高中数学 第二章 推理与证明 2.1.2 演绎推理学案（含解析）新人教A版选修2-2

1、21.2演绎推理演绎推理看下面两个问题：(1)一切奇数都不能被2整除，(22 0171)是奇数，所以(22 0171)不能被2整除； (2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面问题1：这两个问题中的第一句都说的什么？提示：都说的一般原理问题2：第二句又都说的什么？提示：都说的特殊示例问题3：第三句呢？提示：由一般原理对特殊示例做出判断1演绎推理的概念从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理2三段论“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：(1)大前提已知的一般原理；(2)小前提所研究的特殊情况

2、；(3)结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断“三段论”可以表示为：大前提：M是P.小前提：S是M.结论：S是P.演绎推理的三个特点(1)演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴含于前提之中(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的因而演绎推理是数学中严格证明的工具(3)演绎推理是由一般到特殊的推理把演绎推理写成三段论的形式将下列演绎推理写成三段论的形式(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数(2)三角形的内角和为180，RtABC的内角和为180.(3)

3、菱形对角线互相平分(4)通项公式为an3n2(n2)的数列an为等差数列(1)一切奇数都不能被2整除(大前提)75不能被2整除(小前提)75是奇数(结论)(2)三角形的内角和为180.(大前提)RtABC是三角形(小前提)RtABC的内角和为180.(结论)(3)平行四边形对角线互相平分(大前提)菱形是平行四边形(小前提)菱形对角线互相平分(结论)(4)数列an中，如果当n2时，anan1为常数，则an为等差数列(大前提)通项公式an3n2，n2时，anan13n23(常数)(小前提)通项公式为an3n2(n2)的数列an为等差数列(结论)三段论的推理形式三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形

4、式为“如果bc，ab，则ac”其中，bc为大前提，提供了已知的一般性原理；ab为小前提，提供了一个特殊情况；ac为大前提和小前提联合产生的逻辑结果把下列推断写成三段论的形式：(1)ysin x(xR)是周期函数(2)若两个角是对顶角，则这两个角相等，所以若1和2是对顶角，则1和2相等解：(1)三角函数是周期函数，大前提ysin x(xR)是三角函数，小前提ysin x(xR)是周期函数结论(2)两个角是对顶角，则这两个角相等，大前提1和2是对顶角，小前提1和2相等结论三段论在证明几何问题中的应用用三段论证明并指出每一步推理的大、小前提如右图，在锐角ABC中，AD，BE是高，D，E为垂足，M为A

5、B的中点求证：MEMD.有一个内角为直角的三角形为直角三角形，大前提在ABD中，ADCB，ADB90，小前提ABD为直角三角形结论同理ABE也为直角三角形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，大前提M是直角ABD斜边AB上的中点，DM为中线，小前提DMAB. 结论同理EMAB.和同一条线段相等的两条线段相等，大前提DMAB，EMAB，小前提MEMD.结论三段论在几何问题中的应用(1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提(2)几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前

6、提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论如图，已知在梯形ABCD中，ABCDAD，AC和BD是梯形的对角线，求证：AC平分BCD，DB平分CBA.证明：等腰三角形两底角相等，大前提DAC是等腰三角形，1和2是两个底角，小前提12.结论两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，大前提1和3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，小前提13.结论等于同一个角的两个角相等，大前提21，31，小前提23，即AC平分BCD. 结论同理可证DB平分CBA.演绎推理在代数中的应用已知函数f(x)ax(a1)，求证：函数f(x)在(1，)上为增函数如果在(1，)上f(x)0，那么函数f(x)在(1，)上是

7、增函数，大前提a1，f(x)axln a0，小前提函数f(x)在(1，)上为增函数结论使用三段论应注意的问题(1)应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的、严密的，才能得出正确的结论(2)证明中常见的错误：条件分析错误(小前提错)定理引入和应用错误(大前提错)推理过程错误等已知a，b，m均为正实数，ba，用三段论形式证明.证明：因为不等式两边同乘一个正数，不等号不改变方向，大前提ba，m0，小前提所以mbma. 结论因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，大前提mbma，小前提所以mbabma

8、ab，即b(am)a(bm)结论因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，大前提b(am)a(bm)，a(am)0，小前提所以，即.结论6混淆三段论的大、小前提而致误 定义在实数集R上的函数f(x)，对任意x，yR，有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且f(0)0，求证：f(x)是偶函数证明：令xy0，则有f(0)f(0)2f(0)f(0)又因为f(0)0，所以f(0)1.令x0，则有f(y)f(y)2f(0)f(y)2f(y)，所以f(y)f(y)，因此，f(x)是偶函数以上证明结论“f(x)是偶函数”运用了演绎推理的“三段论”，其中大前提是_通过两次赋值先求得“f(0)1”，再

9、证得“f(y)f(y)”，从而得到结论“f(x)是偶函数”所以这个三段论推理的小前提是“f(y)f(y)”，结论是“f(x)是偶函数”，显然大前提是“若对于定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，则f(x)是偶函数”若对于定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，则f(x)是偶函数解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式：大前提小前提结论，其中大前提是一个一般性的命题，即证明这个具体问题的理论依据因此结合f(x)是偶函数的定义和证明过程容易确定本题答案本题易误认为题目的已知条件为大前提而导致答案错误所有眼睛近视的人都是聪明人，我近视得很厉害，所以我是聪明人下列各项中揭示了上述推理是明显错误的是

10、_(填序号)我是个笨人，因为所有的聪明人都是近视眼，而我的视力那么好所有的猪都有四条腿，但这种动物有八条腿，所以它不是猪小陈十分高兴，所以小陈一定长得很胖，因为高兴的人都长得很胖所有尖嘴的鸟都是鸡，这种总在树上待着的鸟是尖嘴的，因此这种鸟是鸡解析：根据中的推理可得：这种总在树上待着的鸟是鸡，这显然是错误的不符合三段论的形式答案：1“四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充该推理的大前提是()A正方形的对角线相等B矩形的对角线相等C等腰梯形的对角线相等D矩形的对边平行且相等解析：选B得出“四边形ABCD的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”2“因为对数函数ylogax是

11、增函数(大前提)，而ylogx是对数函数(小前提)，所以ylogx是增函数(结论)”上述推理错误的原因是()A大前提错导致结论错B小前提错导致结论错C推理形式错导致结论错D大前提和小前提都错导致结论错解析：选A大前提是错误的，因为对数函数ylogax(0a1)是减函数3求函数y的定义域时，第一步推理中大前提是有意义，即a0，小前提是有意义，结论是_解析：由三段论的形式可知，结论是log2x20.答案：log2x204用三段论证明函数f(x)x在(1，)上为增函数的过程如下，试将证明过程补充完整：_(大前提)_(小前提)_(结论)答案：如果函数f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1，x

12、2，若x1x2，则f(x1)f(x2)，那么函数f(x)在给定区间内是增函数任取x1，x2(1，)，x1x2，则f(x1)f(x2)，由于1x1x2，故x1x20，x1x21，即x1x210，所以f(x1)f(x2)函数f(x)x在(1，)上为增函数5将下列推理写成“三段论”的形式(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(3)0.33是有理数解：(1)向量是既有大小又有方向的量大前提零向量是向量小前提零向量也有大小和方向结论(2)每一个矩形的对角线相等大前提正方形是矩形小前提正方形的对角线相等结论(3)所有的循环小

13、数都是有理数大前提033是循环小数小前提033是有理数结论一、选择题1给出下面一段演绎推理：有理数是真分数，大前提整数是有理数，小前提整数是真分数结论结论显然是错误的，是因为()A大前提错误B小前提错误C推理形式错误 D非以上错误解析：选A推理形式没有错误，小前提也没有错误，大前提错误举反例，如2是有理数，但不是真分数2“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于()A演绎推理 B类比推理C合情推理 D归纳推理解析：选A是由一般到特殊的推理，故是演绎推理3下面几种推理过程是演绎推理的是()A两条直线平行，同旁内角互补，如果A与B是两条平行直线的同旁内角，则AB180B某校高三(

14、1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C由三角形的性质，推测四面体的性质D在数列an中，a11，an(n2)，由此归纳出an的通项公式解析：选AB项是归纳推理，C项是类比推理，D项是归纳推理4“四边形ABCD是矩形，四边形ABCD的对角线相等”补充以上推理的大前提()A正方形都是对角线相等的四边形B矩形都是对角线相等的四边形C等腰梯形都是对角线相等的四边形D矩形都是对边平行且相等的四边形解析：选B推理的大前提应该是矩形的对角线相等，表达此含义的选项为B.5有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，

15、直线b平面，则直线b直线a.结论显然是错误的，这是因为()A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D非以上错误解析：选A大前提是错误的，直线平行于平面，则不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况二、填空题6若有一段演绎推理：“大前提：整数是自然数小前提：3是整数结论：3是自然数”这个推理显然错误，则推理错误的是_(填“大前提”“小前提”或“结论”)解析：整数不全是自然数，还有零与负整数，故大前提错误答案：大前提7已知推理：“因为ABC的三边长依次为3,4,5，所以ABC是直角三角形”若将其恢复成完整的三段论，则大前提是_解析：大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角

16、形；小前提：ABC的三边长依次为3,4,5，满足324252；结论：ABC是直角三角形答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形8若不等式ax22ax20的解集为空集，则实数a的取值范围为_解析：a0时，有20，显然此不等式解集为.a0时需有所以0a2.综上可知，实数a的取值范围是答案：三、解答题9如下图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点求证：(1)平面AD1E平面BGF；(2)D1EAC.证明：(1)E，F分别是B1B和D1D的中点，D1F綊BE，四边形BED1F是平行四边形，D1EBF.又D1E平面BGF，BF平面BGF，D1E平面BGF.F，G分别是D1D和DA的中点，FG是DAD1的中位线，FGAD1.又AD1平面BGF，FG平面BGF，AD1平面BGF.又AD1D1ED1，平面AD1E平面BGF.(2)如右图，连接BD，B1D1，底面ABCD是正方形，ACBD.D1DAC，BDD1DD，AC平面BDD