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1、第十章习题解答1、 用Euler方法及改进的Euler方法求解初值问题取，并将计算结果与精确值相比较。解：,由Euler公式及改进的Euler方法，代入，有，依次计算结果如下为Euler方法的结果，为改进的Euler方法的结果，为精确解。2、 用梯形公式求解初值问题 证明其近似解为。证明：采用梯形公式得近似解为，因此可得。证毕。3、试用Euler公式计算积分在点x=0.5, 1, 1.5, 2的近似值。解：由Euler公式得，计算可得4、 定初值问题试用Taylor展开法导出一个三阶的显式公式。解：由Taylor公式，并代入可得 故三阶的显式公式为5、 已知初值问题试分别用改进的Euler方法

2、和四阶R-K方法求解此问题，取步长为.解：,由改进的Euler方法和四阶R-K方法，代入， 计算可得其中为改进的Euler方法的结果，为四阶R-K方法的结果。6、 试证明对任意的参数a，以下Runge-Kutta公式是一个二阶公式，并导出其数值稳定条件。 证明：将做二元Taylor展开 代入得 再将在点展开 ，式中 代入后有 故，即对任意的参数a，公式是二阶公式。 下面讨论公式的数值稳定条件: 取模型方程,将代入得到 再代入得到 于是 绝对稳定区为7、 试证明以下Runge-Kutta公式是一个三阶公式，并导出其数值稳定条件。 证明：将做三元Taylor展开 代入得 再将在点展开式中 代入后有

3、 故，即公式是三阶公式。下面讨论公式的数值稳定条件:取模型方程,将代入得到 再代入得到于是 绝对稳定区为8、 用Euler方法求解下列问题，从数值稳定性条件考虑，对步长应做什么限制？（1）（2）解：由Euler公式 对（1），若第n步和第n+1步分别有误差，则上式变为，两式相减得到 故当时，（1）用Euler方法求解是数值稳定的。对（2），若第n步和第n+1步分别有误差，则上式变为，两式相减得到 故当时，（2）用Euler方法求解是数值稳定的。9、 用二阶的Adams预估校正公式求解初值问题 取步长，求出时的近似值，表头用改进的Euler方法（保留小数点后三位）。 解：计算结果如下： 10、对初值问题 用以下二阶R-K方法求解，并导出其绝对稳定域。 解：，代入二阶R-K方法可得，若第n步和第n+1步分别有误差，则上式变为，两式相减得到，于是，其绝对稳定区为。11、试推导三阶的Adams显式和隐式，并写出其带修正的预估校正公式。解：三阶Adams显式公式的推导:由公式，取作差值节点，得将代入公式，并作代换可得 局部截断误差为三阶Adams隐式公式的推导:由公式，取作差值节点，得将代入公式，并作代换可得 局部截断误差为

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