江苏专版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数第五节二次函数与幂函数学案理含解析

1、第五节 二次函数与幂函数1五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1图象定义域Rx|x0x|x0值域y|y0y|y0y|y0奇偶性奇非奇非偶单调性(，0)减，(0，)增增(，0)和(0，)减公共点(1,1)2二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)；(2)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)；(3)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)3二次函数的图象和性质f(x)ax2bxca0a0图象定义域R值域单调性在上递减，在上递增在上递增，在上递减奇偶性b0时为偶函数，b0时既不是奇函数也不是偶函数图象特点对称轴：x；顶点：小题体验1已知幂函

2、数yf(x)的图象过点(9,3)，则函数的解析式为_答案：f(x)x (x0)2(2019天一中学高三测试)已知点P1(x1,2 019)和P2(x2,2 019)在二次函数f(x)ax2bx9的图象上，则f(x1x2)的值为_答案：93已知f(x)ax2bx3ab是偶函数，且其定义域为a1,2a，则yf(x)的值域为_答案：1对于函数yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况2幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂

3、函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点小题纠偏1已知函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，则a的取值范围是_答案：2给出下列命题：函数y2x是幂函数；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点；当n0时，幂函数yxn是定义域上的减函数；二次函数yax2bxc，xm，n的最值一定是.其中正确的是_(填序号)答案：题组练透1(2018苏州高三期中调研)已知幂函数yx2mm2(mN*)在(0，)是增函数，则实数m的值是_解析：由题意知2mm20，解得0m2，因为mN*，所以m1.答案：12(2019常州一中检测)已知函数f(x)(3m)x2m5是幂函数，则f_.解析：函数f(x)(3m)x2m

4、5是幂函数，则3m1，解得m2，f(x)x1，f2.答案：23若(a1)(32a)，则实数a的取值范围是_解析：易知函数yx的定义域为0，)，在定义域内为增函数，所以解得1a.答案：谨记通法幂函数的指数与图象特征的关系(1)幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式(2)若幂函数yx(R)是偶函数，则必为偶数当是分数时，一般将其先化为根式，再判断(3)若幂函数yx在(0，)上单调递增，则0，若在(0，)上单调递减，则0.典例引领已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式解：法一：(利用一般式)设f(x)ax

5、2bxc(a0)由题意得解得故所求二次函数为f(x)4x24x7.法二：(利用顶点式)设f(x)a(xm)2n.因为f(2)f(1)，所以抛物线对称轴为x.所以m，又根据题意函数有最大值8，所以n8，所以yf(x)a28.因为f(2)1，所以a281，解得a4，所以f(x)4284x24x7.法三：(利用零点式)由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值ymax8，即8.解得a4或a0(舍去)，故所求函数解析式为f(x)4x24x7.由题悟法求二次函数解析式的方法即时应用1已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(2，

6、1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f(x)_.解析：法一：设所求解析式为f(x)ax2bxc(a0)由已知得解得所以所求解析式为f(x)x2x.法二：设所求解析式为f(x)ax2bxc(a0)由已知得解得所以所求解析式为f(x)x2x.法三：设所求解析式为f(x)a(xh)2k(a0)由已知得f(x)a(x2)21，将点(1,0)代入，得a，所以f(x)(x2)21，即f(x)x2x.答案：x2x2已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式解：因为f(2x)f(2x)对xR恒成立，所以f(x)

7、的对称轴为x2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)又因为f(x)的图象过点(4,3)，所以3a3，a1.所以所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.锁定考向高考对二次函数图象与性质的考查常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇常见的命题角度有：(1)二次函数的单调性问题；(2)二次函数的最值问题；(3)二次函数中恒成立问题 题点全练角度一：二次函数的单调性问题1(2019江安中学测试)已知函数f(x)x2(a1)x5在区间上为增函数，则f(2)的取值范围是_解析：函数f

8、(x)的图象(抛物线)开口向上，对称轴为x，若函数f(x)在区间上为增函数，则，解得a2，所以f(2)4(a1)257，即f(2)7.答案：7，)角度二：二次函数的最值问题2(1)(2019苏州测试)已知函数f(x)x2abxa2b，若f(0)4，则f(1)的最大值为_(2)已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时，有最大值2，则a的值为_解析：(1)因为f(0)4，所以a2b4，即a42b，所以f(1)aba2b1ab5(42b)b52b24b52(b1)27，所以当b1时，f(1)的最大值为7.(2)函数f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，x0,1，对称轴方程为xa.当a0时，f(

9、x)maxf(0)1a，所以1a2，所以a1.当0a1时，f(x)maxf(a)a2a1，所以a2a12，即a2a10，解得a(舍去)当a1时，f(x)maxf(1)a，所以a2.综上可知，a1或a2.答案：(1)7(2)1或2角度三：二次函数中恒成立问题3已知函数f(x)x22x1，f(x)xk在区间3，1上恒成立，则k的取值范围为_解析：由题意得x2x1k在区间3，1上恒成立设g(x)x2x1，x3，1，g(x)在3，1上单调递减，g(x)ming(1)1.k1.故k的取值范围为(，1)答案：(，1)通法在握1二次函数最值问题的3种类型及解题思路(1)类型：对称轴、区间都是给定的；对称轴动

10、、区间固定；对称轴定、区间变动(2)思路：抓“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴2由不等式恒成立求参数取值范围的2大思路及1个关键(1)思路：一是分离参数；二是不分离参数(2)关键：两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.演练冲关已知函数f(x)x22ax2，x5,5(1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数解：(1)当a1时，f(x)x22x2(x1)21，x5,5，所以当x1时，

11、f(x)取得最小值1；当x5时，f(x)取得最大值37.(2)函数f(x)(xa)22a2的图象的对称轴为直线xa，因为yf(x)在区间5,5上是单调函数，所以a5或a5，即a5或a5.故a的取值范围是(，55，)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2018清河中学检测)已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k_.解析：由幂函数的定义知k1.又f，所以，解得，从而k.答案：2(2019连云港调研)若函数f(x)x22(a1)x2在(，4)上为增函数，则a的取值范围是_解析：f(x)x22(a1)x2的对称轴为xa1，f(x)x22(a1)x2在(，4)上为增函数，对称轴xa14，a5.答案：5，)

12、3(2018淮阴模拟)已知函数f(x)x2m是定义在区间3m，m2m上的奇函数，则f(m)，f(0)的大小关系为_解析：因为函数f(x)是奇函数，所以3mm2m0，解得m3或1.当m3时，函数f(x)x1，定义域不是6,6，不合题意；当m1时，函数f(x)x3在定义域2,2上单调递增，又m0，所以f(m)f(0)答案：f(m)f(0)4已知函数f(x)x2xm，若|f(x)|在区间0,1上单调，则实数m的取值范围为_解析：因为f(x)x2xm，且|f(x)|在区间0,1上单调，所以f(x)在0,1上满足f(0)f(1)0，即m(11m)0，解得m0或m2.答案：(，20，)5若二次函数f(x)

13、x24xt图象的顶点在x轴上，则t_.解析：由于f(x)x24xt(x2)2t4图象的顶点在x轴上，所以f(2)t40，所以t4.答案：46(2019杭州测试)若函数f(x)x22x1在区间a，a2上的最小值为4，则实数a的取值集合为_解析：因为函数f(x)x22x1(x1)2的图象的对称轴为直线x1，f(x)在区间a，a2上的最小值为4，所以当a1时，f(x)minf(a)(a1)24，a1(舍去)或a3；当a21，即a1时，f(x)minf(a2)(a1)24，a1(舍去)或a3；当a1a2，即1a1时，f(x)minf(1)04.故a的取值集合为3,3答案：3,3二保高考，全练题型做到高

14、考达标1(2019海安中学检测)已知幂函数f(x)x，其中.则使f(x)为奇函数，且在区间(0，)上是单调增函数的的取值集合为_解析：若幂函数f(x)为奇函数，则1,1,3，又f(x)在区间(0，)上是单调增函数，所以的取值集合为1,3答案：1,32(2019武汉调研)已知幂函数f(x)xm24m (mZ)的图象关于y轴对称，且在区间(0，)上为减函数，则m的值为_解析：幂函数f(x)xm24m (mZ)在区间(0，)上为减函数，m24m0，解得0m4.又mZ，m1或m2或m3.当m1时，f(x)x3，图象不关于y轴对称；当m2时，f(x)x4，图象关于y轴对称；当m3时，f(x)x3，图象不

15、关于y轴对称综上，m的值为2.答案：23若关于x的不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是_解析：不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解等价于a(x24x2)max，令f(x)x24x2，x(1,4)，所以f(x)f(4)2，所以a2.答案：(，2)4(2018泰州中学调研)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x1，不等式f(x23)f(2x)的解集为_解析：根据题意，f(x)是定义在R上的奇函数，则有f(0)0，当x0时，f(x)x22x1(x1)2为减函数，则当x0时，f(x)也为减函数，综上可得f(x)在R上为减函数，若f(x23)f(2

16、x)，则有x232x，解得1x3，即不等式f(x23)f(2x)的解集为(1,3)答案：(1,3)5若函数f(x)x223 (常数Z)为偶函数，且在(0，)上是单调递减函数，则的值为_解析：根据幂函数的性质，要使函数f(x)为偶函数，且在(0，)上是单调递减函数，则223为偶数，且2230，解不等式可得13.因为Z，所以0,1,2.当0时，2233，不满足条件；当1时，2234，满足条件；当2时，2233，不满足条件，所以1.答案：16若函数yx23x4的定义域为0，m，值域为，则m的取值范围是_解析：二次函数图象的对称轴为x，且f，f(3)f(0)4，由图得m.答案：7对于任意实数x，函数f

17、(x)(5a)x26xa5恒为正值，则a的取值范围是_解析：由题意可得解得4a4.答案：(4,4)8(2019南通一调)若函数f(x)ax220x14(a0)对任意实数t，在闭区间t1，t1上总存在两实数x1，x2，使得|f(x1)f(x2)|8成立，则实数a的最小值为_解析：由题意可得，当xt1，t1时，f(x)maxf(x)minmin8，当t1，t1关于对称轴对称时，f(x)maxf(x)min取得最小值，即f(t1)f(t)2ata208，f(t1)f(t)2ata208，两式相加，得a8，所以实数a的最小值为8.答案：89已知幂函数f(x)x (mN*)(1)试确定该函数的定义域，并

18、指明该函数在其定义域上的单调性(2)若该函数f(x)的图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2a)f(a1)的实数a的取值范围解：(1)因为m2mm(m1)(mN*)，而m与m1中必有一个为偶数，所以m2m为偶数，所以函数f(x)x (mN*)的定义域为0，)，并且该函数在0，)上为增函数(2)因为函数f(x)的图象经过点(2，)，所以2，即22，所以m2m2，解得m1或m2.又因为mN*，所以m1，f(x)x.又因为f(2a)f(a1)，所以解得1a，故函数f(x)的图象经过点(2，)时，m1.满足条件f(2a)f(a1)的实数a的取值范围为.10(2019启东检测)已知aR，函

19、数f(x)x22ax5.(1)若a1，且函数f(x)的定义域和值域均为1，a，求实数a的值；(2)若不等式x|f(x)x2|1对x恒成立，求实数a的取值范围解：(1)因为f(x)x22ax5的图象的对称轴为xa(a1)，所以f(x)在1，a上为减函数，所以f(x)的值域为f(a)，f(1)又已知值域为1，a，所以解得a2.(2)由x|f(x)x2|1，得a.(*)令t，t2,3，则(*)可化为t2tat2t.记g(t)t2t2，则g(t)maxg，所以a；记h(t)t2t2，则h(t)minh(2)7，所以a7，综上所述，a7.所以实数a的取值范围是.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2019金陵中学期中)设f(x)与g(x)是定义在同一区间a，b