二倍角与半角的正弦余弦和正切（2）教案

1、5.5两倍角与半角的正弦、余弦和正切（2）教案教学目的：1、掌握半角的正弦、余弦、正切公式，能根据所在象限正确选择公式中的正、负号； 2、会根据具体情况灵活运用公式。用半角的正切公式时，往往选用；教学重点：半角公式的应用教学过程：（一）、引入一、（设置情境）气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风。这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，那么“半角与倍角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢

2、？本节课我们就通过二倍角公式来研究半角的正弦、余弦和正切。二、（双基回顾）； ； （二）、新课一、（新课教学，注意情境设置）在二倍角的正弦、余弦、正切的公式中如何求出的表达式？探索研究证明： 二、概念或定理或公式教学（推导）在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的1、在 中，以a代2a，代a 即得：2、在 中，以a代2a，代a 即得： 3、以上结果相除得： 开方得：特点：1左式中的角是右式中的角的一半。 2公式的“本质”是用a角的余弦表示角的正弦、余弦、正切。 3根号前均有“”它由角“”所在象限来确定的，如果没有给定角的范围，“”应保留。注意：公式（3）成立的条件公式（1）（2）（3）叫做半角

3、公式，实际是二倍角公式的推论。三、（概念辨析或变式问题，目的是加强概念、公式的理解或应用） 注意：1左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方。 2公式的“本质”是用a角的余弦表示角的正弦、余弦、正切 3上述公式称之谓半角公式 4还有一个有用的公式：（课后自己证）四、典型例题（3个，基础的或中等难度）例1、已知，求3cos 2q + 4sin 2q 的值 解： cos q 0 (否则 2 = - 5 ) 解得：tan q = 2 原式例2、已知，tana =，tanb =，求2a + b 解： 又tan2a 0，tanb 0 ， 2a + b = 例3、已知sina - cosa =

4、 ，求和tana的值 解：sina - cosa = 化简得： 即 五、课堂练习（2个，基础的或中等难度）1、已知sin+cos=，那么sin的值为_，cos2的值为_.解析：由sin+cos=，得1+sin=，sin=，cos2=12sin2=12=. 答案： 2、已知sin（x）cos（x）=，求cos4x的值.解：由已知得sin（x）cos（x）=，cos2（x）=.sin2x=cos（2x）=2cos2（x）1=.cos4x=12sin22x=1=.六、拓展探究（2个）1、已知为第二象限角，cos+sin=，求sincos和sin2+cos2的值.解：由cos+sin=平方得1+2si

5、ncos=，即sin=，cos=.此时k+k+.cos+sin=0，sincos=0，cos0，sin0.为第三象限角.2k+2k+，kZ.sincos，即sincos0. sincos=，sin2+cos2=2sincos+12sin2=.2、已知6sin2+sincos2cos2=0，），求sin（2+）的值.解法一：由已知得（3sin+2cos）（2sincos）=03sin+2cos=0或2sincos=0.由已知条件可知cos0，所以，即（，）.于是tan0，tan=.sin（2+）=sin2cos+cos2sin=sincos+（cos2sin2）=+=+.将tan=代入上式得si

6、n（2+）=+=+，即为所求.解法二：由已知条件可知cos0，则，原式可化为6tan2+tan2=0，即（3tan+2）（2tan1）=0.又（，）.tan0，tan=.（三）、小结证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更命题等方法，使等式两端的“异”化为“同”.2.条件等式的证明，通过认真观察，发现已知条件和待证等式之间的关系，选择适当的途径把条件用上去.（四）、作业课外作业：（6+2填空，3+1选择，3+1解答，其中+后面的题目可以难些用“*”注明）一、填空题1、设，则.2、已知，则的值为.3、设a为第四象限的角，若 ，则tan 2a

7、=_.4、若cos=，且（0，），则tan=_.5、已知sin+cos=，那么sin的值为_，cos2的值为_.6、已知A、B为锐角，且满足，则. 7*、若tanx=，则=_.8*、若8cos（+）cos（）=1，则sin4+cos4=_.二、选择题1、下列各式中，值为的是 ( ) 、sin15cos15 、2cos21 、 、2、已知，则( )、 、 、 、3、已知是第三象限角，且，那么等于（）、4*、.已知f（x）=，当（，）时，f（sin2）f（sin2）可化简为( )、2sin 、2cos 、2sin 、2cos三、解答题1、已知=2，求 （1）的值； （2）的值2、已知sin（x）c

8、os（x）=，求cos4x的值.3、已知0，tan+cot=，求sin（）的值.4*、已知为第二象限角，cos+sin=，求sincos和sin2+cos2的值.四、双基铺垫1、两倍角与半角的正弦、余弦和正切（2）课外作业答案一、填空题1、 ； 2、 ； 3、 ； 4、 ； 5、 ； 6、 ； 7、 23 ；（简单过程）原式=238、 ；（简单过程）由已知得8sin（）cos（）=1，4sin（2）=1.cos2=.sin4+cos4=（sin2+cos2）22sin2cos2=1sin22=1（1cos22）=1（1）=1=.二、选择题1、 D ；2、 D ；3、 A 4、 D ；（简单过程）f（sin2）f（sin2）=sincossin+cos.（，），1sincos0.cossin0，cos+sin0.原式=cossin+cos+sin=2cos三、解答题1、解：（1） tan=2, ;所以=；（2）由(I), tan=, 所以=2、解：由已知得sin（x）cos（x）=，cos2（x）=.sin2x=cos（2x）=2cos2（x）1=.cos4x=12sin22x=1=.3、解：由已知tan+cot=，得sin=.0，cos=.从而sin（）=sincoscossin=（43）.4*、解：由cos+