自动控制原理第四章根轨迹法ppt课件

1、第四章 根轨迹法,第一节 根轨迹与根轨迹方程 一、 根轨迹当系统的某个参数（如开环增益K）由0到变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。,根轨迹举例,例： GK(S)= K/S(0.5S+1) = 2K/S(S+2)GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0,根轨迹举例,由此关系逐点描绘出K由 0到变化时，闭环特征根 在S平面上运动的轨迹- 根轨迹。 根轨迹图直观地表示了 参数K变化时，闭环特征根 S1，S2所发生的变化。,根轨迹举例,由上述根轨迹图可知： 1当开环增益由0到变化时，根轨迹均在S平面的左半部， 因此系统对所有K值都是稳定的。 2当0K0.5时

2、，闭环特征根为实根，系统呈过阻尼状 态，阶跃响应为非周期过程。,根轨迹举例,3当K=0.5时，闭环特征根为重根，系统呈临界阻尼状态, 阶跃响应为非周期过程。 4当K0.5时，闭环特征根为共轭复根，系统呈欠阻尼状态， 阶跃响应为衰减振荡。 5因为根轨迹的一个起点（开环传递函数的极点）位于坐标原 点，所以系统为I型系统。,二、根轨迹方程,GB(S) = G(S)/1+G(S)H(S) 绘制根轨迹实质上还是寻求闭环特征方程的根。特征方程: 1+G(S)H(S)= 0 根轨迹方程: Gk(S) = G(S)H(S) = -1 （矢量方程） 幅值条件: G(S)H(S)= 1 幅角条件: G(S)H(S

3、) = (2K+1),开环传递函数的标准形式,绘制根轨迹时开环传递函数的标准形式： K*(S-Z1)(S-Z2)(S-Zm) G(S)H(S) = (S-P1)(S-P2)(S-Pn) 其中：K*根迹增益 Zm开环零点 Pn开环极点,开环传递函数的标准形式举例,例：将下面的开环传递函数化成标准形式 10(5S+1) 10*5S+(1/5) 25/3(S+1/5) G(S)H(S)= = = - (2S+1)(3S+1) 2*3(S+1/2)(S+1/3) (S+1/2)(S+1/3) K = 10 开环增益 K* = 25/3 根迹增益 K* = K( P1 P2 Pn)/(Z1 Z2 Zm)

4、,第二节 绘制根轨迹的基本法则,一、 根轨迹的分支数根轨迹在S平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数。 证明：n阶特征对应有n个特征根。 当开环增益K由0到变化时，这n个特征根随K变化必然 会描绘出n条根轨迹。,绘制根轨迹的基本法则,二、根轨迹对称于实轴。 证明：闭环特征根若为实数，则必位于实轴上； 闭环特征根若为复数，则一定是以共轭形式成对出现。 所以根轨迹必对称于实轴。,绘制根轨迹的基本法则,三、根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。如果开环极点数 n大于开环零点数m，则有（n-m）条根轨迹终止于无穷远. 证明： 由根迹方程： K*(S-Z1)(S-Z2)(S-Zm) G

5、(S)H(S) = = -1 (S-P1)(S-P2)(S-Pn),绘制根轨迹的基本法则,(S-Z1)(S-Z2)(S-Zm) - = -1/K* = -1/AK (S-P1)(S-P2)(S-Pn)其中：A= P1P2 Pn/Z1Z2 Zm起点：K=0， 1/AK=，上式中只有SPi时，等号才成立。起点开环极点（SPi）终点：K=， 1/AK=0，上式中只有SZi时，等号才成立。终点开环零点（SZi）,绘制根轨迹的基本法则,当nm时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ nm，S，有: (S-Z1)(S-Z2)(S-Zm) -1 -1 - = = (S-P1)(S-P2)(S-P

6、n) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=时，右边 = 0 K=（终点）对应于S（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。,绘制根轨迹的基本法则,四、实轴上的根轨迹实轴上根轨迹区段的右侧，开环零极点数目之和应为奇数。 证明：由幅角条件：G(S)H(S)= (2K+1) (S-Z1)(S-Z2)(S-Zm)/(S-P1)(S-P2)(S-Pn) = (2K+1),绘制根轨迹的基本法则,一对共轭的开环复数极点（或零点）对S1(在实轴上的试验 点)的相角等值反号，相互抵消；而开环复数极点(或零点)又 一定成对出现，所以实轴上的根轨迹与复数零(极)点无关。位于S1左

7、边的开环实数零(极)点引向S1的相角为0。位于S1右边的开环实数零(极)点引向S1的相角为。只有实轴上某一区段右侧的开环零(极)点数目之和为奇数 ，才能满足幅角条件。,绘制根轨迹的基本法则,五、根轨迹的渐近线 如nm，则有n-m条根轨迹趋向于无穷远，其方位可由 渐近线决定。渐近线与实轴交点的坐标： a= (Pi-Zi)/(n-m)渐近线与实轴正方向的夹角：a= (2K+1)/(n-m),绘制根轨迹的基本法则,证明：实验点在无穷远处(Sn既在根轨迹上，也在渐近线上)。 可以认为开环零点和极点到达Sn的矢量的长度是相等的。对 无穷远处的试验点Sn而言，所有的零极点都汇集到实轴上的 一点a。a= Z

8、i= Pi Pi-Zi = (n-m)a a= (Pi-Zi)/(n-m),绘制根轨迹的基本法则,又： K*(S-Z1)(S-Z2)(S-Zm) = -1 (S-P1)(S-P2)(S-Pn) 当S时(试验点设在无穷远处): (n-m)S = (2K+1) S =a= (2K+1)/(n-m) 无穷远处闭环极点的方向角，就是渐近线的方向角.,绘制根轨迹的基本法则,六、 根轨迹的起始角与终止角 起始角： 根轨迹起点处的切线与 水平线正方向的夹角。 m n P1=(2K+1)+(P1Zj)-(P1-Pi) i=1 i=1,绘制根轨迹的基本法则,六、 根轨迹的起始角与终止角 终止角： 根轨迹终点处的

9、切线与 水平线正方向的夹角。 n m Z1=(2K+1)+(Z1Pi)-(Z1Zi) i=1 i=1,绘制根轨迹的基本法则,证明：由幅角条件，在试验点S1(S1-Z1)-(S1-P1)-(S1-P2)-(S1-P3) = (2K+1)S1P1时：(S1-P1)=P1且：各零极点引向S1的向量 = 各零极点引向P1的向量可用P1代替S1P1= (2K+1)+(P1-Z1) -(P1-P2) -(P1-P3),P3,Z1,P1,P2,(P1-P2),(P1-Z1),P1,绘制根轨迹的基本法则,推广之： m n P1= (2K+1)+(P1Zj)-(P1Pi ) i=1 i=1 同理可证： m n

10、Z1= (2K+1)+(Z1Pi)-(Z1Zi) i=1 i=1,绘制根轨迹的基本法则,七、（实轴上的）分离点和会合点 根轨迹离开实轴的点实轴上的分离点。 根轨迹回到实轴的点实轴上的会合点。 分离（会合）点应该是特征方程的重根，分离（会合） 点对应实轴上的最大（最小）K值。 分离（会合）点的求法： 令dK/dS=0，解出的S值即为分离（会合）点的坐标。,绘制根轨迹的基本法则,八、根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴相交，意味着有闭环极点位于虚轴上，即 特征方程有纯虚根jw。 将S=jw代入特征方程： 1 + G（jw）H（jw）= 0可分解为： Re1 + G（jw）H（jw）= 0 Im1 + G

11、（jw）H（jw）= 0可解出： w 与虚轴交点的坐标 K 交点处对应的K值（临界稳定开环增益）,绘制根轨迹举例,例：GK(S)= K/S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1) 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/S(S+20)(S2+4S+20) = K*/S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)K*=400K根迹增益P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4n=4，m=0,绘制根轨迹举例,1 闭环有4个特征根根轨迹有4条分支。 2 画开环零极点分布图。 3 确定实轴上的根轨迹（0，-20）,P1,P2,P3,P4,-20,0,绘制根

12、轨迹举例,4 渐近线a= (Pi-Zi)/(n-m) = (0-20-2+j4-2+j4)/(4-0)= -6 a= (2K+1)/(n-m) K=0 a= 45 K=1 a= 135K=2 a= 225 K=3 a= 315,-6,绘制根轨迹举例,5 起始角 p3=(2K+1)+(P3-Zi)-(P3-Pi)=(2K+1)-(P3-P1) -(P3-P2)-(P3-P4)=(2K+1)-116.5 -12.5-90= -39 P4= +39,绘制根轨迹举例,6.分离点 由根迹方程： GK(S) = 400K/S(S+20)(S2+4S+20) = -1K= -S(S+20)(S2+4S+20

13、)/400= -(S4+24S3+100S2+400S)/400 dK/dS = -(4S3+72S2+200S+400)/400 令: dK/dS = 0 解得：S-15 ,即为分离点的坐标。,绘制根轨迹举例,7根轨迹与虚轴的交点 特征方程：S(S+20)(S2+4S+20)+K*= 0 S4+24S3+100S2+400S+K*= 0 将S=jw代入：(jw)4 + 24(jw)3 + 100(jw)2 + 400(jw) + K* = 0 实部：w4 - 100w2 + K* = 0 虚部：-24w3 + 400w = 0 解得：w1= 0， w2，3=4.1, K* =1391, K=

14、3.47,绘制根轨迹举例,0,-6,-15,4.1,-4.1,第三节 特殊根轨迹,一、参数根轨迹开环增益K为参变量绘出的根轨迹常规根轨迹。以系统其它参数为参变量绘出的根轨迹参数根轨迹。 用参数根轨迹可以分析系统中的各种参数，如开环零极点 的位置、时间常数、反馈系数等对系统性能的影响。,参数根轨迹,在绘制以K为参变量的常规根轨迹时是以系统的特征方 程为依据： 即: 1 + G(S)H(S) = 0 也可写成: 1 + K(S-Zi)/ (S-Pi) = 0 或: 1 + K N(S)/ M(S) = 0 如果选择系统的其它参数为参变量，则只要把特征方程 改变一 下形式，用所选的参数a代替K的位置

15、: 1 + a P(S)/ Q(S) = 0 则绘制规则仍然适用，可绘制出参数根轨迹。,参数根轨迹举例,例: GK(S)= K/S(S+a)试绘制以a为参变量的根轨迹（K=1） 解： 特征方程：1 + K/S(S+a) = 0 进行代数变换：K = - S2 - aS S2 + K = - aS aS/(S2+K) = -1 1+aS/(S2+K) = 0 给定K值，就可画出以a为参变量的根轨迹。,参数根轨迹举例,K=1， GK(S) = aS/(S2+1) 开环零点：Z1=0 开环极点：P1= +j，P2= -j 分支数：2 实轴上的根轨迹：整个负实轴。 渐近线：a= (Pi-Zi)/(n-

16、m)= (jj0)/(2-1) = 0 a = (2K+1)/(2-1) = 180 (K=0),参数根轨迹举例,会合点： aS/(S2+1) = -1a = -S - 1/Sda/dS = -1 + 1/S2 = 0S = 1 会合点一定在根轨迹上，S = 1舍。 会合点：S = -1,参数根轨迹举例,与虚轴交点： 特征方程：S2+aS+1=0 代入S = jw实部：-w2 +1= 0虚部：aw = 0解得：w1=0 w2,3=1与虚轴交点,二、正反馈回路的根轨迹,在某些系统中，内环是一个正反馈回路。 GB(S) = G(S)/1 G(S)H(S) 特征方程：1 - G(S)H(S) = 0

17、 根迹方程：G(S)H(S) = 1 比较负反馈回路根轨迹的根迹方程：幅值条件不变，幅角条 件变为: G(S)H(S) = 2K= 0 正反馈回路的根轨迹零度根轨迹。 凡是由幅值条件推出的规则不变。 凡是由幅角条件推出的规则有变。,正反馈回路的根轨迹,规则四：实轴上存在根轨迹的条件是：其右边开环零极点数 目之和为偶数. 规则五：(n-m)条渐近线的方向角为： a= 2K/(n-m) 规则六：根轨迹的起始角和终止角分别为：P1= 2K+(P1-Zi) -(P1-Pi)Z1= 2K+(Z1-Pi) -(Z1-Zi),正反馈回路的根轨迹举例,例：一单位负反馈系统的开环传递函数为：GK(S) = K/

18、(S+1)2(S+4)2试绘制根轨迹。若将负反馈改为正反馈，根轨迹将如何？ 解：负反馈： P1,2= -1， P3,4= -4， n = 4， m = 0分支数：4. 实轴上无根轨迹。 渐近线：a= (Pi-Zi)/(n-m) = -2.5 a= (2K+1)/(n-m) = 45, 135, 225, 315,正反馈回路的根轨迹举例,与虚轴交点：(S+1)2(S+4)2+ K = 0 将S=jw代入 实部：w4 - 33w2 + 16 + K = 0 虚部：-10w3 + 40w = 0 解得：w =2， K = 100,正反馈回路的根轨迹举例,正反馈： 实轴上：整个实轴。 渐近线：a= (

19、Pi-Zi)/(n-m) = -2.5a= 2K/(n-m) = 0,90,180,270 分离点：特征方程：1- G(S)H(S) = 0 (S+1)2(S+4)2 - K = 0 K = S 4 + 10S3 + 33S2 + 40S dK/dS = 4S3 + 30S2 + 66S + 40 = 0 解出分离点：S = -2.5,正反馈回路的根轨迹举例,与虚轴交点： (S+1)2(S+4)2 - K = 0 代入S=jw实部：w4 - 33w2 + 16 - K = 0 虚部：-10w3 + 40w = 0解得：w = 0， K = 16,三. 滞后系统的根轨迹,包含有时间滞后环节的系统

20、-滞后系统. 闭环传递函数: C(s)/R(s) = e-S G(s)/ 1+ e-S G(s) 特征方程: 1+ e-S G(s) = 0 是复变量s的超越函数, 有无穷多个特征根.,G(S),e-S,滞后系统的根轨迹,根迹方程: e-S G(s) = -1 e-S = e-(+j) = e- e-j e-j= -(rad) = -57.3 G(S) = K(S-Zi)/(S-Pi) 幅值条件: K S-Zie-/(S-Pi) = 1 幅角条件:(S-Zi) - (S-Pi) =(2K+1) = 57.3 (2K+1) *180 由于幅值条件和幅角条件的变化, 绘制根轨迹的各项规则 将会受到

21、影响.,滞后系统的根轨迹,规则一: 根轨迹在S平面上的分支数有无穷多条. 仍有n条分支组成主根轨迹. 规则二: 根轨迹仍对称于实轴. 规则三: 根轨迹的起点为开环极点和= -. 根轨迹的终点为开环零点和= . S-Zie- 1 - = - S-Pi K K= 0(起点)时, 只有满足S = Pi和= -的条件 K= (终点)时, 只有满足S = Zi和= 的条件,滞后系统的根轨迹,规则四: 实轴上根轨迹区段右侧开环零极点数目之和为奇数. 幅角条件虽然多了一项57.3, 但对实轴:= 0, 所以无变化. 规则五: 渐近线有无穷多条, 且都平行于实轴, 与虚轴的交点: = 180N/57.3 其中

22、N值如表中所示.,滞后系统的根轨迹,规则五的证明: 渐进线(根轨迹)上取一点S=, 不是起点就是终点. 如为起点: = -; 如为终点: = . 这说明渐进线与有限的实轴无交点. 即渐进线平行于实轴, 只与虚轴相交. 由幅角条件: (S-Zi) - (S-Pi) = 57.3+ (2K+1) *180 m*180- n*180= 57.3+ (2K+1)*180 57.3= (n-m)*180+ (2K+1)*180 当n-m为奇数时: 2K*180 N*180 57.3= 2K*180 = - = - 即为渐进线与虚轴的交点. 57.3 57.3 同理可证n-m为偶数时渐进线与虚轴的交点.,

23、滞后系统的根轨迹,规则六:起始角和终止角 起始角: P1=(2K+1)180+(P1Zj)-(P1Pi)+ 57.3 终止角: Z1=(2K+1)180+(Z1Pi)-(Z1Zi)+ 57.3 规则七: 实轴上根轨迹的分离(或会合)点可由下面的方程求出 dK / dS = 0 规则八: 主根轨迹与虚轴交点, 可用S=j代入根迹方程求解.,滞后系统的根轨迹举例,例: 设滞后系统的开环传递函数为 GK(S) = K e-S/(S+1) 试绘制系统的根轨迹. 解: 特征方程: 1 + K e-S/(S+1) = 0 由规则三: 起点为P1= -1, = - 和起点渐进线. 终点趋向终点渐近线. 由规

24、则四: 实轴上(-1, -)区段存在根轨迹.,滞后系统的根轨迹举例,由规则五: 终点渐近线为: 180N/57.3, 3*180N/57.3, 5*180N/57.3, 起点渐近线为: 2*180N/57.3, 4*180N/57.3, 6*180N/57.3,滞后系统的根轨迹举例,由规则七: 实轴上的分离点 K= - eS(S+1) dK/dS = - eS -SeS eS = 0 S = - (1+) / (设=1, 分离点为: -2) 由规则八: 与虚轴交点为j(设=1), 代入到幅角条件 -(j+1)= 57.3180 解得: = 2.03 主根轨迹与虚轴交点为 j2.03.,滞后系统

25、的根轨迹举例,终点渐近线,终点渐近线,j,-1,主根轨迹,-2,0,起点渐近线,起点渐近线,终点渐近线,终点渐近线,第四节 系统闭环零极点分布与阶跃响应的关系,系统闭环零极点分布-根轨迹. 阶跃响应-性能指标 一、用闭环零极点表示的阶跃响应解析式 设n阶系统的闭环传递函数为： K*(S-Zi) Zi-闭环零点 GB(S) = (S-Si) Si-闭环极点 阶跃输入：r(t)=I(t), R(S)=1/S 有: K*(S-Zi) 1H(S) = * (S-Si) S,系统闭环零极点分布与阶跃响应的关系,若GB(S)中无重极点，则： H(S) = A0/S + A1/(S - S1) + + An

26、/(S- Sn) K*(-Zi) K*(SK-Zi) 其中: A0= AK= (-Si) (SK-Si) SK闭环极点； Zi闭环零点； Si闭环极点(不包括SK) 单位阶跃响应: h(t)= A0 +Ak * eSkt 系统的单位阶跃响应由闭环极点SK及系数AK决定，而系数AK也与闭 环零极点的分布有关。,系统闭环零极点分布与阶跃响应的关系,二、闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系 1要求系统稳定，所有闭环极点Si均应位于S平面的左 半部。 2要求系统快速性好，则应使阶跃响应式中的每个瞬态 分量eSkt衰减得快，闭环极点SK应远离虚轴。,系统闭环零极点分布与阶跃响应的关系,3要求系统平稳性好，

27、则复数极点最好设置在S平面中与负 实轴成45夹角线附近。COS=Wn/Wn = =45,=0.707(最佳阻尼比) 4. 要求动态过程尽快消失，则系数AK要小（对应的瞬态分量 小） AK的分子小闭环零点靠近极点（成对靠近）， AK的分母大极点间的间距要大。,三、主导极点和偶极子,离虚轴最近的闭环极点对系统动态性能的影响最大，起 着主要的作用，称之为主导极点。主导极点与非主导极点的实部应相差6倍以上。往往只用主导极点（把高阶系统近似看成是一阶或二阶 系统）来估算系统的动态性能。,主导极点和偶极子,将一对靠得很近的闭环零极点称为偶极子。 当SK与Zi靠得很近时，对应的AK很小，h(t)中的这个分

28、量可以忽略。可以有意识地在系统中加入适当的零点，和某些不利极 点构成偶极子，以抵消其对动态过程的不利影响。,四、利用主导极点估算系统的性能指标,例：已知系统的开环传递函数为： GK(S) = K/S(S+1)(0.5S+1) 试应用根轨迹法分析系统的稳定性，并计算闭环主导极 点具有阻尼比=0.5时的性能指标。,利用主导极点估算系统的性能指标,解： GK(S) = K/S(S+1)(0.5S+1) = 2K/S(S+1)(S+2) = K*/S(S+1)(S+2) 1作根轨迹图 三条根轨迹。 实轴上: (0，-1)，(-2，-)为根轨迹。 渐近线：a= (Pi-Zi)/(n-m) = (-1-2

29、)/(3-0) = -1 a= (2K+1)/(n-m) = 60，-60，180,利用主导极点估算系统的性能指标,分离点： K = - S(S + 1)(S + 2)/2= - (S3 + 3S2 + 2S)/2 dK/dS = -3S2 + 6S + 2 = 0解出：S1= -0.423, S2= -1.58(不在根轨迹上，舍) 与虚轴交点： 特征方程：S3 + 3S2 + 2S + K* = 0代入S=jw(jw)3 + 3(jw)2 + 2(jw) + K* = 0,利用主导极点估算系统的性能指标,实部：-3w2 + K* = 0虚部：-w3 + 2w = 0解得： w1= 0, K=

30、0 w2,3= 1.414, K*=6， K=3 2分析系统的稳定性 当开环增益K3时，根轨迹 有两条分支伸向S平面的右半部， 这时系统不稳定。 因此使系统 稳定的开环增益范围是：0K3。,-2,-1,0,W=1.414 K=3,利用主导极点估算系统的性能指标,3. 根据对阻尼比的要求，确定闭环主导极点S1，S2的位置= 0.5， = COS-1= 60 阻尼线阻尼线与根轨迹的交点为S1， 从图中可得S1= -0.33 + j0.58 S2= -0.33 - j0.58求与S1对应的开环增益：|GK(S)|=1 代入S = -0.33 + j0.58|-0.33+j0.58|-0.33+j0.58+1|-0.33+j0.58+2| = 2K解得: K = 0.525 (根轨迹上某点对应的K值),0.58,-0.33,S1,阻尼线,S2,S3,-2.34,利用主导极点估算系统的性能指标,确