有力的工具。1990年张石生和陈玉清首次给出了门格PN空间中(强、极大)增生映象方程解的存在性，并讨论了具单值连续强增生映象方程解的存在性，并利用拓扑度的方法，得到了门格PN空间中多值增生映象方程解的存在性条件。另外，阿特曼(MA1tm

4、an)在巴拿赫空间中所建立的收缩理论，对研究巴拿赫空间中非线性算子方程解的存在性和唯一性问题起着重要的作用，而李(ACLee)和丕节特(WJPadgett)建立的随机收缩理论，为进一步研究随机算子和随机方程开辟了新的道路。基于上述思想，最近张石生和曾文智等引入了概率收缩和概率收缩偶的概念，研究了非阿基米德(Archimedean)门格PN空间中具有概率收缩和概率收缩偶的单值算子方程(或方程组)的解(或公共解)的存在性，为PM空间中非线性算子理论的研究，提供了一种有效的方法。近来，一些学者在门格PM空间中引入门格豪斯道夫(FHausdorff)度量的定义，给出了门格PM空间度量化表示，讨论了门格

5、PM空间中多值映象和相容映象的不动点的存在性。卡里斯蒂(JCaristi)定理和尔克兰德(IEkeland)变分原理是近代非线性分析的两个基本定理。1991年张石生和郭进利等利用偏序方法，在PM空间中得到了这两个定理的推广形式，直接证明它们的等价性而且在所得的PM空间中的卡里斯蒂定理中取消了三角范数T=min及存在概率有界的迭代序列的条件，这样应用该定理时更加方便。另外，林熙等人对PM空间中的随机算子理论也进行过研究。PM空间中的非线性分析理论正处于萌芽阶段，许多问题有待于进一步研究。如：(1)PN空间或概率内积空间中的变分不等式和相补问题理论及应用的研究。(2)PM空间中线性和非线性算子理论及应用的研究。(3)PM空间中集值映象和非扩张映象理论及应用的研究。【参考文献】： 1 林熙科学通报，1983，28(4)：199201 2 Shih-sen ChangScientia Sinica(SeriesA)，1983，26(11)：11441155 3 Hadzic ONovi Sad，1984；137 4 Shih-sen ChangActa MathSinica，1985，1(4)：366377 5 方锦暄数学年刊，1990，11A(6)：707711 6 张石生科学通报，199035(19)：14511454 7 龚怀云数学研究